第一节导数的概念及其应用

第一节导数的概念及其应用第一页，共二十二页，2022年，8月28日导数的运算

求下列各函数的导数．(1)y＝ax＋x3(a＞0且a≠1)；(2)y＝xsinx＋cosx；(3)第二页，共二十二页，2022年，8月28日分析

正确运用求导公式及导数运算法则求解。解

(1)y′＝(ax＋x3)′＝(ax)′＋(x3)′＝axlna＋3x2.(2)y′＝(xsinx＋cosx)′＝(xsinx)′＋(cosx)′

＝x′sinx＋x(sinx)′－sinx

＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.(3)y′=

=第三页，共二十二页，2022年，8月28日规律总结

(1)对较复杂的函数求导时，应先化简再求导。

(2)公式(ax)′＝axlna，,记忆方法，要类比(ex)′＝ex，(lnx)′＝，同时都多出常数lna。第四页，共二十二页，2022年，8月28日变式训练1

求下列函数的导数第五页，共二十二页，2022年，8月28日解析第六页，共二十二页，2022年，8月28日

变式训练2

已知f(x)＝x2＋2f′(1)x，则f′(－1)＝__________。【解析】∵f′(1)为常数，∴f′(x)＝[x2＋2f′(1)x]′＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，f′(－1)＝－2－4＝－6.【答案】－6第七页，共二十二页，2022年，8月28日导数几何意义的运用已知函数f(x)＝x3＋x-16(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程。第八页，共二十二页，2022年，8月28日分析

(1)点x＝2处的导数为切线的斜率，利用点斜式求出方程；(2)先设出切点，利用导数导出切线的斜率，再用点斜式导出方程后，结合条件求解。第九页，共二十二页，2022年，8月28日解

(1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为k＝f′(x0)＝3x02＋1，∴直线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16，又∵直线l过原点，∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16＝－2x03－16，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13，∴直线l的方程为y＝13x.第十页，共二十二页，2022年，8月28日规律总结

(1)解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”。(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0，y0)，得出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，然后把已知点代入切线方程求(x0，y0)，进而再求出切线方程。第十一页，共二十二页，2022年，8月28日

变式训练3

曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积。【解析】由f′(1)＝2，故切线方程为：

，其在两坐标轴上的截距分别为，，故直线与两坐标轴围成的三角形面积为第十二页，共二十二页，2022年，8月28日导数的综合应用(12分)已知函数的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)的解析式。分析点(－1，f(－1))既在直线x＋2y＋5＝0上，又在函数f(x)的图象上。第十三页，共二十二页，2022年，8月28日解依题意，－1＋2f(－1)＋5＝0，∴f(－1)＝－2，，即a－2b＝－4.①………3分

………6分又………………7分第十四页，共二十二页，2022年，8月28日又∵点(－1，f(－1))处的切线斜率为

解①②得

②……10分……12分第十五页，共二十二页，2022年，8月28日规律总结函数图象的切线是由切点和斜率(即导数确定的.有关切线问题，需要把握切点特征，和对函数进行正确求导运算.第十六页，共二十二页，2022年，8月28日变式训练4

已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点

(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点的坐标。第十七页，共二十二页，2022年，8月28日【解析】∵y′＝3x2－6x＋2，直线y＝kx过原点(0,0)及(x0，x03－3x02＋2x0)，解得∴切点为

把切点坐标代入y＝kx得∴切线方程为

即x＋4y＝0.第十八页，共二十二页，2022年，8月28日1．正确运用公式、法则求函数导数是基础．2．需要准确理解在已知曲线上某点处的切线的两层含义：一是该点的导数值等于切线的斜率；二是该点坐标满足已知的曲线方程．3．如果曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，由切线的定义知，切线方程为x＝x0.4．当某点不在曲线上，求过该点的切线方程时，要先设出切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程；再把已知点代入切线方程，从而得出所求的切线方程．第十九页，共二十二页，2022年，8月28日已知曲线y＝x3上一点P，求过点P的切线方程．错解

由y′＝x2，得y′|x-2＝4，则所求的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.错解分析本题所求是过点P的切线，虽然点P在曲线上，但过点P的切线不一定以P为切点．所以，过点P但不以P为切点的切线也是符合题意的．第二十页，共二十二页，2022年，8月28日正解设切点(x0，y0)，则切线方程为y－x03＝x02(x－x0)．∵切线过点P，∴－x03＝x02(2－x0)，解得x0＝－1或x