2022-2023学年安徽省宿州市泗县中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省宿州市泗县中学九年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列方程一定是一元二次方程的是（）A．x2﹣2＝0 B．x（x﹣3）＝x2 C．ax2+5x﹣4＝0 D．3x2＝3（x2﹣1）+32．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．0 D．0或33．下列命题是真命题的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形4．菱形的周长为20，一个内角为120°，则较短的对角线长为（）A．10 B． C．5 D．5．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣x﹣2＝06．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+3＝0的两个根，则x1x2+x1+x2的值是（）A．﹣1 B．11 C．1 D．﹣117．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠08．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°9．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．410．如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC与点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC与点G，连接HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③；④，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．将方程3x（x﹣1）＝5x+2化为一元二次方程的一般形式为．12．方程（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）的两根为x1＝，x2＝．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝cm．14．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为．三、解答题（本大题共四小题，每小题8分，共32分）15．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．16．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．17．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处，求重叠部分△AFC的面积．四、（本大题共两大题，每小题10分，共20分）19．阅读下面的材料，解答后面的问题．材料：解方程：x4﹣3x2+2＝0．解：设x2＝y，则原方程可化为﹣y2﹣3y+2＝0，即（y﹣1）（y﹣2）＝0，得y1＝1，y2＝2．当y＝1时，即x2＝1，解得x＝±1；当y＝2时，即x2＝2，解得；综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，，．上面这种方法称为“换元法”；换元法是数学学习中比较常用的一种思想方法，能使复杂的问题简单化．根据以上材料内容，采用类似的方法解方程（x2﹣3x）2﹣（x2﹣3x）﹣12＝0．20．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由；（3）在（2）的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？五、（本题满分12分）21．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（3）商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由．六、（本题满分12分）22．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？七、（本题满分14分）23．正方形ABCD中，E，F分别为CD，AD上一点，CE＝DF，BE，CF交于点G，O为BD的中点．（1）求证：△BCE≌△CFD；（2）求证：BE⊥CF；（3）求证：BG﹣CG＝OG．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列方程一定是一元二次方程的是（）A．x2﹣2＝0 B．x（x﹣3）＝x2 C．ax2+5x﹣4＝0 D．3x2＝3（x2﹣1）+3【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．解：A．x2﹣2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；B．方程整理可得3x＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；C．当a＝0时，ax2+5x﹣4＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．3x2＝3（x2﹣1）+3整理后不合未知数，故本选项不符合题意．故选：A．2．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，∴4+2m+2＝0，∴m＝﹣3．故选：A．3．下列命题是真命题的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意；故选：D．4．菱形的周长为20，一个内角为120°，则较短的对角线长为（）A．10 B． C．5 D．【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝5，∠BAC＝∠BAD＝60°，再证△ABC为等边三角形，得AC＝AB＝5即可．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为20，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝5，∠BAC＝∠BAD＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝5，即较短的对角线长为5，故选：C．5．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2+x+1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣2x﹣1＝0 D．x2﹣x﹣2＝0【分析】一元二次方程中，没有实数根即根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0．解：选项A中，∵a＝1，b＝1，c＝1∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0∴方程没有实数根其他选项均有实数根，故选：A．6．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+3＝0的两个根，则x1x2+x1+x2的值是（）A．﹣1 B．11 C．1 D．﹣11【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝8，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算．解：根据根与系数的关系得x1+x2＝8，x1x2＝3，所以x1x2+x1+x2＝3+8＝11．故选：B．7．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且k≠0，解得：k＞﹣1且k≠0．故选：D．8．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】延长AB交直线b于点E，利用平行的性质可求出∠AEC的度数，再利用矩形的性质即可求出∠2的度数．解：如图，延长AB交直线b于点E，∵a∥b，∴∠AEC＝∠1＝55°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠AEC＝55°，故选：C．9．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．4【分析】因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C＝90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，∴DF∥BC，∴∠C＝90°，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝2．∴BE＝CD＝．∴四边形BCDE的面积为：2×＝2．故选：A．10．如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC与点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC与点G，连接HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③；④，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由正方形的性质易证Rt△BCE≌Rt△DCF，则∠CBE＝∠CDF，利用三角形内角和定理可得到∠EHD＝∠BCE＝90°，而BE平分∠DBC，根据等腰三角形的性质得到BH平分DF，即HD＝HF，易得OH为△DBF的中位线，根据三角形中位线的性质得OH∥BF，则①正确；CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，得到HD＝HF＝HC，则∠CDH＝∠DCH，可得到∠CHF＝∠CDF+∠DCH＝2×22.5°＝45°，②正确；在Rt△DGH中，∠GDH＝22.5°，tan∠GDH＝tan22.5°＝，易证得GH≠BC，则③不正确；根据三角形中位线定理，即可得到④正确．解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝CB，而FC＝CE，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），∴∠CBE＝∠CDF，而∠BEC＝∠DEH，∴∠EHD＝∠BCE＝90°，即BH⊥DF，∵BE平分∠DBC，∴BH平分DF，即HD＝HF，而点O为正方形ABCD的中心，即OD＝OB，∴OH为△DBF的中位线，∴OH∥BF，则①正确；∵CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，∴HD＝HF＝HC，∴∠CDH＝∠DCH，而∠CBE＝∠CDF＝∠DBC＝22.5°，∴∠CHF＝∠CDF+∠DCH＝2×22.5°＝45°，则②正确；∵GH∥CF，HD＝HF，∴DG＝GC＝DC＝BC，在Rt△DGH中，∠GDH＝22.5°，tan∠GDH＝tan22.5°＝，∴GH≠DG，∴GH≠BC，则③不正确；由①可知OH为△DBF的中位线，即OH为△DCF的中位线，∴，则④正确．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．将方程3x（x﹣1）＝5x+2化为一元二次方程的一般形式为3x2﹣8x﹣2＝0．【分析】根据去括号、移项、合并同类项，可得方程的一般形式．解：去括号，得3x2﹣3x＝5x+2．移项、合并同类项，得3x2﹣8x﹣2＝0．故答案为：3x2﹣8x﹣2＝0．12．方程（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）的两根为x1＝，x2＝4．【分析】解此一元二次方程要有整体思想，把（2x﹣3）看作一个整体，用因式分解法（提取公因式2x﹣3）即可求得．解：（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）∴（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0∴（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0∴2x﹣3＝0，2x﹣3﹣5＝0∴x1＝，x2＝4．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝2.5cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：BD＝AC＝＝10（cm），∴DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF＝OD＝2.5cm，故答案为：2.5．14．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（3，）．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y＝﹣x+4，∴x＝3时，y＝，∴点E坐标（3，），故答案为：（3，）．三、解答题（本大题共四小题，每小题8分，共32分）15．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．【分析】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5，配方，得（x﹣1）2＝5，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．16．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．【分析】设平均每次降价的百分率是x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设平均每次降价的百分率是x，依题意得：100（1﹣x）2＝64，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．答：平均每次降价的百分率是20%．17．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．【分析】由四边形ABCD是菱形，得出BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，根据等角的补角相等得出∠CBE＝∠CDF，从而△CDF≌△CBE（SAS）即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴CE＝CF．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处，求重叠部分△AFC的面积．【分析】矩形翻折后易知AF＝FC，利用直角三角形BFC，用勾股定理求出CF长，也就是AF长，S△AFC＝AF•BC．解：设AF＝x，依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：∠D′＝∠B＝90°，∠AFD′＝∠CFB，BC＝AD′∴△AD′F≌△CBF∴CF＝AF＝x∴BF＝8﹣x在Rt△BCF中有BC2+BF2＝FC2即42+（8﹣x）2＝x2解得x＝5．∴S△AFC＝AF•BC＝×5×4＝10．四、（本大题共两大题，每小题10分，共20分）19．阅读下面的材料，解答后面的问题．材料：解方程：x4﹣3x2+2＝0．解：设x2＝y，则原方程可化为﹣y2﹣3y+2＝0，即（y﹣1）（y﹣2）＝0，得y1＝1，y2＝2．当y＝1时，即x2＝1，解得x＝±1；当y＝2时，即x2＝2，解得；综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，，．上面这种方法称为“换元法”；换元法是数学学习中比较常用的一种思想方法，能使复杂的问题简单化．根据以上材料内容，采用类似的方法解方程（x2﹣3x）2﹣（x2﹣3x）﹣12＝0．【分析】设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣12＝0，求出y，再把y的值代入x2﹣3x＝y求出x即可．解：（x2﹣3x）2﹣（x2﹣3x）﹣12＝0，设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣12＝0，即（y﹣4）（y+3）＝0，解得：y1＝4，y2＝﹣3，当y＝4时，即x2﹣3x＝4，解得x＝4或﹣1；当y＝﹣3时，即x2﹣3x＝﹣3，x2﹣3x+3＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，所以此方程无解，综上所述，原方程的解为x1＝4，x2＝﹣1．20．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由；（3）在（2）的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，根据“等角对等边”得出OE＝OC，OF＝OC，即可得出结论；（2）由（1）得出的OE＝OC＝OF，点O运动到AC的中点时，则由OE＝OC＝OF＝OA，证出四边形AECF是平行四边形，再证出∠ECF＝90°即可；（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，得出四边形AECF是正方形．解：（1）OE＝OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF；（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，又CE为∠ACB的平分线，CF为∠ACD的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，∴∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF＝2（∠ACE+∠ACF）＝180°，即∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形；（3）解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∵MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．五、（本题满分12分）21．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（3）商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由．【分析】（1）利用降价后每件商品的盈利＝降价前每件商品的盈利﹣每件商品降低的价钱，可用含x的代数式表示出降价后每件商品的盈利；利用日销量增加的数量＝2×每件商品降低的价钱，可用含x的代数式表示出日销售增加的数量；（2）利用总利润＝每件商品的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商场要尽快减少库存，即可得出每件商品应降价20元；（3）商场日盈利不能达到2300元，利用总利润＝每件商品的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣375＜0，即可得出该方程没有实数根，即商场日盈利不能达到2300元．解：（1）当每件商品降价x元时，每件商品盈利（50﹣x）元，日销售量增加2x件．故答案为：2x；（50﹣x）．（2）依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，整理得：x2﹣35x+300＝0，解得：x1＝15，x2＝20，又∵商场要尽快减少库存，∴x＝20．答：每件商品应降价20元．（3）商场日盈利不能达到2300元，理由如下：依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2300，整理得：x2﹣35x+400＝0．∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×400＝﹣375＜0，∴该方程没有实数根，即商场日盈利不能达到2300元．六、（本题满分12分）22．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？【分析】（1）计算判别式的值，然后利用非负数的性质得到△≥0，从