第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组引例求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．第9讲矩阵的初等变换一

线性方程组的初等变换第二页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组解第三页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组用“回代”的方法求出解：第四页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组于是解得（2）第五页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）第六页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．第七页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换．第八页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二矩阵的初等变换第九页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.elementarytransformation第十页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价第十一页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组用矩阵的初等行变换解方程组（1）：第十二页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第十三页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第十四页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第十五页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．第十六页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．第十七页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例如，第十八页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组特点：所有与矩阵

等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.第十九页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组(2)的充分必要条件是存在n阶可逆阵Q，AB~c(3)

的充分必要条件是存在m阶可逆阵P三初等变换的基本性质及n阶可逆阵Q,使得(1)的充分必要条件是存在m阶可逆阵P，~rAB定理1

设A与B为矩阵，使得使得推论方阵A可逆的充分必要条件是AE~r第二十页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组如果A经一系列初等行变换变为B，则有可逆矩阵P使得那么，如何求出可逆矩阵P?如果对（A,E）作初等变换，那么，当A变成B是，E就变成了P，也就是可逆阵P。第二十一页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组

解例１四

利用初等变换求逆矩阵及相关问题第二十二页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第二十三页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组即初等行变换第二十四页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例２解第二十五页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第二十六页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第二十七页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组列变换列变换第二十八页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组解例3第二十九页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第三十页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第三十一页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组四

利用初等变换求逆矩阵及相关问题例1

设求~r?

第三十二页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组~r例2

设的行最简形为F，求F,并求一个可逆阵P，使得PA=F?PA=F(行最简形),

第三十三页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组注

对于矩阵方程只需转置:例3

解矩阵方程AX=B,

其中~r的解.例4

设求线性方程组AX=B，X?

第三十四页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组一矩阵秩的定义第10讲矩阵的秩第三十五页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第三十六页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例5.1解第三十七页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例5.2解第三十八页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例5.3解计算A的3阶子式，第三十九页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！第四十页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组定理3

若则推论若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)例6

设A为矩阵,R(A)=2,求R(AB).二初等变换法求矩阵的秩第四十一页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组初等变换法:

用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵,则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例7

求矩阵的秩.例8

设已知R(A)=2，求及第四十二页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例7解第四十三页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四十四页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四十五页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四十六页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组由阶梯形矩阵有三个非零行可知第四十七页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四十八页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组则这个子式便是的一个最高阶非零子式.第四十九页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组第五十页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组三常用的矩阵秩不等式

当时，

例9

设A为n阶矩阵，证明例10

设且则列满秩以后陆续证明第五十一页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组对于线性方程组Ax=b,(1)当时,方程组无解;(2)当时,方程组有解;时,有无限多个解.且时,有唯一解,第11讲线性方程组的解相容不相容特解通解不妨设R(A)=r.的行最简形为第五十二页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组重要定理定理1

如果线性方程组的系数行列式则一定有解,且解是唯一的.定理2

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定理3如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组没有非零解.定理4如果齐次线性方程组

有非零解,则它的系数行列式必为零.第五十三页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组(1)无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b);一线性方程组解的判别定理定理4

n元线性方程组Ax=b(2)有惟一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n.(或：有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b))推论1Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n

推论2AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)例11证明第五十四页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例12求解齐次线性方程组解二求解线性方程组

第五十五页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组即得与原方程组同解的方程组第五十六页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组由此即得第五十七页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例13求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解．第五十八页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例14求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换第五十九页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组故方程组有解，且有第六十页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组所以方程组的通解为第六十一页，共七十一页，2022年，8月28日3/29/2023河北科大理学院第三章矩阵的初等变换与线性方程组例15

解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵