第七章 数据的曲线拟合席

第七章数据的曲线拟合席第一页，共二十六页，2022年，8月28日1、联系都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法。2、区别插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合要求得到一个具体的近似函数的表达式。拟合模型可以分为直线拟合、曲线拟合和观察数据修匀。插值与拟合的区别和联系:第二页，共二十六页，2022年，8月28日一、直线拟合若用线性函数拟合如下数据：线性函数表示为：其中为待定系数。拟合直线称为回归直线。第三页，共二十六页，2022年，8月28日由于数据节点数大于未知数(即待定系数)的个数2，直线不可能经过每个点，但是直线与数据的偏差一定要达到最小。直线与点的偏离程度（即残差）定义为：残差的平方和为：第四页，共二十六页，2022年，8月28日要使R达到最小，令矩阵形式：“线性最小二乘法”第五页，共二十六页，2022年，8月28日确定系数的另一种方法是直接求解超定线性方程组：其中方程组两边同时左乘，得常规方程组：第六页，共二十六页，2022年，8月28日求解：在MATLAB中，也可直接求解超定方程组的解：c=A\y%可求得最小二乘解或已知数据点x与y，用polyfit命令c=polyfit(x,y,1)第七页，共二十六页，2022年，8月28日例1求拟合下列数据点的直线。>>x=[0.10.40.50.70.70.9];y=[0.610.920.991.521.472.03];c=polyfit(x,y,1)c=1.76460.2862即线性函数g(x)=1.7646x+0.2862第八页，共二十六页，2022年，8月28日>>A=[x'ones(6,1)];c=(A'*A)\(A'*y')c=1.76460.2862>>c=A\y'c=1.76460.2862第九页，共二十六页，2022年，8月28日绘图程序：x=[0.10.40.50.70.70.9];y=[0.610.920.991.521.472.03];c=polyfit(x,y,1);y1=polyval(c,x);plot(x,y,'.',x,y1)gtext('y=1.7646x+0.2862');xlabel('X');ylabel('Y');第十页，共二十六页，2022年，8月28日二、非线性曲线拟合对一组数据，若做拟合幂函数：为确定待定系数，取自然对数：取：则：问题简化为线性回归，拟合数据点为：然后确定第十一页，共二十六页，2022年，8月28日例2做下列数据点的幂函数拟合。c=polyfit(log(x),log(y),1)c=[0.20931.8588]结果：所以第十二页，共二十六页，2022年，8月28日第十三页，共二十六页，2022年，8月28日x=[0.150.40.61.011.52.22.42.72.93.53.84.44.65.16.67.6];y=[4.49645.12845.69316.28847.09897.55077.51068.07567.87088.24038.53038.73948.99819.14509.50709.9115];c=polyfit(log(x),log(y),1);alfa=c(1);beta=exp(c(2));y1=beta*x.^alfa;subplot(2,2,1)plot(x,y,'+')xlabel('X');ylabel('Y');第十四页，共二十六页，2022年，8月28日subplot(2,2,2)plot(x,y,'+')holdonloglog(x,y)xlabel('X');ylabel('Y');title('(a)Loglogplotofyvsx','Color','r')subplot(2,2,3)plot(log(x),log(y),'+',log(x),log(y))xlabel('log(X)');ylabel('log(Y)');title('(b)Linearplotoflog(y)vslog(x)','Color','r');subplot(2,2,4)plot(x,y,'+',x,y1)xlabel('X');ylabel('Y');title('(c)Linearplotofyvsx','Color','r');holdoff第十五页，共二十六页，2022年，8月28日例3

已知

x01234y1.52.53.55.07.5利用最小二乘法求指数拟合

y=ceax方法1令求a,c使S(a,c)=min%非线性最小二乘方法2非线性模型的线性化处理

y=ceax

取自然对数

ln(y)=ax+ln(c)得,Y=ax+b%线性最小二乘确定了a,b之后，可得c=eb第十六页，共二十六页，2022年，8月28日MATLAB提供了求非线性最小二乘拟合的函数：lsqcurvefit：

输入格式为:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);其中，‘fun’--事先定义的非线性拟合函数x0--迭代初值xdata,ydata--已知数据点第十七页，共二十六页，2022年，8月28日x=[01234];y=[1.52.53.55.07.5];

c=lsqcurvefit('fff',[1;2],x,y)%非线性最小二乘法yy=c(1)*exp(c(2)*x);

c1=polyfit(x,log(y),1);%线性化方法y1=exp(c1(2))*exp(x*c1(1));plot(x,yy,'b',x,y1,'r')legend('最小二乘法','线性化方法')xlabel('X');ylabel('Y');functiony=fff(c,x)y=c(1)*exp(c(2)*x);y=ceaxY=ax+b,c=eb第十八页，共二十六页，2022年，8月28日三、高次多项式曲线拟合最小二乘的思想可以推广到高次多项式拟合。设n次多项式：曲线与数据点的残差：记：为使R最小，令第十九页，共二十六页，2022年，8月28日即：矩阵形式为：第二十页，共二十六页，2022年，8月28日另一种推导格式：将其写为超定方程：其中：当时，方程为超定的，可求其最小二乘解：c=A\y或c=polyfit(x,y,n)第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日例4

用二次多项式拟合下列数据：x=[0.1,0.4,0.5,0.7,0.7,0.9]';y=[0.61,0.92,0.99,1.52,1.47,2.03]';cc=polyfit(x,y,2);xx=0:0.1:1;yy=polyval(cc,xx);plot(xx,yy,x,y,'x')axis([0,1,0,3])xlabel('X');ylabel('Y')第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日第二十三页，共二十六页，2022年，8月28日四、函数线性组合曲线拟合法拟合数据时，也可用已知函数的线性组合，形式为：其中是已知函数，是待定系数，n是所用函数个数。用上式拟合数据，得超定方程：第二十四页，共二十六页，2022年，8月28日例5

确定拟合函数的系数，拟合的数据如下。第二十五页，共二十六页，2022年，8月28日data=[0.10.61;0.40.92;0.50.99;0.71.52;0.71.47;0.92.03];x=data(:,1);y=data(:,2);A(:,1)=ones(size(x));A(:,2)=x;A(:,3