环境规划与管理的数学

环境规划与管理的数学第一页，共八十一页，2022年，8月28日第一节环境数据处理方法

一、数据的表示方法和数据特征二、异常数据的剔除三、数据的误差分析四、数据的标准化处理第二页，共八十一页，2022年，8月28日一、数据的表示方法和数据特征（一）数据的表示方法列表法：将数据列成表格，将各变量的数值依照一定的形式和顺序一一对应起来，它通常是整理数据的第一步，能为标绘曲线图或整理成数学公式打下基础。图示法：将数据用图形表示出来，它能用更加直观和形象的形式将复杂的数据表现出来，可以直观地看出数据变化的特征和规律，为后一步数学模型的建立提供依据。插值法第一节环境数据处理方法第三页，共八十一页，2022年，8月28日1、列表法例:研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：测量序号温度(t)/℃电阻(R)/Ω110．510．42229．410．92342．711．32460．011．80575．012．24691．012．67第一节环境数据处理方法第四页，共八十一页，2022年，8月28日筛下累计频率（Fi）粒径（dp）/μm2、图示法粒径与筛下累积频率关系曲线第一节环境数据处理方法第五页，共八十一页，2022年，8月28日3、插值法例：用分光光度法测定溶液中铁的含量，测得标准曲线数据如下，试求未知液中吸光度为0.413时铁的含量。（1）作图插值法Fe浓度/（μg·mL-1）24681012吸光度（A）0.0970.200

0.3040.408

0.5100.613

在图的纵坐标上0.413处找到直线上对应点，读出其对应的横坐标数值8.122即为未知液中铁的含量。第一节环境数据处理方法第六页，共八十一页，2022年，8月28日此式即为比例法内插公式，从图上可看出，因为用yc代替了yd

，产生了△y=yd-yc的误差用直线代替曲线（2）比例公式法所以第一节环境数据处理方法第七页，共八十一页，2022年，8月28日（3）牛顿内插公式xy△y△2y△3y△4y01234562412327013222428203862926121824306666000一般的非线性函数都可以展开为多项式:例：制作y=2+x+x3

的差分表。表中△y表示y的1次差值，△2y表示y的差值的差值，以此类推。第一节环境数据处理方法第八页，共八十一页，2022年，8月28日在上面的例子中，x的差值为1，实际上x的差值可以为任意恒量，令此恒量为h，做出差分表的通式如下。xy△y△2y△3y△4yaa+ha+2ha+3h

a+4h...yaya+hya+2hya+3hya+4h...△ya△ya+h△ya+2h△ya+3h...△2ya△2ya+h△2ya+2h...△3ya△3ya+h..△4ya...

表中：△ya=ya+h-ya△2ya=△ya+h-△y

△3ya=△2ya+h-△2ya

△4ya=△3ya+h-△3ya

……可以推得：△nya=△n-1ya+h-△n-1ya第一节环境数据处理方法第九页，共八十一页，2022年，8月28日（二）数据特征数据特征通常可分为以下三类：位置特征数:表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数；离散特征数:用来描述数据分散程度；分布形态特征数:刻划分布曲线图的形态。第一节环境数据处理方法第十页，共八十一页，2022年，8月28日表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数；1.位置特征数（1）算术平均数：（2）加权平均数：如果样本个体数据x1，x2，…,xn取值因频数不同或对总体重要性有所差别，则常采取加权平均方法。第一节环境数据处理方法第十一页，共八十一页，2022年，8月28日

（4）调和平均数：（3）几何平均数：第一节环境数据处理方法第十二页，共八十一页，2022年，8月28日（5）中位数环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。样本数据依次排列（从大到小或者从小到大），居中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平均值。只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。第一节环境数据处理方法第十三页，共八十一页，2022年，8月28日（1）级差（全距）：

（2）差方和、样本方差和样本标准差差方和：

样本方差：样本标准差：（3）变异系数：

2.离散特征数（描述数据离散程度）

第一节环境数据处理方法第十四页，共八十一页，2022年，8月28日（1）偏态系数主要描述数据频率分布不对称特征，是反映数据分布不对称性的统计参数。其绝对值越大，偏斜越远。以平均值与中位数之差对标准差之比来衡量偏斜程度。3.分布形态特征数（刻划分布曲线图的形态）（2）峰态系数峰态系数描述数据分布陡峭程度。xk中位数s为样本标准差。第一节环境数据处理方法Cs<0，平均数在众数之左，左偏Cs>0，平均数在众数之右，右偏第十五页，共八十一页，2022年，8月28日二、异常数据的剔除在处理实验数据的时候，我们常常会遇到个别数据偏离预期或大量统计数据结果的情况如果我们把这些数据和正常数据放在一起进行统计，可能会影响实验结果的正确性，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略了重要的实验信息。下面主要介绍几种剔除法。第一节环境数据处理方法第十六页，共八十一页，2022年，8月28日1.格拉布斯准则用格拉布斯准则检验可疑数据xp时，选取一定的显著性水平α，若：

则应将xp从该组数据中剔除，称为格拉布斯检验临界值，其值见表4-1。

以上准则是以数据按正态分布为前提的，当数据偏离正态分布,特别是测量次数很少时，则判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外,要保证测量条件稳定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。第一节环境数据处理方法该法是一种统计判别法，即给定一个置信概率，并确定一个置信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误差范围，将其视为异常数据剔除。第十七页，共八十一页，2022年，8月28日用容量法测定某样品铬的含量，9次平行测定数据为：9.21，9.15，9.02，8.99，8.87，8.76，8.65，8.53，8.01（%），试用格拉布斯准则分析其中有无异常数据。【解】：，标准差s=0.37，取显著性水平ɑ=0.05，查表λ=2.11。该组数据中，8.01的偏差最大，故应首先检验该数据。故8.01应被剔除。剔除8.01后，重新计算得，s=0.24，查表λ=2.038.53偏差最大，检验8.53：故8.53不是异常数据，应保留。【例4-1】第一节环境数据处理方法1-α称为置信概率，表示未知参数落在置信区间中的可靠程度。通常取1-α的值为99%、95%、90%。第十八页，共八十一页，2022年，8月28日2.拉依达准则则应将xp从该组数据中剔除。至于选择3s还是2s与显著性水平α有关，3s相当于显著水平＝0.01，2s相当于显著水平＝0.05。显著性水平α表示的是检验出错的几率为α，或检验的可置信度为1－α。

若可疑数据xp与样本数据之算术平均值的偏差的绝对值大于3倍（或2倍）的标准偏差，即：第一节环境数据处理方法第十九页，共八十一页，2022年，8月28日

3.狄克逊（dixon）法狄克逊法是采用极差比的方法，经严密推算和简化而得到的准则。狄克逊研究了n次测量结果，按其数值大小排列：x(1)≤x(2)≤…≤x(n)

当xi

服从正态分布时，用不同的公式求得下表中的f

值，再经过查表，得到相应的临界值，进行比较，若计算值>f(n,ɑ)视为异常值，舍弃；再对剩余数值进行检验，直到没有异常值为止。第一节环境数据处理方法第二十页，共八十一页，2022年，8月28日nf(n,α)f的计算公式α

=0.01α

=0.05x(1)30.9880.94140.8890.76550.7800.64260.6980.56070.6370.50780.6830.55490.6350.512100.5970.447110.6790.576120.6420.546130.6150.521140.6410.546150.6160.525160.5950.507170.5770.490180.5610.475190.5470.462200.5350.450210.5240.440220.5140.430230.5050.421240.4970.413250.4890.406第二十一页，共八十一页，2022年，8月28日【例】用狄克逊法判断下列测试数据(40.02，40.15，40.20，40.13，40.16)中的40.02是否应舍弃？解：将数据从小到大排列，取α=0.05，

40.0240.1340.1540.1640.20

因为，0.611＜0.642

所以40.02应保留。第一节环境数据处理方法第二十二页，共八十一页，2022年，8月28日三、数据的误差分析（一）几种误差的基本概念

绝对误差：观测值与真值之差。反映了观测值偏离真值的大小。通常所说的误差一般是指绝对误差。

绝对误差＝观测值-真值

相对误差：绝对误差和真值的比值，常用百分数表示。

相对误差=绝对误差/真值（%）

算术平均误差△x

标准误差σ也称均方根误差或标准偏差，它常用来表示观测数据的精密度，标准误差越小，说明数据精密度越好。第一节环境数据处理方法第二十三页，共八十一页，2022年，8月28日（二）误差的分类及来源

随机误差：是在一定条件下以不可预知的规律变化着的误差，属于偶然误差。偶然因素是操作者无法严格控制的，故无法完全避免随机误差。但它的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布。系统误差：又叫做规律误差。它是在一定的测量条件下，对同一个被测尺寸进行多次重复测量时，误差值的大小和符号（正值或负值）保持不变；或者在条件变化时，按一定规律变化的误差。系统误差来源有仪器误差、理论误差、操作误差、试剂误差。

过失误差：是由于操作人员不仔细、操作不正确等原因引起的，它是完全可以避免的。第一节环境数据处理方法【举例】第二十四页，共八十一页，2022年，8月28日（三）误差分析误差分析中，常采用精密度、正确度和准确度来表示误差的性质。精密度反映了随机误差大小的程度，是指在相同条件下，对被测对象进行多次反复测量，测量值之间的一致(符合)程度。正确度指测量值与其“真值”的接近程度。对于一组数据来说，精密度高并不意味着正确度也高；反之，精密度不好，但当测量次数相当多时，有时也会得到好的正确度。准确度指被测对象测量值之间的一致程度以及与其“真值”的接近程度。第一节环境数据处理方法第二十五页，共八十一页，2022年，8月28日准确度、正确度和精密度的关系第一节环境数据处理方法为各组数据的平均值。真值为37.4。精密度：测量值之间的一致(符合)程度。正确度：测量值与其“真值”的接近程度。准确度：被测对象测量值之间的一致程度以及与其“真值”的接近程度。第二十六页，共八十一页，2022年，8月28日四、数据的标准化处理

在大批的环境统计数据中，当数据的物理量不同、单位或量值差别较大时，常常会给下一步分析带来困难，这时就有必要对数据进行标准化处理，从而提高计算的精度。环境管理与规划中，常采用下面的公式进行标准化处理：uij为xij标准化后对应的数据xij(i=1，2，3，…，m；j=1，2，3，…，n)为第i个因子的第j个数据，Si_第i个因子的平均值，为第i个因子的标准差。第一节环境数据处理方法第二十七页，共八十一页，2022年，8月28日第二节最优化分析方法一、环境系统分析基本知识二、线性规划三、非线性规划四、动态规划第二十八页，共八十一页，2022年，8月28日一、环境系统分析基本知识1、系统钱学森：把及其复杂的研究对象称为系统，即由相互作用、相互依赖的若干组成部分结合成具有特定功能的有机整体，而且这个系统本身又是它从属的一个更大系统的组成部分。作为一个系统，必须具备三个条件：一是有两个以上相互联系的要素；二是要素之间必须按一定方式有机整合而不是胡乱拼凑；三是具有并能输出特定的整体功能。第二十九页，共八十一页，2022年，8月28日2、环境系统分析系统分析就是对一个系统内的基本问题，用系统观点思维推理，在确定和不确定的条件下，探索可能采取的方案，通过分析对比，为达到预期目标选出最优方案的一种辅助决策的方法。环境问题是各相关要素综合作用的结果。例如：污水排入河流造成水的污染，涉及到众多因素（排放口位置、排放方式、处理程度、河流背景值等）。将环境问题作为一个系统来研究，从整体上考虑问题，从而找出最有效的控制对策（最优决策方案），即为环境系统分析。例如：在决策污水排放方案时，应对污染物处理量和排放量、处理方法和处理程度、排放口位置、水质要求以及河流背景情况等进行综合分析，从而得到费用最少或效益最高的最优决策方案。第三十页，共八十一页，2022年，8月28日3、系统分析的基本要素目的：系统分析必须明确系统所期望达到的目的。可行性方案：为实现目的的手段和措施称为可行性方案。例如规划某沿河城市的污水处理系统，可采用分区处理后排放或集中排放两种措施（方案）。模型：建立模型的目的是为了把复杂的问题简单化，便于描述或预测可能出现的结果。模型有三类：实物模型、图形模型、数学模型。费用：实施方案所需的投资，在模型中体现。效果：衡量效果一般由效益或有效性指标。评价标准：衡量可行性方案优劣的指标是评价标准。通过评价标准可以对各个可行性方案进行综合评价。第三十一页，共八十一页，2022年，8月28日4、系统最优化及其模型系统最优化通常是通过最优化数学模型实现的。最优化的方法很多。目前通用的方法如线性规划、动态规划、网络与图论等。最优化模型通常是由状态方程（约束条件）和目标函数构成，一般形式为s.t.最优化模型由决策变量、目标函数和约束条件构成。第三十二页，共八十一页，2022年，8月28日二、线性规划

在环境规划管理中，线性规划常常用来解决两类优化问题：一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高，二是如何统筹安排以便费用最少（或消耗最少的资源）或排放最少的污染物。一般线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。第二节最优化分析方法目标函数St约束条件规划变量第三十三页，共八十一页，2022年，8月28日【解】：设决策变量为xi，为工厂采用i

种除尘设备时的燃煤量。

【例4-2】

某地区的总悬浮颗粒物TSP来源于某工厂，该工厂每年燃煤量为400000t，燃烧每吨煤TSP的产生量为95kg。为了满足环境质量要求，TSP的最大允许排放量为17600t/a。试以最小的治理费用达到环境目标。第二节最优化分析方法产值最大或利润最高费用最少或排放最少的污染物除尘器种类决策变量费用/元.t-1除尘效率（%）重力沉降室x1C11.080喷雾洗涤器x2C21.490目标函数St约束条件第三十四页，共八十一页，2022年，8月28日【例4-3】

某地区的总悬浮颗粒物TSP来源于三个当地的工厂，基础数据如下表。为了满足环境质量要求，TSP的最大允许排放量为17600t/a。试以最小的治理费用达到环境目标。第二节最优化分析方法产值最大或利润最高费用或排放最少的污染物TSP产生量(kg/t)产量（t/a）燃煤量(t/a)工厂195400000工厂295300000工厂385250000表4-2表示各种除尘设备的效率。各种除尘设备的效率不一定适应于每个污染源，可行的各种除尘方法及相应费用见表4-3。第三十五页，共八十一页，2022年，8月28日序号设备类型除尘效率（%）0无01重力沉降室592惯性除尘器743旋风除尘器844喷雾洗涤器945电除尘器97各种除尘设备的效率TSP除尘方法工厂1工厂2工厂3决策变量费用/元.t-1决策变量费用/元.t-1决策变量费用/元.t-10x10C100.0x20C200.0x30C300.01x11C111.0x21C201.4x31C311.12不可行不可行不可行不可行x32C321.23不可行不可行不可行不可行x33C331.54x14C142.0x24C242.2x34C343.05x15C152.8x25C253.0不可行不可行各种除尘方法费用第三十六页，共八十一页，2022年，8月28日污染源1TSP排放量为95（x10+0.41x11+0.06x14+0.03x15）=95x10+39x12+5.7x14+2.9x15同理，可得到其他污染源的排放量，则TSP总排放量约束（95x10+39x11+5.7x14+2.9x15）+（95x20+39x21+5.7x24+2.9x25）+（85x30+34.9x31+22.1x32+13.6x33+5.1x34）≤17600生产能力（燃煤量或产品产量）约束

x10+x11+x14+x15=400000x20+x21+x24+x25=300000

x30+x31+x32+x33+x34=250000【解】：设决策变量为xij，为i工厂采用j种除尘设备时的燃煤量（工厂1、工厂2）或产品产量（工厂3）。

TSP控制方法工厂1工厂2工厂3决策变量费用/元.t-1决策变量费用/元.t-1决策变量费用/元.t-10（0）x100.0x200.0x300.01（59）x111.0x211.4x311.12（74）不可行不可行不可行不可行x321.23（84）不可行不可行不可行不可行x331.54（94）x142.0x242.2x343.05（97）x152.8x253.0不可行不可行第二节最优化分析方法TSP产生量(kg/t)产量（t/a）燃煤量(t/a)工厂195400000工厂295300000工厂385250000目标函数为（治理费用最小）第三十七页，共八十一页，2022年，8月28日采用单纯形法，得到最优解为X=(x11，x14，x24，x32)T=(242739，157207，300000，250000)T由该结果可见：工厂1采用重力沉降室1和喷雾洗涤器4除尘；工厂2采用喷雾洗涤器4除尘；工厂3采用惯性除尘器2除尘。将规划变量代入目标函数第二节最优化分析方法得到除尘最小总费用Z=1517207元/a。第三十八页，共八十一页，2022年，8月28日二、非线性规划

在环境规划与管理中，某些问题的决策模型可能会出现下面的情况：①目标函数非线性，约束条件为线性；②目标函数为线性，约束条件非线性；③目标函数与约束条件均为非线性函数。上述情况均属于非线性规划问题，其数学模型的一般形式是：

第二节最优化分析方法第三十九页，共八十一页，2022年，8月28日数值求解非线性规划的算法大体分为两类：一是采用逐步线性逼近的思想，通过一系列非线性函数线性化的过程，利用线性规划获得非线性规划的近似最优解；二是采用直接搜索的思想，根据部分可行解或非线性函数在局部范围内的某些特性，确定迭代程序，通过不断改进目标值的搜索计算，获得最优或满足需要的局部最优解。第二节最优化分析方法第四十页，共八十一页，2022年，8月28日三、动态规划在环境规划管理中，经常遇到多阶段最优化问题，即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选择不仅取决于前一阶段的决策结果，而且影响到下一阶段活动的决策，从而影响到整个决策过程的优化问题。这类问题通常采用动态规划方法求解。动态规划(dynamicprogramming)是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策过程(decisionprocess)最优化的数学方法。多阶段决策过程的最优化，是将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。各个阶段决策的选取依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。第二节最优化分析方法第四十一页，共八十一页，2022年，8月28日基本原理：作为多阶段决策问题，其整个过程的最优策略应具有这样的性质，即无论过去的状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，其后一系列决策必须构成最优决策。求解方法：把多阶段决策问题分解成许多相互联系的小问题，从而把一个大的决策过程分解成一系列前后有序的子决策过程，分阶段实现决策的“最优化”，进而实现“总体最优化”方案。第二节最优化分析方法第四十二页，共八十一页，2022年，8月28日式中：k—阶段数，k=n-1，…，3，2，1xk——第k阶段的状态变量，即k－1阶段决策的结果。第k阶段所有状态成一状态集；——第k阶段的决策变量，它代表第k阶段处于状态xk时的选择，即决策；——第k阶段从状态xk转移到下一阶段状态uk(xk)时的阶段效果。第二节最优化分析方法动态规划求解可用下列递推关系式表示：第四十三页，共八十一页，2022年，8月28日第三节常用决策分析方法一、决策树二、决策矩阵三、多目标决策方法第四十四页，共八十一页，2022年，8月28日决策是指通过对解决问题备选方案的比较，从中选出最好的方案。含义：决策树法是把方案的一系列因素按它们的相互关系用树状结构表示出来，再按一定程序进行优选和决策的技术方法。适用对象：多阶段决策，前一阶段的决策影响后续阶段的结构和决策的项目。

——决策点，从它引出的分枝称为策略方案分枝，分枝树反映可能的方案数；一、决策树法○——表示策略方案节点，其引出的分枝称为概率分枝，分枝数目反映可能的自然状态数；

△——表示事件节点，又称末梢。第三节常用决策分析方法方案分支概率分支决策点策略方案节点末梢第四十五页，共八十一页，2022年，8月28日运用决策树进行决策的方法和步骤：方法：从左向右（从决策点开始）展开方案枝，按照可能产生的状态和结果，绘出决策树；逆序求解，从决策树的末梢向决策点倒退，计算出不同决策方案下的期望值

期望值=∑各分枝上的概率×相应终点损益值最后根据各策略方案期望值的大小确定最优决策方案。步骤：（1）绘制决策树图；（2）预计可能事件（可能出现的自然状态）及其发生的概率；（3）计算各策略方案的损益期望值；（4）比较各策略方案的损益期望值，进行择优决策。

若决策目标是效益，应取期望值大的方案；若决策目标是费用或损失，应取期望值小的方案。第三节常用决策分析方法第四十六页，共八十一页，2022年，8月28日【例】（参考书目：环境管理学-杨贤智编著）有一石油化工企业，对一批废油渣进行综合利用。它可以先做实验，然后决定是否综合利用；也可以不做实验，只凭经验决定是否综合利用。做实验的费用每次为3000元，综合利用费每次为10000元。若做出产品，可收入40000元；做不出产品，没有收入。各种不同情况下的产品成功概率均已估计出来，都标在图1上。试问：欲使收益期期望值为最大，企业应如何作出决策。

第三节常用决策分析方法第四十七页，共八十一页，2022年，8月28日1234①试验概率为0.6②综合利用△-3000△-10000产品成功概率为0.85产品不成功概率为0.15不综合利用△0△0△40000③④产品成功概率为0.1产品成功概率为0.55产品不成功概率为0.9产品不成功概率为0.45不综合利用不综合利用0△0△△

0△

0△40000△

40000不试验概率为0.4综合利用综合利用△-10000△-10000效果好效果不好1、绘出决策树第三节常用决策分析方法2．计算事件点②、③、④的期望值状态节点②40000×0.85＋0×0.15＝34000状态节点③40000×0.10＋0×0.90＝4000状态节点④40000×0.55＋0×0.45＝22000概率分支决策点策略方案节点末梢方案分支方案分支方案分支方案分支事件点第四十八页，共八十一页，2022年，8月28日状态节点②34000状态节点③4000状态节点④22000根据以上结果可将决策树简化为下图：第三节常用决策分析方法3.在决策点2、3、4作出决策在决策点2：按max[（34000－10000），0]＝24000，决定综合利用。在决策点3：按max[（4000－10000），0]＝0，决定不综合利用。在决策点4：按max[（22000－10000），0]＝12000，决定综合利用。第四十九页，共八十一页，2022年，8月28日在决策点：按max[（34000－10000），0]＝24000，决定综合利用。在决策点：按max[（4000－10000），0]＝0，决定不综合利用，放弃。在决策点：按max[（22000－10000），0]＝12000，决定综合利用。决策树进一步简化为下图：234第三节常用决策分析方法4.计算状态点①的期望值：24000×0.6＋0×0.4＝144005.在决策点1作出决策：做实验和不做实验，收入期望值为[（14400-3000），12000]=12000

最后得出整个问题的决策为：不做实验、直接综合利用，收入期望值为12000元。第五十页，共八十一页，2022年，8月28日二、决策矩阵

决策矩阵又称为损益矩阵，它是利用损益的期望值进行决策，常用于有限条件下资源分配的最优化决策问题。方案自然状态s1(P1)…sj(Pj)…sn(Pn)1V11…V1j…V1n………………iVi1…Vij…Vin………………mVm1…Vmj…Vmn第三节常用决策分析方法

1，…，i，…，m是满足决策目标要求的m个可行的独立备选方案；S1，S2，…，Sn是每一种方案都可能遇到的外部条件，所有外部条件的集合S={S1，S2，…，Sn}称为状态空间；P1，P2，…，Pn是各种外部状态可能发生的概率，其发生的概率总和为1；决策矩阵的矩阵元素Vij表示第i个方案在第j种外部条件下所产生的收益或损失。第五十一页，共八十一页，2022年，8月28日

各方案期望损益值为损益值与概率的乘积之和

最终选择期望收益最大的方案为决策方案。第三节常用决策分析方法第五十二页，共八十一页，2022年，8月28日

则最终选择期望收益最大的甲方案为决策方案。第三节常用决策分析方法【例】某企业研制某种产品，有三种生产方案（甲、乙、丙），试进行方案的决策。方案S1（销路好）P1=0.3S2（销路一般）P2=0.5S3（销路差）P3=0.2甲402615乙353020丙302420甲方案乙方案丙方案表中效益值的单位为万元。第五十三页，共八十一页，2022年，8月28日三、多目标决策方法

在环境管理与规划问题中,同时存在着多个目标，每个目标都要求达到其最优值，并且各目标之间往往存在着冲突和矛盾，这类问题就是多目标决策问题。解决这类决策问题的方法就是多目标决策方法。多目标决策是对多个相互矛盾的目标进行科学、合理的选优，然后作出决策的理论和方法。例如：制定水污染控制规划，既要考虑费用最低，又要处理效果最好，还要满足环境目标要求。再例如：在进行生产过程的组织决策时，既要考虑产量最大，又要使产品质量高，生产成本低，同时还要污染物排放量少。

第三节常用决策分析方法第五十四页，共八十一页，2022年，8月28日多目标决策方法很多，如目标规划法、化多为少法、分层序列法等，此处介绍目标规划法，该方法与线性规划方法相同。该方法首先按重要性对多个目标排序为p1、p2、…、pm个等级，然后设定决策变量、列出目标函数和约束条件，用单纯性法进行求解。

【例】谋工厂产生两种环保材料，有两个生产流水线，每周产生时间为80h，1000件/h。材料1的计划销量为70000件/周，材料2的计划销量为45000件/周，利润分别为2.5元/件和1.5元/件。该厂根据市场供需状况提出了四个按重要性大小排列的目标：（1）避免生产下降，以维持稳定的工作时数；（2）每周加班时数不超过10h

（3）产品销量尽可能达到计划要求（4）尽可能减少加班时数试做出满足上述目标下的生产安排。

第三节常用决策分析方法多目标决策方法第五十五页，共八十一页，2022年，8月28日第三节常用决策分析方法【解】

决策变量x1、x2分别为生产两种材料的时数；偏差变量d+、d-分别为未达目标的差额和超过目标的差额。偏差变量d1+、d1-分别为生产时间超过80h和不足80h的正、负偏差；偏差变量d2-为销售材料1未达到70000件的负偏差；偏差变量d3-为销售材料2未达到45000件的负偏差；偏差变量d11-、d11+分别为加班不足10h和超过10h的正、负偏差；目标函数：约束条件：

变量约束：（1）避免生产下降，以维持稳定的工作时数；（2）每周加班时数不超过10h（3）产品销量尽可能达到计划要求（4）尽可能减少加班时数每周产生时间为80h，1000件/h。材料1的计划销量为70000件/周，材料2的计划销量为45000件/周，利润分别为2.5元/件和1.5元/件。第五十六页，共八十一页，2022年，8月28日第三节常用决策分析方法处理多目标决策问题遵循的原则：

在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。常用的方法有：（1）除去从属目标，归并类似目标。（2）把那些只要求达到一般标准而不要求达到最优的目标降为约束条件。（3）采取综合方法将能归并的目标用一个综合指数来反映。第五十七页，共八十一页，2022年，8月28日第四节环境数学模型一、数学模型概述二、模型的建立三、模型参数的估算方法四、模型的检验第四节环境数学模型第五十八页，共八十一页，2022年，8月28日一、数学模型概述

环境数学模型是用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态等方面的内在规律和相互关系的数学方程。它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过实验或现场监测，取得大量的有关信息和数据，经过简化和数学演绎而得出的一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变量及其参数间的关系。应用于环境规划与管理和环境影响评价等方面的环境数学模型，主要包括大气扩散模型、水文与水动力模型、水质模型、土壤侵蚀模型、沉积物迁移模型和物种栖息地模型等，每一类模型又可按模型的空间维数、时间相关性、数学方程特征等来进行分类。第四节环境数学模型第五十九页，共八十一页，2022年，8月28日按空间维数分类零维模型一维模型二维模型三维模型按时间相关性分类动态模型稳态模型按数学方程特征分类按模型是否含随机变量分类按模型中变量阶次分类按模型所属数学分支分类代数模型微分方程模型函数方程模型不等式模型随机模型确定性模型线性模型非线性模型第四节环境数学模型第六十页，共八十一页，2022年，8月28日初等数学模型几何模型图论模型马氏链模型规划模型按数学方法分类按建模目的分类描述模型分析模型预报模型优化模型决策模型控制模型

白箱模型黑箱模型灰箱模型按对模型结构了解程度分类第四节环境数学模型第六十一页，共八十一页，2022年，8月28日1.图解法采用点和线组成的用以描述系统的图形称为图模型。图模型形象、直观，对决策者了解系统结构和功能之间的关系很有帮助。但图解建模法作为一种描述性方法，往往精确度较差，而且受人的视觉影响而局限于三维空间中，因此它通常作为建立系统方程式模型的辅助分析工具来用。

二、建立模型的方法第四节环境数学模型第六十二页，共八十一页，2022年，8月28日2.质量平衡法根据质量平衡原则建立微分方程是最常用的建立白箱模型的方法。应用质量平衡方法必须知道物质流的方向和通量，污染物质反应的方式和速度，以及各种污染物之间的相关关系和关联作用（机理分析）。模型中都包含了一个或多个待定参数，有些参数可以通过机理分析确定，而有些参数很难由机理分析确定，且数值又随时间、空间变化，因此需要借助于大量的观测数据最终确定。第四节环境数学模型第六十三页，共八十一页，2022年，8月28日【举例】水质完全混合模型(零维模型)第四节环境数学模型

Cp、Qp——分别为排放废水中污染物浓度和流量Ch、Qh——分别为河流中污染物浓度和流量2.质量平衡法第六十四页，共八十一页，2022年，8月28日3.概率统计法概率统计法中，回归分析预测法和时间序列预测法是广泛采用的方法。（1）回归分析法回归分析法是研究两个及两个以上变量之间相互关系的一种统计分析预测方法。回归分析的变量中有一个是因变量，其余是自变量，通过分析各因素之间的因果关系和影响程度，用环境监测数据拟合函数关系式，按最小二乘法原则确定函数式中的参数值，进而建立回归预测模型，预测环境要素变化规律。第四节环境数学模型第六十五页，共八十一页，2022年，8月28日

对如下一元回归模型：

y=b+ax

采用最小二乘法可求得a和b第四节环境数学模型第六十六页，共八十一页，2022年，8月28日根据变量之间函数形式的不同，回归分析分为线性回归和非线性回归；根据自变量个数的多少，可分为一元回归和多元回归。线性回归：一元线性回归

y=b+ax多元线性回归y=a1x1+a2x2+…+aixi+…+anxn+b第四节环境数学模型3.概率统计法非线性回归：幂函数y=axb

指数函数y=aebx对数函数y=a+blgx

双曲函数1/y=a+b/x第六十七页，共八十一页，2022年，8月28日2、时间序列法该法是将历史统计资料按时间顺序排列，利用数理统计方法对数据进行处理，建立预测模型，进而预测其未来变化趋势的方法。根据数据处理方法的不同，时间序列预测方法主要分为移动平均法、加权滑动平均法和指数平均法。时间序列预测模型

一次曲线模型y=a+bt

二次曲线模型y=a+bt+ct2第四节环境数学模型3.概率统计法第六十八页，共八十一页，2022年，8月28日(1)移动平均法移动平均法假设环境变化只受临近期间数据变化的影响。具体做法是：在一定的时间间隔内，对给定数据求其平均值，每次求平均值时，按数据点的数据依次后移一个周期。即只要选定一个时距，在每次顺序推移时，将原时距内的第一项舍去，进行移动平均。该法用于给定的时间序列时，数值异常大或异常小的数据将被修匀第四节环境数学模型第六十九页，共八十一页，2022年，8月28日（2）加权滑动平均法对时距内各个时间的各项数据，按时间的远近，乘以不同的权值，进行加权平均，再进行预测的方法。（3）指数平均法按处理数据点的性质分为离散系列指数平滑法和连续系列指数平滑法；按数据处理方法分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法。

一次指数平滑法

X′=ɑXt-1+(1-ɑ)Xt-1′

此式表示预测值X′是前次实测值Xt-1与预测值Xt-1′的加权平均值，其权系数分别为ɑ和（1-ɑ）

二次指数平滑法：是对一次指数平滑数据再做一次指数平滑而得到预测值的方法。第四节环境数学模型第七十页，共八十一页，2022年，8月28日三、模型参数的估值方法由于环境系统中的模型基本上都是灰箱模型，其中存在着一个或多个待定参数，因此参数的估计是建立环境数学模型非常重要的一项工作。下面介绍几种主要的估值方法。第四节环境数学模型第七十一页，共八十一页，2022年，8月28日（一）图解法

凡是给定的公式或数据可以直接描述成一条直线，或经过一定处理后可以转化为直线时，常常采用图解法估计参数。其数学表达式为：

y=b+ax

直线的斜率a和截距b