北师大版初中数学九年级上册《1.4角平分线2》

北师大•八年级《数学(下)》课首第一章你能证明它们吗？北师大•九年级《数学(上)》角平分线(2)1.4学习目标、重点、难点三角形三条角平分线位置关系定理的证明。重点:（1）三角形三条角平分线位置关系定理及其证明；（2）综合运用。难点:（1）能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。（2）通过例题使学生进一步理解和巩固证明的方法和要求。（1）通过学习活动，进一步提高学生推理证明能力和推理证明的意识，培养抽象概括能力。（2）通过学生交流合作、独立思考等活动，使学生进一步提高分析问题，解决问题的技巧。（1）在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯。（2）通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般的思想。回顾与引入1、角平分线是怎样定义的？2、角平分线的性质和判定如何叙述？3、上节课我们学到了哪些添加辅助线的方法？问题:在∆ABC中，∠A的平分线和∠B的平分线相交于点I，如图所示，I在∠C的平分线上吗？即三角形的三条角平分线相交于一点吗?回顾与思考三角形的角平分线的性质探究新知

已知:∠CAB和∠CBA的平分线的交于I点，求证:I在∠ACB的平分线上.∵I在∠CAB的平分线上，∴ID=IE()又∵I在∠ABC的平分线上，∴IE=IF.()∴ID=IF()∴I在∠ACB的平分线上.()证明:过点I分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别是D,E,F,因此三角形的三条角平分线相交于一点.EDF三角形的角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。ABCPDEF如图,∵AN,CM,BO分别是△ABC的角平分线∴AN,BO,CM交于P点,MNO如果PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD=PE=PF.三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点直角三角形交于斜边的中点钝角三角形交于三角形外的一点交点的性质到三个顶点的距离相等到三边的距离相等列表比较三角形的三边垂直平分线与三条角平分线的性质该结论多应用于几何作图，特别是涉及实际问题的作图题。三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。例1：如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=900，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD。ACBDE（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)∴AC=BC∴∠B=∠BAC（等边对等角）∵∠C=900，∴∠B=450，∴∠BDE=900-450=450。∴BE=DE（等角对等边）。在等腰直角三角形BDE中，例1：如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=900，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD。ACBDE（2）证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED（HL）。∴AC=AE，∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD

角平分线的判定的应用解题后证明：过E作EF⊥AD于E∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥FD∴CE=EF又CE=BF∴EF=BE，而EF⊥AF，BE⊥AB∴E在∠DAB的平分线上即AE平分∠DAB例2、如图所示，AB∥CD，∠B=90º，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠DAB。三角形的角平分线的性质应用

[例3]“角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”。如图(1)所示：①若∠BAD=∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD=CD，②若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD=CD，则∠BAD=∠CAD.试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：如图所示，（1）作出∆ABC两内角的平分线，其交点为P；（2）分别作出∆ABC两外角平分线，其交点分别为D，E，F故满足条件的修建点有四处，即P，D，E，F。三角形的角平分线的性质应用解：（1）存在这样的点P为∠A、∠B的平分线的交点。（2）这个距离为3

1、如图所示，有一个三角形花坛，为了能及时给花草喷水，要在花坛中央安上一旋转喷嘴儿到花坛三边的距离相等，请设计出喷水嘴儿的位置。2、如图所示，在∆ABC中，AB=7，BC=24，AC=25。（1）∆ABC内是