第三讲函数的极限无穷小与无穷大

第三讲函数的极限无穷小与无穷大第一页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20231函数与极限几何解释:复习：第二页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20232函数与极限第一章二、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容:函数的极限第三页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20233函数与极限播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限第四页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20234函数与极限通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.第五页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20235函数与极限第六页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20236函数与极限2.另两种情形:第七页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20237函数与极限3.几何解释:第八页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20238函数与极限例1证第九页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/20239函数与极限二、自变量趋向有限值时函数的极限第十页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202310函数与极限第十一页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202311函数与极限2.几何解释:注意：第十二页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202312函数与极限例2证例3证第十三页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202313函数与极限例4证函数在点x=1处没有定义.第十四页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202314函数与极限例5证第十五页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202315函数与极限例6证第十六页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202316函数与极限3.单侧极限:例如,第十七页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202317函数与极限左极限右极限第十八页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202318函数与极限左右极限存在但不相等,例7证第十九页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202319函数与极限三、函数极限的性质2.函数极限的局部有界性1.唯一性第二十页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202320函数与极限推论

3.函数极限的局部保号性第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202321函数与极限5.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定理推论4.保序性定理第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202322函数与极限证第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202323函数与极限例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202324函数与极限例8证第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202325函数与极限二者不相等,第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202326函数与极限第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节无穷小与无穷大第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202327函数与极限四、无穷小1.定义:极限为零的变量称为无穷小.第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202328函数与极限例如注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数；3.无穷小必须与一极限过程联系起来.第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202329函数与极限2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性第三十页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202330函数与极限意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202331函数与极限五、无穷大第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202332函数与极限特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202333函数与极限不是无穷大．无界，第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202334函数与极限证第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202335函数与极限六、无穷小与无穷大的关系定理2在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202336函数与极限意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202337函数与极限七、主要内容1、函数极限的统一定义(见下表)第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202338函数与极限过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202339函数与极限3、无穷小与无穷大主要内容:两个定义;两个定理;4、几点注意:（1）无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（2）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（3）无界变量未必是无穷大.2、函数极限的性质四个定理;第四十页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202340函数与极限思考题第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202341函数与极限思考题解答答不能保证.例有第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202342函数与极限作业

活页P84；5活页P93；4第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202343函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202344函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202345函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第四十六页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202346函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第四十七页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202347函数与极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限第四十八页，共五十一页，2022年，8月28日3/29/202348函数与极限一、自变量趋向无穷大