导数在高中数学中地位解题中应用11

导数在高中数学中的地位及解题中的应用11————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:?导数在高中数学中的地位及解题中的应用重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学(师范）201３级3班李锦华指导老师袁南桥中文纲要:在近几年的高考取，对导数的观察愈来愈多,与导数有关的知识也成为高考观察的重要内容.导数作为选修课进入新课程,为高中阶段研究函数的有关性质供给了有力工具,本文试图以导数在函数、不等式以及切线中的应用为例，说明导数在高中数学解题中的应用剖析要点词：高中数学导数解题应用一.导数在高中数学中的地位1.1有益于学生更好地掌握函数思想导数在现行的高中数学教材中处于一种特别的地位,在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单一性、奇偶性、周期性、有界性等。我们知道,函数的这些性质都能够经过函数的图像来反应，因此，假如能正确地作出函数的图像,函数的性质就了如指掌，函数的性态也简单掌握了。假如所波及的函数是基本初等函数，用描点法就能够作出函数的图像。可是，假如所波及的函数是非基本初等函数，比方yx32x2x1，yexx1等函数，仅用描点法就很难较为正确地作出图像。可是,掌握了导数的知识以后，学生就能够利用函数的一阶导数判断函数的单一区间、极值点、最值点;利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线,而后再联合描点法，就能较为正确地作出函数的图像。这样就有益于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识。数学上的很多问题，用初等数学方法是不可以解决的，或许难以解决,而经过数学模型成立函数关系,利用函数思想，而后用导数来研究其性质,充散发挥导数的工具性和应用性的作用，能够轻松简捷地获取问题的解决．其实我们不难发现,函数是成立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不论是在证明不等式，解决数列乞降的有关问题,以及解决一些实质应用问题,我们都能够结构函数模型，而且利用导数,来解决有关问题.１.２有益于学生学好其余学科高中的物理、化学等课程都与数学密切有关，我们所学的导数是微分学的核心观点,它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着宽泛的应用.比如：依据做变速直线运动物体的运动方程：s＝ｓ（t),算出物体的刹时速度:v（ｔ)=ds／dｔ、刹时加快度:ａ（t）=d2s/ｄｔ2;对化学中的反响速度、冷却速度等也都能够经过微积分的方法来解决了.1.3有益于发展学生的思想能力经过学习导数把中学所学的知识所有串连起来，让学生成为知识的“”发现者”“研究者”和“运用者”，一真实发展学生的各项科学素质,培育学生的各项能力,为学生的终生发展和个性发展,科学世界观和科学价值的形成打下基础.二.导数在高中数学解题中的应用２.１导数在研究函数的极值和最值的应用１.函数的最值与极值?求函数的最值是高中数学的要点，也是难点,是高考常常要观察的内容之一,它波及函数知识的好多方面，用导数解决这种问题能够使解题过程简单化，步骤清楚，也简单掌握,进而进一步明确了函数的性质.一般的,求可导函数f(x)的极值和最值的步骤（1)确立函数的定义区间，求导数f'(x)(２)求方程f'(x)0的根,计算f(x)在根和端点的函数值(3）比较f(x)在根和端点的函数值,最大的是最大值，最小的是最小值若x0知足f'(x)0,且在ｘ0的双侧f(x)的导数异号，则x０是f(x)的极值点，f'(x0)是极值.２.鉴别f'(x0)是极大、极小值的方法若x0知足

f(x0)

0,且在x0的双侧

f(x)

的导数异号

,则x0是

f(x)

的极值点，f'(x0)是极值，而且假如

f'(x)在x0双侧知足“左正右负”，则

x0是

f(x)

的极大值点，

f'(x0)是极大值；假如

f'(x)在x0双侧知足“左负右正”

,则

x0是f(x)

的极小值点

,

f'(x0)

是极小值.例1.

求函数

f(x)

x3

3x在[3,3]上的最大值和最小值2

.剖析：先求出f(x)的极值点,而后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[3,3],上的最大值和最小值．2解:因为f'(x)3x233(x21)3(x1)(x1),则当x[3,1]或x(1,3]时，f'(x)02所以[3,1][1,，3]为函数f(x)的单一区间2当x(1,1)，f'(x)0，所以[1,1]为函数f(x)的单一区间又因为f(3)18,f(1)2,f(1)2,f(3)9,所以28当x3时，f(x)获得最小值18;当x1时,f(x)获得最大值2.例2求函数f(x)(x1)2(x2)2的极值．解：f(x)(x1)2(x2)2f'(x)(x1)(5x7)(x2)2令f'(x)0,得驻点x11,x272,x35x(,1)1(1,7)7(7,2)2(2,)555f(x)+0-0+０+f(x)极极大小f(1)0是函数的极大值；f(7)108是函数的极小值?531252.2利用导数研究曲线的切线1.导数的几何意义过曲线yf(x)上随意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数,即()??()也就是说曲线yf(x)在点.,k=f??=lim=lim??????→0?????→0P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f(x)，切线方程为yy0f'(x0)(xx0)．2．导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要表此刻以下几个方面:已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0)(2）已知斜率k,求切点A(x0,f(x0))，即解方程f'(x0)k（３)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出f(x1)f(x0)求解．切点A(x0,f(x0))，利用kx0x1例３求曲线yx33x21在点(1，1)处的切线方程.剖析:本题较为简单，只须求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可.解:由f(x)3x26x则在点(1，1)处斜率kf(1)3,故所求的切线方程为y(1)3(x1),即y3x2例4求与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程.剖析：本题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.解:设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y|xx02x02.x01.获取切点(11)，．故切线方程为y12(x1).即2xy10.例5求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程．剖析:过曲线上一点的切线,该点未必是切点，故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.解:假想P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx03x022．∴切线方程为yy0(3x022)(xx0).y(x032x0)(3x022)(xx0).又知切线过点(1，1),把它代入上述方程,得1(x032x0)(3x022)(1x0)．解得x01,或x01.2故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y1132x1.842即xy20,或5x4y10．２.3利用导数研究函数的单一性1、函数的单一性函数yf(x)在某个区间(a,b)内可导①函数的单一性的充分条件若f'(x)>0,则f(x)为增函数;若f'(x)0,则f(x)为减函数.②函数的单一性的必需条件若f(x)为增函数,则f'(x)0;若f(x)为减函数,则f'(x)0．例６已知函数f(x)exax1（1）求f(x)的单一增区间；能否存在a，使f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在，求出a的取值范围,若不存在,请说明原因.思想点拨:函数的单一性和函数中的参数有关，要注意对参数的议论．解f'(x)exa(1)若a0,则f'(x)exa0即f(x)在R上单一递加若a0,令exa0，则exa,xlna所以当a0时,f(x)的单一增区间为R当a0时,f(x)的单一增区间为[lna,).（2)f'(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立e2exe3,只要ae3当ae3时,f'(x)exe30在x(2,3)上恒成立即f(x)在(2,3)上为减函数，ae3?故存在实数ae3,使f(x)在(2,3)上为减函数.2．4利用导数证明不等式利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，联合不等式的结构特点，结构相应的函数.经过导数运算判断出函数的单一性,将不等式的证明转变为函数问题．对质明形如f（ｘ）≧g(x)(a≦x≦ｂ)的不等式结构形如F(x)f(x)g(x)的函数型并经过一阶或二阶、三阶求导达到证明目的的不等式。作协助函数型:对含有两个变量的不等式，可结构出以此中一个变量为自变量的函数，再采纳上述方法证明不等式.例：:求证：不等式x2x2)上成立.xln(1x)x2(1在x(0,2x)剖析:经过作差，结构函数f1(x)ln(1x)(xx2)和f2(x)xx2ln(1x)22(1x)在经过对f1(x)和f2(x)求导来判断.证明：结构函数f1(x)ln(1x)(xx2)则：2f1'(x)11xx20知f1(x)在(0,)上单一递加，x1x1又因为x0,所以f1(x)f1(0)0即xx2ln(1x)成立2又结构函数f2(x)xx2ln(1x)则:2(1x)f2'(x)14x24x2x212x20知f2(x)在上(0,)单一递加4(1x)21x4(1x)2又因为x0，所以f2(x)f2(0)0即ln(1x)xx22(1x)综上所述,原命题成立．.总结导数的有关知识向来是高考命题的要点与热门.将导数这一观点引入到高中数学教课中,不单使高中数学的教课更显活力,同时也为函数的求解过程供给了更简单更灵巧的解题工具.利用导数能够更便利的解决高中数学中一些用传统方法难以解决的问题,而且能够提升解题的正确率与速度,在实质问题的解决中也能发挥作用.本文经过论述导数在求最值与极值,切线方程，不等式等的求解方式，对其在高中数学解题过程中的应用进行探讨.事实上，导数的应用范围还远远不只这么多.比如在向量中的应用,在分析几何与立体几何中都拥有重要的应用．导数