离散数学第五章

离散数学第五章第一页，共七十二页，2022年，8月28日代数系统

第五章 代数结构§1 代数系统的引入§2 运算及其性质§3 半群§4 群与子群§5 阿贝尔群和循环群§7* 陪集与拉格朗日定理§8 同态与同构§9 环与域第二页，共七十二页，2022年，8月28日§1 代数系统的引入举例：在一个集合上的运算：将实数集合R上的每一数a0映射成它的倒数1/a，就可以将该映射称为在集合R上的一元运算；在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合R上的二元运算。对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合R上的三元运算。第三页，共七十二页，2022年，8月28日§1 代数系统的引入《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。

若n=1,则称f：ZZ为一元运算；若n=2,则f：Z2Z为二元运算。

本章主要讨论一元运算和二元运算。

例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而对÷而言就不是二元运算;

（2）在集合Z的幂集(z)中,,均为二元运算,而“~”是一元运算；第四页，共七十二页，2022年，8月28日《定义》:一个非空集合S连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统，记作<S,f1,f2,….,fk>。一个代数系统需要满足以下条件：有一个非空集合S；有一些建立在集合S上的运算；§1 代数系统的引入第五页，共七十二页，2022年，8月28日《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有xy∈S则称运算在S上是封闭的。在f：Z2Z二元运算的定义中,本身要求满足运算是封闭的。例：（1）在集合A={1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5}，做任意元素的倒数运算；可以看作是：将集合A上的每一数a映射成他的倒数1/a；

（2）在前例中,R,I集合中+,-,×运算；(z)的元素中,,~,运算等均为封闭的。

(3)在正整偶数的集合E中,对×,+运算是封闭的,在正整奇数的集合中,对×运算是封闭的,而对+运算不是封闭的。

§2运算及其性质第六页，共七十二页，2022年，8月28日在整数集合I上定义如下：

其中的+，分别表示数的加法和乘法。

那么是一个从I2到I的函数，在集合I上是封闭的，（I，

）就是一个代数系统。§2运算及其性质第七页，共七十二页，2022年，8月28日不封闭的例子：一架自动售货机，能接受五角硬币和一元硬币，而所对应的商品是桔子水、可乐和冰淇凌。当投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品：表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算*不是集合{五角硬币，一元硬币}上的封闭运算。*五角硬币

一元硬币五角硬币桔子水可口可乐一元硬币可口可乐冰淇凌第八页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有xy=yx,则称运算在S上是可交换的（或者说在S上满足交换律）。例：在整合集合I上定义运算： 对任何 其中的+，分别表示数的加法和乘法。 那么可以满足交换律？第九页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y,zS都有（xy）

z=x

（yz）,则称运算在S上是可结合的（或者说*在S上满足结合律）。EX：设A是一个非空集合，★是A上的二元运算，对于任意a，bA，有a★b=b，证明：★是满足结合律的。证：∵对于任意的a，b，cA， （a★b）★c=b★c=c

而a★（b★c）=a★c=c， ∴（a★b）★c=a★（b★c） ∴★是满足结合律的第十页，共七十二页，2022年，8月28日例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数的加法和乘法。×对+是满足分配律的.《定义》:设和是集合S上的二个二元运算,

对任一x,y,zS有

x

（yz）=（xy）（xz）；（yz）

x=（yx）（zx）,则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。§2运算及其性质第十一页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一xS有xx=x,则称满足等幂律。讨论定义：1)S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律；2)若在S上存在元素某一元素xS有xx=x,则称x为S上的幂等元素；3)由此定义,若x是幂等元素,则有xx=x和xn=x成立。《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,yS，都有：

x(xy)=x；x(xy)=x则称运算和运算满足吸收律。第十二页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质例：（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元素,在实数集合R中,“-”法是不可交换,不可结合的；

（2）在(z)中,,均是可交换,可结合的,对,对均是可分配的；

(z)中任一元素,对,均是等幂元素。∴满足等幂律；

而(z)中,对称差是可交换,可结合的。除(s)={}以外不满足等幂律。∵

=,而除以外的A(z)有AA≠A。第十三页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质下面定义特殊元素：幺元,零元和逆元。

《定义》：设*是集合Z中的二元运算,

(1)若有一元素elZ,对任一xZ有el*x=x；则称el为Z中对于*的左幺元；

(2)若有一元素erZ,对任一xZ有x*er=x；则称er为Z中对于*的右幺元。

(3)如果Z中的一个元素e,它既是左幺元,又是右幺元,则称e为Z中关于运算*的幺元.即对于任意x∈Z,有e*x=x*e.《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元,则el=er=e，且eZ是唯一的。第十四页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质∵el和er分别是对*的左,右左元，则有el*er=er=el

∴有el=er=e成立。再证明幺元e是唯一的。用反证法：假设有二个不同的幺元e1和e2,则有e1*e2=e2=e1,这和假设相矛盾。∴若存在幺元的话一定是唯一的。例：（1）在实数集合R中,对+而言,e+=0；对×而言,e*=1；（2）在(E)中,对而言,e

=E（全集合）；对而言,e=（空集）；（3）{命题逻辑}中，对∨而言，e∨

=F（永假式）；对∧而言，e∧

=T（永真式）。

第十五页，共七十二页，2022年，8月28日例： 设代数系统（N，*），*的定义为： 对 那么，（N，*）有没有幺元？左幺元？右幺元？§2运算及其性质解：对任何，因此1是右幺元。但1不是左幺元，因为所以（N，*）没有左幺元，当然也就没有幺元。第十六页，共七十二页，2022年，8月28日

《定义》：设*是对集合Z中的二元运算，（1）若有一元素θlZ，且对每一个xZ有θl*x=θl，则称θl为Z中对于*的左零元；

（2）若有一元素θr

Z，且对每一个xZ有x*θr=θr

，则称θr为Z中对于*的右零元。

(3)如果Z中的一个元素θ,它既是左零元,又是右零元,则称θ为Z中关于运算*的零元.对于任意x∈Z,有θ*x=x*θ=θ§2运算及其性质下面介绍左零元，右零元，零元第十七页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和右零元，则θl=θr=θ，且θZ是唯一的.证明：方法同幺元。

例：（1）在实数集合R中，对×而言,，θL=θr=0（2）在(E)中，对而言，θ

=

；对而言，θ=E；（3）{命题逻辑}中，对∨而言，θ∨=T；对∧而言，θ∧

=F。第十八页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质《定义》：设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e，令xZ，

（1）若存在一xlZ，能使xl*x=e，则称xL是x的左逆元,并且称x是左可逆的；

（3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x是可逆的，且x的逆元用x-1表示。（2）若存在一xr

Z，能使x*xr=e，则称xr是x的右逆元，并且称x是右可逆的；下面介绍左逆元，右逆元，逆元第十九页，共七十二页，2022年，8月28日因此，关于逆元，下述结论是正确的：(1)只有当幺元存在时，才考虑逆元。(2)逆元是“局部”的，也就是说，逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。如果a和b都有逆元且ab，则a-1

和b-1也不相同。(3)设e为幺元，只有当aºb=e和bºa=e同时成立时，b才能是a的逆元，如果只有一个成立，b也不是a的逆元。§2运算及其性质第二十页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质

证明：（1）先证左逆元=右逆元：设xL和xr分别是xZ的左逆元和右逆元，∵x是可逆的和*是可结合的（条件给出）∴xl*x=x*xr=e

∵xl*x*xr=（xl*x）*xr=e*xr=xr

；

xl*x*xr=xl*(x*xr)=xl*e=xl

∴xr=xl《定理》：设Z是集合，并含有幺元e

。*是定义在Z上的一个二元运算，并且是可结合的。若xZ是可逆的，则它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。第二十一页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质（2）证明逆元是唯一的（若有的话）：假设x1-1和x2-1均是x的二个不同的逆元，则x1-1=x1-1*e=

x1-1*（x*x2-1

）=（x1-1*x）*x2-1=e*x2-1=x2-1，这和假设相矛盾。

∴x若存在逆元的话一定是唯一的。《推论》(x-1)-1=x,e-1=e

例：（1）在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有

x-1=-x，∵x+（-x）=0，因为加法幺元为0.第二十二页，共七十二页，2022年，8月28日§2运算及其性质对“×”运算，乘法幺元为1，则对任一xR有x-1=1x（x0）∵x×1x=1定理：设<A,*>是一个代数系统,且集合A中的元素个数大于1,如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则θ≠e。所以若<A,*>是一个代数系统,且|A|>1,如果该代数系统有零元，则零元一定不存在逆元。∵θ*x=x*θ=θ。

第二十三页，共七十二页，2022年，8月28日EX：设集合S={α，β，γ，δ，ζ}，定义在S上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统（S，）中各个元素的左、右逆元情况。解：是幺元，是的左逆元，是的右逆元；是、的左逆元，、是右逆元；是的左逆元，是的右逆元；是的左逆元，是的右逆元。第二十四页，共七十二页，2022年，8月28日§3半群《定义》：一个代数系统<S,>，S为非空集合，是S上的二元运算，如果运算是封闭的，则称代数系统<S,>为广群。《定义》：设<S,>是一代数系统，S为非空集合，是S上的二元运算，若

(1)运算是封闭的。

(2)运算满足结合律，则称<S,>为半群。

例：<N,+>,<N,>,<IE,+>,<IE,>均为半群《定义》：对于*运算，拥有幺元的半群<M,*>称为独异点.

例：<N,+>,<N,>均为独异点而<IE,>就不为独异点。第二十五页，共七十二页，2022年，8月28日§3半群例：设S为非空集合，

(S)是S的幂集，则<(S),,>,<(S),,S>均为独异点。而<I,max>，其中max(x1,x2)取二者之大值；<I,min>，其中min(x1,x2)取二者之小值，均不为独异点（不存在幺元）。<N,max>则为独异点，其中e=0《定义》：设<S,*>是一半群，TS，且*在T上是封闭的，那么<T,*>也是半群，称<T,*>是

<S,*>的子半群。第二十六页，共七十二页，2022年，8月28日§3半群讨论定义：

（1）因为*在S上是可结合的，而TS且*在T上是封闭的，所以*在T上也是可结合的。（2）由定义可知，∵SS

，∴<S,*>也是<S,*>的子半群,为了和其它子半群相互区别，称<S,*>是S的“平凡子半群”;第二十七页，共七十二页，2022年，8月28日《定义》：设*是S上的二元运算,对任一xS,则：

x1=x,x2=x*x,…xn=xn-1*x《定理》：设*是S上的二元运算,且xS,对任一m,nI+有

（1）xmxn=xm+n

（2）(xm)n=xmn

§3半群

《定理》：设<S,*>是独异点，则在关于运算*的运算表中一定没有相同的行和列。

第二十八页，共七十二页，2022年，8月28日证明：（1）xmxn=(xmx)x…x=(xm+1x)x…x

n

n-1

=….=xm+n

（2）(xm)n=xm…xm=xm+mxm…xm=…=xmn

nn-1§3半群第二十九页，共七十二页，2022年，8月28日§3半群证明：因<S,*>是半群，对任意的bS， 由*的封闭性，b*bS，b3S，b4S，…

由于S是有限集，必有i<j，使bi=bj

设：p=j－i，则bj=bp*bi，即：bi=bp*bi

当q≥i时，bq=bp*bq， 又因p≥1，总可以找到k≥1，使kp≥i，对S中的

bkp有bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp =b2p*(bp*bkp)=b3p*bkp=….=bkp*bkp

令a=bkp，则a*a=a。《定理》：如果半群<S,*>的集合S为有限集，则必有aS，使a*a=a。第三十页，共七十二页，2022年，8月28日§3半群《定理》：设<S,*>是独异点，对于任意a，bS，且a，b均有逆元，则a)(a-1)-1=ab)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1证明：a)因为a-1是a的逆元，即

a*a-1=a-1*a=e

所以(a-1)-1=a b)因为(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e

同理可证：(b-1*a-1)*(a*b)=e

所以(a*b)-1=b-1*a-1第三十一页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群1.群的定义《定义》设<S,*>是一代数系统，S是非空集合，*为S上的二元运算，它满足以下四个条件时，则称<S,*>为群

（1）*运算是封闭的；

（2）*运算是可结合的； （3）存在幺元e；

（4）S中每一个元素均有逆元。例：<I,+>,<Z2,+2>,<Z3,+3>等均为群（其中Z2={0,1},Z3={0,1,2}），而<N,+>,<I,>只是含幺半群(独异点)而不是群。第三十二页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群例：设M={0º,60º,120º,240º,300º,180º}表示平面上几何图形顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对M中任一元素a,b有a*b=图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到360º时即为0º，试验证<M,*>是一个群。*0º60º120º180º240º300º0º0º60º120º180º240º300º60º60º120º180º240º300º0º120º120º180º240º300º0º60º180º180º240º300º0º60º120º240º240º300º0º60º120º180º300º300º0º60º120º180º240º第三十三页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群（1）运算是封闭的（2）*是可结合的（3）幺元为0º

；（4）每一个元素均有逆元：(0º)-1=0º,(60º)-1=300º,(120º)-1=240º,(180º)-1=180º,(240º)-1=120º,(300º)-1=60º

∴<M,*>是一个群。第三十四页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群《定义》设<G,*>是一个群，如果G是有限集合，则称<G,*>为有限群，并把|G|称为群的阶数，如果G为无限集合，则称<G,*>为无限群。

例：<I,+>为无限群，上例中<M,*>为有限群，群的阶为|M|=6。

可以概括：广群仅仅是具有一个封闭的二元运算的非空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。第三十五页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群2.群的性质

由群的定义可知:（1）群具有半群和独异点所具有的所有性质；（2）由于群中存在幺元，所以在群的运算表中一定没有相同的行（和列）.

下面以定理形式介绍群的性质第三十六页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群《定理1》若<G,*>是一个群，则对任一a,bG有：

存在唯一的元素xG

，使a*x=b；证明：（a）在G中存在x，使a*x=b成立。

∵a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，∴至少有一x=(a-1*b)满足a*x=b成立。

（b）下面证明这样的x是唯一的。若另有一解x1能使a*x1=b成立，则有x1=e*x1=(a-1*a)*x1=a-1*(a*x1)=a-1*b，∴x=(a-1*b)是满足a*x=b的唯一元素，即x是唯一的。

第三十七页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群《定理2》若<G,*>是一个群，则对任一a,b,cG有：（1）a*b=a*cb=c（a是左可消去的）（2）b*a=c*ab=c（a是右可消去的）。此定理说明群满足消去律。《定理3》一个群<G,*>中一定不存在零元。

第三十八页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群

证：假设a是群（U，）的等幂元素，（e是幺元），且a≠e，则a=aa，而e=a-1

a=a-1

(aa)=(a-1

a)a=ea=a

与a≠e矛盾。《定义》：设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。《定理4》一个群中，除了幺元e之外，不存在其它等幂元素。第三十九页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群《定理5》：群<G,*>的运算表中的每一行或每一列都是G的元素的一个置换。证明：首先，证明运算表中的任一行或任一列所含G中的一个元素不可能多于一次。（反证法）如果对应于元素aG的那一行中有两个元素都是c，即有

a*b1=a*b2=c，且b1b2

由可约性，得：b1＝b2，这与b1b2矛盾。第四十页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群其次，证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。考察对应于元素aG的那一行，设b是G中的任一元素,由于b=a*(a-1*b)，所以b必定出现在对应于a的那一行。再由运算表中没有两行（或两列）是相同的，所以，<G,*>的运算表中的每一行都是G的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。同样，对于每一列结论同样成立。第四十一页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群3.子群《定义》设<G,*>是一个群，且SG是一个非空集合。若<S,*>满足下列三个条件，则称<S,*>是<G,*>的子群：

（1）e是<G,*>的幺元，且eS；（保持幺元）

（2）对任一aS一定有a-1S

；（保持逆元）

（3）对任一a,bS一定有a*bS

。（运算的封闭性）讨论定义：

（1）任一群<G,*>至少可找到二个子群，即<{e},*>和<G,*>，为了以示区别称此二子群为平凡子群；

（2）除了平凡子群以外的子群称为的真子群。第四十二页，共七十二页，2022年，8月28日《定理》设<G,*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上是封闭的，则<B,*>必定是<G,*>的子群。§4群与子群第四十三页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群证明：设bB，已知*在B上封闭，则b*bB，即

b2B，b2

*bB，即：b3B， 于是b，b2，b3……均在B中。 由于B是有限集，∴必存在正整数i和j，i<j,

使得：bi=bj

即：bi=bi*bj-i

由此可说明bj-i是<G,*>中的幺元，且这个幺元也在子集B中。如果j-i>1，那么由bj-i=b*bj-i-1可知bj-i-1是b的逆元，且bj-i-1B；如果j-i=1，那么由bi=bi*b可知b就是幺元，且以自身为逆元。因此，<B,*>是<G,*>的一个子群。第四十四页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群例：设G4={p=<p1,p2,p3,p4>|pi{0,1}}，是上的二元运算，定义为，对任意X=<x1,x2,x3,x4>，Y=<y1,y2,y3,y4>G4，XY=<x1y1,x2y2,x3y3,x4y4>，其中的运算表如图所示：证明<{<0,0,0,0>,<1,1,1,1>},>是群<G4,>的子群。01001110第四十五页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群《定理》:设<G,*>是一个群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1S，则<S,*>是

<G,*>的子群。证明：先证，G中的幺元e也是S中的幺元。 任取aS，a*a-1S，而a*a-1＝e，∴eS

再证，每个元素都有逆元。又e*a-1S，即a-1S。 最后说明，*对S是封闭的。 a,bS，因b-1S，∴(b-1)-1S第四十六页，共七十二页，2022年，8月28日§4群与子群

a*b=a*(b-1)-1S，而(b-1)-1＝b∴a*bS

∴<S,*>是<G,*>的子群例：设<H,*>和<K,*>都是群<G,*>的子群，试证明

<HK,*>也是<G,*>的子群。第四十七页，共七十二页，2022年，8月28日§5阿贝尔群和循环群《定义》如果群<G,*>中运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群（或称为交换群）。例：<I,+>为阿贝尔群。

例：离散函数代数系统<F,°>是阿贝尔群。Z={1,2,3,4}，F={f0,f1,f2,f3

},f2=12343412,f3=12344123,f0=1234123412342341

f

=第四十八页，共七十二页，2022年，8月28日§5阿贝尔群和循环群由运算表可见：（1）运算是封闭的；（2）“°”可结合；（3）幺元f0

；（4）每一个元素均可逆;（5）以主对角线为对称。∴<F,°>为阿贝尔群。

°f0f1

f2f3f0f0f1

f2f3f1f1

f2f3f0f2

f2f3f0f1f3f3f0f1f2第四十九页，共七十二页，2022年，8月28日§5阿贝尔群和循环群《定理》设<G,*>是一个群，<G,*>是阿贝尔群的充分必要条件是对任一a,bG有:(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明：（1）充分性：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)<G,*>是阿贝尔群。

对任一a,bG有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)成立，∵*是可结合的，且是可消去的，∴a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b

得a*b=b*a，∴<G,*>是阿贝尔群。第五十页，共七十二页，2022年，8月28日§5阿贝尔群和循环群（2）必要性：

<G,*>是阿贝尔群

(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。

∵阿贝尔群满足交换律，对任一a,bG有a*b=b*a，∴(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)。《推论》在阿贝尔群中，对任一a,bG有

(a*b)–1=b-1*a-1=a-1*b-1第五十一页，共七十二页，2022年，8月28日§5阿贝尔群和循环群《定义》设<G,*>是一个群，I是整数集合，若存在一个元素gG，对于G中每一个元素a都能表示成gn的形式（nI），则称<G,*>是一个循环群，g称为群<G,*>的生成元。例：60º就是群<{0º,60º,120º,240º,300º,180º},*>的生成元，所以该群为循环群。第五十二页，共七十二页，2022年，8月28日§5阿贝尔群和循环群《定理》每一个循环群必然是阿贝尔群。《定理》设<G,*>是由元素gG生成的循环群，若

<G,*>是n阶的（即|G|=n），则gn=e，且G={g1,g2,…gn=e}

，而且n是能使gn=e的最小正整数。证明：设<G,*>是一循环群，g为生成元，对任一p,qG一定存在i,jI（整数）使得p=gi,q=gj，则p*q=gi*gj=gi+j=gj*gi=q*p。

∴<G,*>循环群一定是阿贝尔群。第五十三页，共七十二页，2022年，8月28日§5阿贝尔群和循环群例：<G,*>为一群,G中元素和*运算见运算表：

c1=c,c2=b,c3=d,c4=a(幺元);d1=d,d2=b,d3=c,d4=a(幺元);而a1=a,a2=a,a3=a,a4=a;b1=b,b2=a,b3=b,b4=a,由上可见：生成元c,d的阶为4，等于群<G,*>的阶，即|G|的基数。*abcdaabcdbbadcccdbaddcab第五十四页，共七十二页，2022年，8月28日§6拉格朗日定理Lagrange定理:对群G的任何子群H,|H|整除|G|.推论:(1)任一元aG生成的循环子群的阶(即a的阶)是群的阶的因数;(2)一个素数阶的群必为循环群，并且除e外,每个元都是其生成元(因素数只有两个因数:1和自身);(3)素数阶的群只有平凡子群:{e}和它自身.第五十五页，共七十二页，2022年，8月28日1、定义：对两个同类型代数系统(U，)，(V，*)，其中与*都是二元运算。如果存在双射f：UV，使得对x1，x2U，都有f（x1x2）=f（x1）*f（x2），就称f是一个从（U，）到（V，*）的同构映射，或说（U，）与（V，*）是同构的。记作：（U，）≌（V，*）一、同构同态和同构是讨论二个代数系统之间的关系。§8同构与同态第五十六页，共七十二页，2022年，8月28日例：设A={a，b，c，d}，在A上定义一个二元运算“”，又设B={，，，}，在A上定义一个二元运算“*”，如下表：证明：（A，）和（B，*）是同构证明：考察映射f(a)=,f(b)=,f(c)=,f(d)=显然，f是一个从A到B的双射，由表容易验证f是由（A，）和（B，*）的同构。考察映射g，使得g(a)=,g(b)=,g(c)=,

g(d)=，g也是由（A，）和（B，*）的同构。

注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。abcdaabcdbbaaccbddcdabcd*第五十七页，共七十二页，2022年，8月28日解：作映射f：I2I，f(x)=2x，则f是双射。对任何a，bI，f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)因此，V1和V2

同构例：设代数系统V1=（I，+），V2=（2I，+），其中I是整数集合，+运算是一般的加运算，V1和V2是否同构？§8同构与同态第五十八页，共七十二页，2022年，8月28日定理2：如果（U，）满足交换律，且（U，）≌（V，*），则（V，*）也满足交换律。定理3：如果（U，，*）满足左（右）分配律，且（U，，*）≌（V，，），则（V，，）也满足左（右）分配律。2、定理定理1：如果（U，）满足结合律，且（U，）≌（V，*），则（V，*）也满足结合律。§8同构与同态第五十九页，共七十二页，2022年，8月28日定理4：如果（U，）存在单位元，且（U，）≌（V，*），则（V，*）也存在单位元。定理5：设（U，）存在零元素，且（U，）≌（V，*），则（V，*）也存在零元素。定理6：若（U，）对每个xU，存在逆元素x-1，且（U，）≌（V，*），则（V，*）中任一元素y必存在逆元素y-1。定理7：代数系统间的同构关系是等价关系。§8同构与同态第六十页，共七十二页，2022年，8月28日二、同态

如果将同构的条件放宽一点，则可以得到比同构范围更广的关系，希望放宽后的关系使两个代数系统不一定要有相同的基数，但是能够在一定意义上保持其性质，为此引入同态、满同态，单一同态概念。《定义》设U=<A,>和V=<B,*>是二个代数系统，又设U到V存在一个映射f:AB，对任意a1,a2A，若有f(a1a2)=f(a1)*f(a2)，则称f是从代数系统U到V的同态映射。称U同态于V。把<f(A),*>称为<A,>的一个同态象。其中：

f(A)={x|x=f(a)，aA}B

§8同构与同态第六十一页，共七十二页，2022年，8月28日讨论定义：（1）f:AB为同态函数，它不单是自变量和象点的对应，还有自变量的运算和象点运算之间的对应；

（2）对同态讲，二个代数系统的基数可以不相等，只要满足函数的条件就行；§8同构与同态（3）上述定义可以推广到多个n元运算的同一类型的代数系统中去。（4）一个代数系统到另一个代数系统可能存在多于一个同态。第六十二页，共七十二页，2022年，8月28日例：设集合A={a，b，c}，在A上定义运算。如下表，那么，V1=（I+，+），V2=（A，º），其中I是正整数集合，+运算是普通的加法。V1和V2是否同态？解：作映射f：IA，abcaabcbbabcacb是偶数是奇数同构与同态§8同构与同态第六十三页，共七十二页，2022年，8月28日例：给定二代数系统F={I,+}，I为整数，“+”为一般加；

G={Nm,+m}，其中，Nm={0,1,2…m-1},“+m”为模m加法并定义成

x1+mx2=(x1+x2)modm。对任一iI和mI

+，

(i)modm定义了除以m所得的非负余数且0(i)modm<m。§8同构与同态第六十四页，共七十二页，2022年，8月28日定义FG的一个函数：f:INm且有f(i)=i(modm)，

(其中iI，f(i)

Nm),f(i1+i2)=(i1+i2)modm=(i1modm)+m(i2modm)，其中i1I,i2I；

i1modmNm,i2modmNm

。则f是一同态函数：自变量和象点的对应，并保持运算的对应。§8同构与同态第六十五页，共七十二页，2022年，8月28日《定义》若f:AB是从U=<A,>

到V=<B,*>的同态，于是有：

（1）若f是满射函数，则称f是从U到V的满同态；

（2）若f是入射函数，则称f是从U到V的单一同态；

（3）若