计算机控制系统设计-第二章-离散控制系统课件

第二章离散控制系统主要内容离散系统基本概念离散系统的差分方程描述Z变换及反变换线性离散系统的Z传递函数描述离散系统的数学模型线性离散系统的性能分析基本概念离散系统采样过程量化过程采样控制系统模拟量输入通道组成工业装置信号处理装置1信号处理装置2信号处理装置n……….采样单元I/O接口电路CPU采样保持和放大器A/D控制电路采样过程把时间连续的信号变成一连串不连续的脉冲时间序列的过程称为采样过程或离散化过程。

τ续f(t）是时间上连续且幅值上也连续的信号;f*(t)是时间上离散而幅值上连续的离散模拟信号，因它是一连串的脉冲信号，又称为采样信号。采样开关两次采样（闭合）的间隔时间T，称为采样周期，采样开关闭合的时间，称为采样时间τ。0,T,2T…各时间点为采样时刻。采用后的f*(t)可描述为A/D转换引起的不确定误差孔径时间：A/D转换器完成一次A/D转换所需的时间。续1令

式中，为正弦模拟信号的幅值；f为信号频率。A/D转换起始时刻:

;结束时刻;转换延迟所引起的误差是。续2可见，时，最大，孔径时间一定，这时就最大。则有取，则得时转换的不确定电压误差为相对误差为香农(Shannon)采样定理其中为信号所含的最高频率，为采样频率。工程上，一般取，过程惯量越大，系数越大。量化过程所谓量化，就是采用一组数码(如二进制码)来逼近离散模拟信号的幅值，并将其转换为数字信号。续量化单位q是指量化后二进制数的最低位所对应的模拟量的值。设和分别为转换信号的最大值和最小值，则量化单位为

式中：i——转换后二进制数的位数。例如，模拟信号＝16V、=0V，取i=4，则q=1V,量化误差最大值=＝±0.5V。微型机I/O接口电路D/A转换器D/A转换器...通路1通路n微型机I/O接口电路D/A转换器多路开关输出保持输出保持...通路1通路n模拟量输出通道一个输出通路一个D/A转换器形式共用D/A转换器形式r(t)tr(t)+-b(t)负反馈e*(t)te*(t)计算机uc*(t)tuc*(t)D/Auc(t)tuc(t)控制对象c(t)tc(t)测量元件采样控制系统e(t)A/De(t)t计算机控制系统框图

系统中传递的信息既有数字的也有模拟的，称之为采样控制系统，以区别传递信息全为数字量的离散时间系统。离散系统的差分方程描述差分方程用差分方程描述离散系统差分方程的解法举例线性非时变离散系统非线性定常离散系统线性时变离散系统

用差分方程描述离散系统

用差分方程描述离散系统的过程就是建立该离散系统数学模型的过程。建立数学模型一般有两种方法：

系统模型化系统辨识本息支付问题

开始时借人资金c(0)，欠款支付利息的利率每期为α×100%,现打算每期付相同款项r，N期还清本息。试建立欠款本息支付过程的数学模型，用以计算r．设c(k)为第k期时的欠款。根据要求，第一期欠款为

第二期欠款为。。。。第k期欠款为这样，已知c(0)、N及c(N)=0，可从上式求解出r。续1将上式两边分别从k到(k+1)进行积分，可得

左右同除，得

设在上相当于在采样开关后记了一个一阶保持器，则续2有时为了强调是序列，而不是作为时间的变量则上式可改写为当时，.#z变换的定义式已知令定义Z变换为Z变换与拉氏变换对比拉氏变换z变换连续函数离散函数微分方程差分方程tkTsz∫∑Z变换方法级数求和法部分分式展开法留数计算法级数求和法级数求和法是根据z变换的定义式求函数e(t)的z变换。(1)单位脉冲函数设，求z变换E(z)。因为只有在t=0处值为1，其余均为零，所以有

(4-28)(2)单位阶跃信号设e(t)=1(t)，求z变换E(z)。(4-29)这是一个公比为的等比级数，当即时，级数收敛,则式(4-29)可写成闭合形式（4-30）(3)单位理想脉冲序列设，求z变换E(z)。

（4-31）(4)单位斜坡信号

设e(t)=t，求z变换E(z)。由式(4-29),式(4-30)有(4-32)将式(4-32)两边对z求导数，并将和式与导数交换得两边同乘(-Tz)得单位斜坡信号的z变换(4-33)(5)指数函数

设,求z变换E(z)，为实常数。

（4-34）这是一个公比为的等比级数，当时，级数收敛，可写乘闭合形式

（4-35）(6)正弦信号设，求z变换E(z)因为所以

求取z变换的部分分式法设，求的z变换。此时可将E(s)进行部分分式展开：再求其拉氏反变换再利用式(4-30)和式(4-35)得(4-41)Z变换表Z变换的主要运算定理线性性质初值定理终值定理脉冲序列平移定理（延迟定理）像函数位移定理脉冲序列加权的Z变换定理像函数微分定理差分的Z变换定理求和的z变换定理续脉冲列的卷积定理Z反变换定义常用方法：综合除法:例4-7部分分式展开法:例4-5，例4-6留数计算法例4-7已知试求其z反变换。解应用综合除法得

所以

例4-6

已知之变换

试利用部分分式法求其z反变换。解的特征方程式为

解得为两重根。设

可得

为求，先将方程两边同乘，得

再将上式两边对z求导，得

所以

查表得

采样函数

用Z变换法解差分方程步骤：举例：例4-11差分方程以z为变量的代数方程查表X(z)Z反变换X(k)代入初始值，整理

用z变换法解下列差分方程：

已知初始条件求解对方程两边进行z变换

化简

代入初始条件

例4-11所以

查z反变换表得…

Z传递函数脉冲传递函数在零初始条件下，系统（或环节）输出离散信号的z变换式与输入离散信号的z变换式之比。求z传递函数的步骤求传递函数的步骤系统传递函数的求取步骤如下：1）先求出系统连续部分的传递函数。2）对进行拉氏反变换，求出连续系统脉冲响应函数。3）对采样，求出离散系统脉冲响应函数4)求离散系统脉冲响应函数的变换，即求出传递函数例4-13设计算机控制系统的被控对象的传递函数是

试求连续部分的传递函数。

解系统的连续部分应包括零阶保持器，因此传递函数为

求其z传递函数

根据变换的线性定理和实位移（延迟）定理有由此可见，可简单地提到z变换符号之外，变换成将展开成部分分式，在查z变换表得或者先求出的连续脉冲响应函数。为此，先求利用位移定理求出所以

求的z反变换，并应用延迟定理，得

环节串联时的开环系统（相隔）4-4ar(t)r*(t)R(z)G1(s)d(t)d*(t)D(z)G2(s)c(t)c*(t)C(z)G1(z)G2(z)G(z)=G1(z)G2(z)环节串联时的开环系统（相联）4-4br(t)r*(t)R(z)G1(s)G2(s)c(t)c*(t)C(z)G(z)=G1G2(z)d(t)例（P111）设

对于图4-4a所示开环系统，其z传递函数

而图4-4b所示开环系统，其z传递函数

很明显

有零阶保持器的开环系统r(t)r*(t)c(t)c*(t)r(t)r*(t)c(t)c*(t)G(z)的极点数及其分布情况之决定于GP(s)而和零阶保持器无关。例4-18设开环采样系统如图所示，，采样周期，试比较与。r(t)r*(t)c(t)c*(t)

解由于采样信号未经保持器直接加入系统中，故脉宽对系统有影响。实际上要将结果乘上，才能使系统的总增益不变。下面为讨论方便，未计入的影响。先用变换法求，因为所以代入得用幂级数法求得于是作出c*(t)曲线如图所示

现在我们用拉氏变换法，求环节1／(s+1)在理想脉冲序列作用下的连续输出c(t)。因为

所以

而

对上式进行拉氏反变换，并考虑到延迟定理有

作出c(t)曲线如图所示脉冲传递函数的求取1.由差分方程求取用Z变换，补充例1d3012.由微分方程求取先转化为差分方程，照1做,补充例2d3033.由G(s)求取1)先转换为微分方程，照2做2)G(s)g(t)G(z),补充例3d304例1

已知某离散系统的差分方程为且，，求解：对上式进行z变换将上两式代入原式有以初始条件，代入上式有由上式有例2

求数字PID调节器的脉冲传递函数已知PID调节器的微分方程为其传递函数为现将它离散化，并求取对应的脉冲传递函数便可将微分方程写成如下的差分方程对上式进行z变换有于是积分环节的脉冲传递函数可写成于是PID调节器的积分部分的脉冲传递函数微分部分e(t)在t=KT时刻的导数可近似用下列差分方程来代替对上式进行z变换，即可得微分部分的脉冲传递函数PID调节器的脉冲传递函数，根据线性定理可写成例3

求系统连续部分的脉冲传递函数G(z)设被控对象的传递函数解：连续部分的传递函数由z变换的线性定理和延迟定理，可得将代入前式有离散系统闭环脉冲传递函数

推导d306,d307推导对上式进行z变换有：于是由闭环脉冲传递函数定义式有：典型闭环离散系统方块图:表4-3系统的环节相同，但采样开关的个数或位置不同，则系统的闭环脉冲传递函数(或C(z))将是不同的。如表中的插图1、3及插图6、7。表中图2,5和6所示系统的输出信号C(z)中不包含R(z)，因此，该系统得不出闭环传递函数，只能以C(z)表示。例4-17P117表4-3(一)S平面到Z平面的变换1.S平面上的在Z平面上的映射图4-212.S域主副频带在Z域的映射关系(1)主频带在Z域的映射图4-22(2)副频带在Z域的映射图4-233.S左半平面在Z域的映射图4-244.S右半平面在Z域的映射图4-25(二)朱利-阿斯特隆姆稳定判据例4-29(三)二阶离散系统的稳定判据例4-32(四)离散系统稳定性的劳斯-霍尔维茨稳定判据例4-33线性离散系统的稳定性分析图4-21图4-22图4-23图4-24图4-25设线性定常离散系统的特征方程为:

第一行系数，用特征方程的高次幂系数到低次幂系数顺序排列；第二行系数，是将上行系数倒序排列而成；第三行系数，采用以下公式求得

(4-150)即表中第三行系数为

显然，算至最后一个系数必定为零，即

这样，每经过一次这样的运算，系数就少掉一个。第四行系数，是第三行系数的倒序排列，也即所有偶数行的系数都是上一奇数行系数的倒序排列。第五行系数的算法又类似于第三行，即采用如下公式(4-151)即

即最后一个系数为零，又少掉了一个系数。朱利-阿斯特隆姆稳定判据：离散系统特征方程（4-149）的所有根都在Z平面单位圆内的充分必要条件为，朱利表中所有奇数行第一列系数均大于零。即

如果有小于零的系数，其个数表明特征方程的根在Z平面单位圆外的个数例4-29离散系统的特征方程

试判别系统的稳定性。解按前述方法构造朱利表1-3+2.250.5-)-0.52.25-310.75-1.8750.750.75-1.8750.750例4-32二阶离散系统稳定的充分必要条件为：R(s)T=1C(s)C(z)T

设线性定常离散系统的结构如图，若取开环增益K=1，试比较T=1s和T=4s时系统的稳定性解在上例开环传递函数G(z)的公式中代入K=1，并考虑到闭环特征方程A(z)=1+G(z)=0,经整理得闭环特征方程即或

①T=1时，闭环系统的特征方程为