第三章 刚体力学

第三章刚体力学第一页，共六十页，2022年，8月28日2刚体运动的分类只要确定刚体内不在同一直线上的三点的位置，即就确定了刚体的位置。三点的空间位置的确定，原则上需九个独立变量，但事实上，由于刚体内任意两点的距离是固定不变的，所以三个质点受到三个约束方程，从而从九个独立变量减少的六个独立变量在某些限制条件下，刚体可做少于六个独立变量的运动I平动在刚体运动过程中，如

刚体内任意两点的连线在各个时刻都保持平行，则称刚体做平动。运动轨迹可是直线或曲线第二页，共六十页，2022年，8月28日特点：刚体内任意一点都具有相同的速度，加速度，所以任意一点的运动都可代表刚体的运动。所以只需3个独立变量，就能描述刚体的平动。II定轴转动刚体运动时始终有两个质点不动，即刚体只能绕这两点的连线做转动，即定轴转动。不动的两点的连线就成了确定的转轴。显然，只需确定绕定轴转了多少度，就能描述刚体的定轴转动，因而只需1个独立变量来描述刚体的定轴转动。

第三页，共六十页，2022年，8月28日III平面平行运动刚体运动时，其中任意一点始终平行于某一固定的平面的运动，就叫做平面平行运动。刚体可做平行于固定平面的平动和垂直于固定平面的转轴做转动.只需3个独立变量来描述。IV定点转动刚体运动时，只有一点固定不动，整个刚体围绕着通过这一点的某一瞬时转动轴转动，这样的运动称为定点转动。只需3个独立变量来描述，两个确定瞬时转动轴的空间取向，一个确定刚体绕该轴线转了多少度。第四页，共六十页，2022年，8月28日V一般运动刚体运动时，不受任何限制。此时可把刚体的运动分解为质心的平动（3个独立变量）和绕通过质心的某直线的定点转动（3个独立变量。因而描述刚体的一般运动需6个独立变量，正好与刚体空间位置的确定的独立变量数相同。§3.2角速度矢量一、有限转动和无限小转动第五页，共六十页，2022年，8月28日yzxxxyyyzxzzxzyxyz原来的位置绕在z轴转90度绕在y轴转90度原来的位置绕在y轴转90度1.有限转动第六页，共六十页，2022年，8月28日有限转动不能对易，所以有限转动不是矢量或者说有限角位移不是矢量。2.无限小转动角位移：刚体绕通过定点O的某轴线转个微小角度，像位移应是一矢量，我们在转轴上取有向线段来表示其大小和方向，有大小：方向：右手螺旋法则有大小和方向，还需证明其满足平行四边行法则才是矢量第七页，共六十页，2022年，8月28日角位移的矢量性证明如图所示，设某刚体绕通过定点O的某轴线做转动，。其中一质点在P点对点O的位矢为，经微小过程，发生的位移为，运动到P’点，此时该质点的位矢OMP’P目标：证刚体经过两次微小的转动所发生的角位移和可对易，即我们知是可对易，若能用表达出，则问题就可能解决注意：既然是无限小转动，就可把转轴看做是不变的。所以，在定轴转动下讨论问题第八页，共六十页，2022年，8月28日必垂直与和构成的平面转动前是：转动后：通过类比，再转动后的位矢：略去二阶小量，第二次转动所发生的位矢的变化量第九页，共六十页，2022年，8月28日则因所以即为矢量角速度矢量

角速度：既然角位移是矢量，则角速度也是矢量，且与角位移的方向相同转动瞬轴：定点转动时某时刻的转轴第十页，共六十页，2022年，8月28日线速度：因转动而具有的速度线速度和角速度之间的关系：为刚体内某质点到点O的位矢，是刚体绕通过该点某轴线的角速度注：刚体内不同的质点到点O的位矢不同，线速度就不同，但角速度是整个刚体所共有，刚体内任意质点的角速度都一样。重要推论：从线速度的表达式，可看出某矢量因转动而引起的对时间的变化率（实际就是该矢量方向对时间变化率)等于该矢量转动的角速度与该矢量的叉积第十一页，共六十页，2022年，8月28日比如在第一章：第十二页，共六十页，2022年，8月28日§3.3欧拉角一欧拉角描述刚体定点转动时的三个独立变量

欧拉角的选取：设O为定点，为静止坐标系，为固定在刚体上的随动坐标系，并选z轴为瞬时转动轴。开始二者重合，如图ηξO第十三页，共六十页，2022年，8月28日为让两坐标系分离：’绕O转动，ON称为节线ηξx’Ny’O绕ON节线转θηξy’’zθNx’O第十四页，共六十页，2022年，8月28日绕Oz转ψy,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψM经三步可达任何位置，由此定义出的称为进动角，章动角，自转角，相应的取值范围0≤≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2πON总是与转动瞬轴z垂直，ON动（只能在固定平面绕O点转动）则Oz必动（反过来不成立）所以转动瞬轴z的空间取向由和确定，O注意在第三次转动前oz,,oy’’在同一个平面，但Oy’’绕Oz转到Oy后，已不在Oxz这个平面第十五页，共六十页，2022年，8月28日二，欧拉运动学方程

如刚体绕着通过顶点O的某一轴线以转动，则在活动坐标系的投影为实际上，据刚才的分析，可认为是刚体绕轴转动的角速度，绕ON轴转动的角速度，和绕z轴转动的角速度的矢量和Oy,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψM注意角速度是以静止坐标系为参考，因而某时刻在xyz的分量是绝对的，而不是相对于随动坐标系的角速度，因随坐标系本身就固着在刚体上，与刚体具有相同的角速度，本身相对本身那角速度就是零了，显然失去了研究的意义。第十六页，共六十页，2022年，8月28日y,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψMxy已知,θ(t),ψ(t)可以求得ω，反之亦然。第十七页，共六十页，2022年，8月28日§3.4刚体运动方程与平衡方程一、力系（外力组成的力系）的简化

力的可传性原理：刚体所受的力可沿作用线滑移而不改变其作用效果的性质BAFF-F对刚体来讲，力成为可滑移矢量力的作用线可否随意移动？第十八页，共六十页，2022年，8月28日I平面非平行力系的化简

利用力的可传性原理，先将其中两力汇交于一点，再利用平行四边行法则求和得两力的合力，又利用力的可传性原理，让该合力再与第三个力汇交于一点，依次类推，就能求的n个平面非平行力系的合力第十九页，共六十页，2022年，8月28日II平面平行力系的化简

显然由于不能汇交于一点，平行四边形法则失效，但平面平行力系的合力量值和方向容易确定。合力的作用线可用力矩关系确定，即合力对垂直于各力所在平面的某轴线的力矩应与各分力对同一轴线的力矩的代数和相等yzx第二十页，共六十页，2022年，8月28日力偶：大小相等方向相反彼此平行的一对力AB力偶臂：两平行力之间的垂直距离如图所示的O1O2PO1O2力偶对任意一点P的力矩等于两平行力对同一点P的力矩之代数和力偶矩：力和力偶臂的乘积，方向右手螺旋法则力偶面：力偶所在的平面即为力偶面矩心P是任意的，但力偶矩的大小和方向是确定的，所以力偶矩与矩心无关，力偶矩可在垂直于力偶面随意滑动，因而是一“自由矢量”，其唯一的作用效果就是产生转动效应第二十一页，共六十页，2022年，8月28日若以的作用点A为参考，为的作用点B指向点A的位矢则合力矩，反过来也行III空间共点力系和平行力系的化简与共面力系相同，共点力系两两合成，平行力系先得合力大小方向，再利用合力的对某垂直平行力的轴线之力矩等于各分力对同轴线力矩之代数来确定合力的作用线

第二十二页，共六十页，2022年，8月28日III空间任意力系的简化设为作用在刚体A点上的一个力，P点为空间任意一点，但不在的作用线上。在P点添加两个与的作用线平行的力,,并让这两个力大小都等于，但方向相反，即AP显然这样添加之后，给没添加的作用效果完全一样，因而我们可以把力的作用效果分解为过指定的P点的一个力和一个力偶的作用效果。该力：大小方向与相同，即把迁移到了P点，但要消除迁移的影响，必加上一力偶，相对于P，该力偶矩。而P点称为简化中心。本质就是加上该力对简化中心的力矩.因而我们也可以说某力对某点的力矩等价于一力偶第二十三页，共六十页，2022年，8月28日推广到n个力组成的任意力系，我们可采用同样的方法，确定一简化中心P，对每一个力进行迁移并加上相应的一力偶，从而可在P点形成共点的n个力和n个力偶相应的力偶矩，对它们矢量求和，即可得合力和合力偶矩，并分别称为主矢和主矩在刚体力学中，通常以质心作为简化中心，于是主矢使刚体质心的平动运动状态发生变化，而外力对质心的主矩则使刚体绕通过质心的轴线的转动运动状态发生变化。若主矢和主矩都为零，则刚体处于平衡态；仅主矩为零，刚体只做平动；仅主矢为零，刚体只做转动；都不为零，既做平动也做转动。第二十四页，共六十页，2022年，8月28日二、刚体的运动微分方程1.质心运动方程根据质心运动定理，取质心为简化中心，则

分量式：

绕质心的运动方程则为：

分量式：

刚体对质心的总角动量对时间的微商等于刚体所受诸外力对质心的力矩之矢量和，即等于以质心为简化中心的主矩为刚体质心相对于某定点O的位矢第二十五页，共六十页，2022年，8月28日转动相对于固定坐标系某定点O而言，角动量定理也具有相同的形式此时以定点O为简化中心从刚才的分析，处理刚体的运动，通常分解为刚体质心的平动和绕刚体质心的转动，应用质心运动定理（动量定理）和对质心的角动量定理求解。共六个方程，而刚体的一般运动只需用六个独立变量来描述，因而正好可以求解第二十六页，共六十页，2022年，8月28日对刚体的动能定理，与对普通质点组有所不同，此时由于两质点间的距离不在发生变化,内力所做的功等于零，刚体总动能的微分仅仅等于所有外力所做的元功O21若诸外力都是保守力，则刚体的机械能守恒刚体的动能定理或机械能守恒定律为辅助方程，可代替前面六个方程的任何一个来进行求解第二十七页，共六十页，2022年，8月28日三、刚体的平衡方程从前面的分析，刚体在任意力系下，要平衡，就必须满足以任意点为简化中心的主矢和主矩分别为零，即或者通俗的说刚体平衡要求刚体所受的合外力和诸外力对任意点的力矩必为零，若写成分量形式即为与刚体的运动微分方程相似，刚体有六个独立变量，上面的六个分量方程刚好规定了一刚体在外力作用下的平衡位形第二十八页，共六十页，2022年，8月28日对共面力系（以力系所在平面为xoy面）：（1）对共面共点力系（包括定点或定轴所施加的作用力都通过该点），对刚体无转动效果，力矩必然是零，所以合力为零即可（2）对平行力系，如与y轴平行，则只需（3）对只受三非平行共面力系，刚体平衡要求三力必交汇于一点。因不交汇于一点就必有转动效果,如图F1F3F2该条件也等价于共面力系对不共线的三点的力矩为零。由于共面力系等价于一力或一力偶（视参考点来说的），又因力偶的矩心是任意的，所以只要对一点的力矩为零，则力共面力系不能简化为一力偶；对不共线的三点力矩为零，则不可能简化为一单力（两点可以,单力刚好通过该两点）第二十九页，共六十页，2022年，8月28日例1，如图一根均匀的棍子，重为P，长为今将其一端置于粗糙的地面上，又以其上的C点靠在墙上，墙离地面的高度为h,当棍子与地面的角度成最小值时，棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦因素xyN1N2PfAC第三十页，共六十页，2022年，8月28日例2，长为的均质棒，一端抵在光滑墙上而棒身则斜靠在与墙相距为的光滑菱角上，求棒在平衡时与水平面的夹角N1N2GAByx可用平衡方程和三线汇交于一点的几何方法第三十一页，共六十页，2022年，8月28日§3.5转动惯量一、刚体的动量矩（角动量）1.矢量式假设刚体在某一时刻以角速度绕某瞬时轴线做定点转动，在其内部任取一质点，质量为，速度为。若该质点相对于定点O的位矢是，则它对定点O的角动量为Oxyz整个刚体的角动量则为第三十二页，共六十页，2022年，8月28日由于两矢量点积是一标量，所以上式表明和一般不共线，而是成一定的夹角。只有当下面两种情况，不仅共线而且同向（1）刚体做平面平行运动绕质心的转动，在上述表达式的第二项，以质心为，所以为零，因而

（2）刚体做定点转动，但转轴为惯量主轴（本节后面部分）也可从任意一平行于固定平面的薄片能代表整个刚体的运动来理解，o点在薄片上，从特殊到一般第三十三页，共六十页，2022年，8月28日2.刚体角动量的分量式在某固定坐标系下（下面求和符号均表示是从i到n求和）åååååå++--=-++-=)()(2222iiiziiiyiiixziiiziiiyiiixyyxmyzmxzmJzymxzmxymJwwwwww类比于上式第三十四页，共六十页，2022年，8月28日定义则ååååååååå+==-==+====+=)()()(222222iiizziiizyiiizxiiiyziiiyyiiiyxiiixziiixyiiixxyxmIyzmIxzmIzymIxzmIxymIzxmIyxmIzymI比较有规律，对角线上为正，非对角为负，系数（正负包括在内）则是惯量张量。第三十五页，共六十页，2022年，8月28日二、刚体的转动动能刚体的转动动能的另一种表达形式：转动惯量O’Oriωθi第三十六页，共六十页，2022年，8月28日三、转动惯量转动惯量，是表征物体转动时转动惯性大小的一种量度，与平动时的质量相当。有大小没有方向。转动惯量总是针对于某轴来说的，因此其大小，一方面取决于质量的分布，一方面取决于转动轴。比如，一根均质棒绕垂直于端点和绕垂直于中心的轴线转动，显然其转动惯性的大小不一样，所以其转动惯量也不一样。练习求均质圆盘或圆环绕x和z轴的转动惯量；可以以它们为微元求实心球或圆柱体，空心球或圆筒的绕通过圆心的轴线的转动惯量。微元相对于转轴的垂直距离离散连续第三十七页，共六十页，2022年，8月28日（离散的采用求和，连续的采用积分）但存在着本质的区别。除概念上的不同外，另一方面，一质点组确定后，质心则是确定的，不因参考点的不同而不同（相对刚体的空间位置），但刚体对不同的转动轴线，如前面所讲是不同的。对于质量分布不均或形状不规则，两者均从实验得出对质量均匀分别或按一定规律分布的刚体，求转动惯量的方法与求质心类似。第三十八页，共六十页，2022年，8月28日平行轴定理：对质量为m的刚体，若对其质心轴的转动惯量为，则对任意一平行于质心轴，相距为d的轴线的转动惯量为对任意两平行轴，则要经过一定的变换分别为两轴线到与它们平行的质心轴的距离

回转半径：对质量按一定规律分布的刚体，可认为在转动中，等效于质量集中在某一点上的一个质点的质量，该点离某轴线的垂直距离为K,则刚体对该轴线的转动惯量与该等效质点对同一轴线的转动惯量相等，即称为回转半径第三十九页，共六十页，2022年，8月28日四、惯量张量和惯量椭球1.对xyz轴的转动惯量和惯量积在某静止坐标系下，对质量分布均匀，且形状规则的刚体分别称为刚体对x,y,z轴的转动惯量而叫做惯量积2.在静止坐标系，刚体对通过原点O的任意轴线的转动惯量第四十页，共六十页，2022年，8月28日若某一通过点O的瞬时轴线（取角速度的方向为正向）对x,y,z轴的方向余弦为则代入上式则得刚体对通过原点o的任意轴线的转动惯量只需某时刻三个对轴的转动惯量和三个惯量积（随时间可能变化），则对任意过o点瞬轴的转动惯量便可通过该式求解第四十一页，共六十页，2022年，8月28日3.惯量张量该矩阵称为对O点惯量张量。具有九个分量的物理量是二阶张量，因而对O点惯量张量是一二阶张量，其组元称为惯性系数，其如此排列的原因一方面取决于二阶张量形式，另一方面取决于下面原因固定坐标系：三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的物理量来代表刚体转动时转动惯性的量度可按一定规律排成下列矩阵形式第四十二页，共六十页，2022年，8月28日（1）对过静止坐标系原点o的任意轴线的转动惯量，可通过该矩阵用矩阵乘法得之（2）对静止坐标系原点o的角动量的分量即可表为矩阵相乘是行乘列再相加第四十三页，共六十页，2022年，8月28日4.以随动坐标系为参考，对过原点o任意轴线的转动惯量的求解选固连在刚体上的坐标系为参考（随动坐标系），则刚体对各轴的转动惯量及惯量积是常数在转动轴上截取一线段I为绕该轴线的转动惯量第四十四页，共六十页，2022年，8月28日这是Q点所满足的方程，是一以o为中心的二次曲面，Q点在该二次曲面上变动。该曲面一般为闭合面,（I有限，R有限）且闭合面是一中心在O点的椭球面，通常称为惯量椭球，若o点正好是质心，则为中心惯量椭球，所以上述方程也称为惯量椭球方程第四十五页，共六十页，2022年，8月28日用处在于：可利用惯量椭球求对过原点o任意轴线的转动惯量。因惯量椭球确定后，任意过o点轴线与椭球面的交点能确定，o点到任该Q点的的距离R便确定，据xyzO’Q若知惯量系数则可作出惯量椭球第四十六页，共六十页，2022年，8月28日五、惯量主轴及其求法1.惯量主轴利用上面的惯量椭球方法，原则上可求对任意轴的转动惯量，但惯量系数的确定十分麻烦，应近一步简化。在刚体上选取适当坐标轴以消去惯量积。方法：由于每一惯量椭球都有三条相互垂直的主轴，椭球对该三条主轴是对称的，若以该三轴为坐标轴（或旋原来的坐标轴让其与三坐标轴重合），则含有异坐标相乘的项将消去

惯量主轴：惯量椭球的主轴第四十七页，共六十页，2022年，8月28日以惯量主轴为坐标轴则惯性系数只有,并通常记为即第四十八页，共六十页，2022年，8月28日2.确定惯量主轴的方法（1）解析法椭球与主轴交点的位矢与该点法线方向一致（2）几何法适用于几何对称，质量分布均匀的刚体10若刚体有一对称轴，如oz轴，则该轴为惯量主轴

第四十九页，共六十页，2022年，8月28日20如刚体有一对称面，则此面的垂线为惯量主轴

与xoy面垂直的z轴就是惯量主轴例，均匀长方体的边长为a和b,求此长方形薄片绕其对角线转动是的转动惯量第五十页，共六十页，2022年，8月28日1）直接积分法第五十一页，共六十页，2022年，8月28日xyabθ2）