空间向量的数量级

空间向量的数量级第一页，共十六页，2022年，8月28日一、几个概念1）两个向量的夹角OAB2）两个向量垂直如果<a,b>=，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.第二页，共十六页，2022年，8月28日4）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度(模)，

记作3)向量的长度（模）第三页，共十六页，2022年，8月28日1)数量积性质

－－求向量的长度(模)的依据对于非零向量，有：二、数量积的性质－－证明向量垂直的依据2)数量积满足的运算律

注意：数量积不满足结合律，即－－求向量夹角的依据第四页，共十六页，2022年，8月28日练习11.判断真假：3.如图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点。计算：ADFCBE假假假O假真第五页，共十六页，2022年，8月28日gmnl例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。要证l与g垂直，只需证l·g=0而m,n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y),使得向量g=xm+yn

要证l·

g=0,只需l·g=xl·m+yl·n=0故l·g

=0而l·m=0，l·n=0第六页，共十六页，2022年，8月28日例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，

求证：OC⊥AB ABCOHOA⊥BCAH⊥BCOB⊥ACBH⊥ACH是垂心，CH⊥AB得：OC⊥AB方法2：第七页，共十六页，2022年，8月28日例3已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别是BC、AC、OA、OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN。OABCPMNQ第八页，共十六页，2022年，8月28日练习2：2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN⊥AB,MN⊥CD。3.已知空间四边形OABC,OB=OC,∠AOB=∠AOC=θ，求证：OA⊥BC。4.如图，已知正方体,

和相交于点O，连结AO，求证:AO⊥CD'。OD'C'B'A'DABCNMABDC第九页，共十六页，2022年，8月28日2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是边的中点。求证：。同理，NMABDC第十页，共十六页，2022年，8月28日3.已知空间四边形，求证：。OACB第十一页，共十六页，2022年，8月28日4.如图，已知正方体，和相交于点，连结，求证：。OD'C'B'A'DABC第十二页，共十六页，2022年，8月28日例4如图，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD'⊥α，∠DBD'=30°，如果AB=a,AC

=BD=b，求C、D之间的距离。 解：由，可知.由知.babaCABD'D问：若去掉“如图”，并将“∠DBD'=30°”变成“AC与BD成60°角”，结果有无变化？第十三页，共十六页，2022年，8月28日例5已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°,求对角线AC'的长。 解：D'C'B'DABCA'引伸：①求BD'的长；②求直线AC'和BD'的夹角的余弦值。第十四页，共十六页，2022年，8月28日例6已知在正四面体ABCD中，E、F分别为BC和AD的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值。ABCDEF设AB=m，∴AE与CF所成角的余弦值是第十五页，共十六页，2022年，8月28日小结1．正确分清楚空间向量的夹角。2．明