离散傅里叶变换的矩阵表示及其运算量

离散傅里叶变换的矩阵表示及其运算量第一页，共五十页，2022年，8月28日离散傅里叶变换对为：

(4.1) (4.2)式中

。

下面要用矩阵来表示DFT关系。

第二页，共五十页，2022年，8月28日

一般情况下，信号序列x(n)及其频谱序列X(k)都是用复数来表示的，WN当然也是复数。因此，计算DFT的一个值X(k)需要进行N次复数乘法（与1相乘也包括在内）和N-1次复数加法；所以，直接计算N点的DFT需要进行N2次复数乘法和N(N-1)复数加法。

第三页，共五十页，2022年，8月28日显然，直接计算N点的IDFT所需的复乘和复加的次数也是这么多。当N足够大时，N2≈N(N-1),因此，DFT与IDFT的运算次数与N2成正比，随着N的增加，运算量将急剧增加，而在实际问题中，N往往是较大的，因此有必要对DFT与IDFT的计算方法予以改进。第四页，共五十页，2022年，8月28日

4.1.2因子的特性

DFT和IDFT的快速算法的导出主要是根据因子的特性。

1．周期性：

对离散变量n有同样的周期性。第五页，共五十页，2022年，8月28日

2．对称性：

或

3.其它:

第六页，共五十页，2022年，8月28日4.2基2时间抽选的FFT算法

4.2.1算法推导

已经知道：

令DFT的长度N=2M，M为正整数。第七页，共五十页，2022年，8月28日令：

于是有：第八页，共五十页，2022年，8月28日其中，

是由x(n)的偶数抽样点形成的DFT；而

第九页，共五十页，2022年，8月28日是由x(n)的奇数抽样点形成的DFT。但是这两个式子并不完全是N/2点的DFT，因为k的范围仍然是由0到N-1，因此，还应该进一步考虑k由N/2到N-1范围的情况。第十页，共五十页，2022年，8月28日现在令，故对于后半段有：

同理：

又知：

第十一页，共五十页，2022年，8月28日

图

4.1N点DFT分解为两个N/2点的DFT(N=8)第十二页，共五十页，2022年，8月28日

图

4.2N/2点的DFT分解为两个N/4点的DFT(N=8)第十三页，共五十页，2022年，8月28日综上所述，可以得到：

其中G(k)、P(k)分别是x(n)的偶数点和奇数点的N/2点DFT。

第十四页，共五十页，2022年，8月28日

这样，我们就将一个N点的DFT分解成了两个N/2点的DFT，由于DFT的运算量与其点数的平方成正比，因此使运算量减少了。但是，还应该将每一个N/2点的DFT再分解为两个N/4点的DFT，如此下去，直到分解为2点的DFT为止，总共需要进行log2N-1=log2(N/2)次分解。第十五页，共五十页，2022年，8月28日图

4.32点

DFT信号流图（蝶形图）第十六页，共五十页，2022年，8月28日对于2点DFT，有：

所以2点DFT的运算只需一次加法和一次减法，这样的运算叫做蝶形运算，这样的信号流图叫做蝶形图。第十七页，共五十页，2022年，8月28日该算法每次分解都是将时域序列按奇偶分为两组，因此要求N等于2的正整数幂，故将这种FFT算法叫做基2时间抽选法。第十八页，共五十页，2022年，8月28日

4.2.2算法特点

1.倒序重排这种FFT算法的每次分解都是将输入序列按照奇偶分为两组，故要不断地将每组输入数据按奇偶重排，直到最后分解为2点的DFT，输入数据才不再改变顺序。这样做的结果，使得作FFT运算时，输入序列的次序要按其序号的倒序进行重新排列。

第十九页，共五十页，2022年，8月28日现在将图4.4中输入序号以及重排后的序号按二进制写出如下（注：下标“2”表示二进制数）。可以看出，将输入序号的二进制表示（n2n1n0）位置颠倒，得到（n0n1n2），就是相应的倒序的二进制序号。因此，输入序列按倒序重排，实际上就是将序号为（n2n1n0）的元素与序号为（n0n1n2）的元素的位置相互交换。第二十页，共五十页，2022年，8月28日第二十一页，共五十页，2022年，8月28日

2.同址计算

从图4.4可以看出，整个算法流图可以分为四段，（0）段为倒序重排，后面3段为3(log28=3)次迭代运算：首先计算2点DFT，然后将2点DFT的结果组合成4点DFT，最后将4点DFT组合为8点DFT。因此，对于N点FFT，只需要一列存储N个复数的存储器。

第二十二页，共五十页，2022年，8月28日

3.运算量观察图4.4可知，图4.3所示的蝶形图实际上代表了FFT的基本运算，它实际上只包含了两次复数加法运算。一个N(N=2M)点的FFT，需要进行M=log2N次迭代运算。每次迭代运算包含了N/2个蝶型，因此共有N次复数加法；此外，除了第一次的2点DFT之外，每次迭代还包括了N/2次复数乘法（即乘WN的幂）。因此，一个N点的FFT共有复数乘法的次数为：第二十三页，共五十页，2022年，8月28日

复数加法的次数为：

因此，FFT算法比直接计算DFT大大减少了运算量，尤其是当N较大时，计算量的减少更为显著。比如，当N=1024时，采用FFT算法时复数乘法的次数，不超过直接计算DFT时复乘次数的千分之五。

第二十四页，共五十页，2022年，8月28日4.3基2频率抽选的FFT算法

时间抽选法是在时域内将输入序列x(n)逐次分解为偶数点子序列和奇数点子序列，通过求子序列的DFT而实现整个序列的DFT。而频率抽选法则是在频域内将X(k)逐次分解成偶数点子序列和奇数点子序列，然后对这些分解得越来越短的子序列进行DFT运算，从而求得整个的DFT。当然，同样要求N为2的正整数幂。

第二十五页，共五十页，2022年，8月28日

设，则可以分别表示出k为偶数和奇数时的X(k)。

其中，

第二十六页，共五十页，2022年，8月28日第二十七页，共五十页，2022年，8月28日其中，

显然，X(2r)为g(n)的N/2点DFT，X(2r+1)为p(n)WNn

的N/2点DFT。这样，一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFT。将分解继续下去，直到分解为2点的DFT为止。当N=8时，基2频率抽选的FFT算法的整个信号流图如图4.6所示。第二十八页，共五十页，2022年，8月28日将图4.6与图4.4比较，可知频率抽选法的计算量与时间抽选法相同，而且都能够同址计算。时间抽选法是输入序列按奇偶分组，故x(n)的顺序要按倒序重排，而输出序列按前后分半，故X(k)的顺序不需要重排；频率抽选法则是输出序列按奇偶分组，故X(k)的顺序要按倒序重排，而输入序列按前后分半，故x(n)不需要重排。第二十九页，共五十页，2022年，8月28日

4.5快速傅里叶反变换（IFFT）IFFT是IDFT的快速算法。由于DFT的正变换和反变换的表达式相似，因此IDFT也有相似的快速算法。可以用三种不同的方法来导出IFFT算法。方法1

设

，

则有：，n=0,1,┅,N-1第三十页，共五十页，2022年，8月28日根据基2FFT的时间抽选法的第一次分解的结果：第三十一页，共五十页，2022年，8月28日可以得到：第三十二页，共五十页，2022年，8月28日

图

4.8由

X(k)、X(k+N/2)得到

G(k)、P(k)第三十三页，共五十页，2022年，8月28日再由N/2点的DFT求得N/4点的DFT，依次类推下去，就可推到求出x(n)的各点，如图4.9所示。将此流图与图4.4比较，相当于整个流向反过来，此外，因子WNk成为WN-k，还增加了因子1/2。但是，图4.9的IFFT算法不能直接利用按照图4.4编写的FFT算法程序，却可以利用图4.6的频率抽选FFT算法的程序，只需要将X(k)作为输入序列，因子WNk变为WN-k，并且将最后所得的输出序列的每个元素都除以N。第三十四页，共五十页，2022年，8月28日方法2

将DFT的正变换式：

与其反变换式：

第三十五页，共五十页，2022年，8月28日比较，很容易知道，可以利用FFT算法的程序来计算IFFT，只需要将X(k)作为输入序列，x(n)则是输出序列，另外将因子WNk

变为WN-k，

当然，最后还必须将输出序列的每个元素除以N。第三十六页，共五十页，2022年，8月28日

方法3

对DFT的反变换式取共轭，有：

第三十七页，共五十页，2022年，8月28日与DFT的正变换式比较，可知完全可以利用FFT的计算程序，只需要将X*(k)作为输入序列，并将最后结果取共轭，再除以N就得到x(n)。第三十八页，共五十页，2022年，8月28日4.7.1两个长度相同的实序列

可以将两个长度相同的实序列组合成一个复序列来进行FFT运算，从而一次完成这两个实序列的FFT，减少了总的计算量。第三十九页，共五十页，2022年，8月28日

设p(n)和g(n)是两个长度均为N的实序列，并设：

又设

，

，

则由DFT的线性有：(4.36)第四十页，共五十页，2022年，8月28日P(k)和G(k)这两个复序列的实部都是周期性的偶序列，而其虚部都是周期性的奇序列。

对复序列Y(k)又有

(4.37)这里下标r、i分别表示实部和虚部，Y(k)与其实部、虚部的长度都为N。现将(4.37)式中各序列作周期延拓，有

(4.38)第四十一页，共五十页，2022年，8月28日由周期性有： (4.39)

(4.40)第四十二页，共五十页，2022年，8月28日现在将序列

与

作如下分解：

(4.41)

(4.42)第四十三页，共五十页，2022年，8月28日由（4.39）式和（4.40）式，容易证明在(4.41)和(4.42)这两个式子中，前一项都是偶序列，而后一项都是奇序列。