点的合成运动白

点的合成运动白第一页，共八十九页，2022年，8月28日问题的提出：1、坐在行驶的火车内看下雨的雨点在车窗上走过的轨迹怎样？2、螺旋桨和车轮上一点的运动对于不同的参考系有什么不同？为什么在不同的参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？运动的相对性—物体对于不同的参考系，运动各不相同。这些运动之间有无普遍性的联系？第二页，共八十九页，2022年，8月28日第八章点的合成运动

§8–1绝对运动、相对运动与牵连运动

§8–2点的速度合成定理

§8–3点的加速度合成定理

结论与讨论第三页，共八十九页，2022年，8月28日

§8–1绝对运动、相对运动与牵连运动1、点的合成运动的概念合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成的运动。三项主要任务复杂运动简单运动选择1个点：在问题面前，首先要明确你要求解的那一点。确定2组坐标系：需确定一组定参考系和一组动参考系。区分3种运动：搞清绝对运动、相对运动和牵连运动的不同和联系。第四页，共八十九页，2022年，8月28日2、一个动点所研究的点，指相对于定参考系和动参考系均有运动的点。（动点）3、两个参考系静坐标系（定系）：固结在地面上的坐标系，以Oxyz表示。动坐标系（动系）：固定在相对于地面（定系）运动的参考体上的坐标系；以Oxyz表示。4、三种运动●动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动。●动点相对于动参考系的运动，称为相对运动。●动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。第五页，共八十九页，2022年，8月28日5、三种速度和加速度牵连运动中,动系的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度分析：动系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动。所以除非动系做平移，否则其上各点运动都不完全相同。动系上与动点的运动直接相关的是动系上与动点重合的那一点。牵连点：任一瞬时，动系上与动点重合的那一点。牵连点是指动系上的点，动点运动到动系上哪一点，该点就是动点的牵连点。牵连点第六页，共八十九页，2022年，8月28日实例分析绝对运动？牵连运动？相对运动？第七页，共八十九页，2022年，8月28日实例分析—牵连点第八页，共八十九页，2022年，8月28日注意：（1）站在什么地方看物体的运动？（2）看什么物体的运动？动点定系动系

绝对运动与相对运动都是指点的运动；牵连运动则是刚体的运动。牵连点牵连运动第九页，共八十九页，2022年，8月28日§8-2点的速度合成定理M1MABM2[推导]：设想AB为一金属丝，动点M为沿金属丝滑动的一极小圆环。●动参考系与曲线AB固结；定参考系与地面固结。●经过极短时间间隔△t。动点沿动系移动到M1点；动系AB移动到A’B’，（注意以上两步实际上是同时发生的）；动点实际上是沿弧MM’运动到M’点。●弧MM’为绝对轨迹；●弧MM1为相对轨迹；●在t瞬时与M

点重合的点沿弧MM2

运动到M2，此为牵连点的轨迹。第十页，共八十九页，2022年，8月28日M2MM1AB●动点的绝对位移；动点的相对位移；动点的牵连位移。将上式等式两边同除以△t，并令△t→0，取极限，得第十一页，共八十九页，2022年，8月28日点的速度合成定理动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。说明：

va—动点的绝对速度；点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。

vr—动点的相对速度；

ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度(I)动系作平动时，动系上各点速度都相等。(II)动系作转动时，ve必须是该瞬时牵连点的速度。第十二页，共八十九页，2022年，8月28日求解合成运动的速度问题的一般步骤为：选取动点，动系和定系；分析三种运动；分析三种速度；根据速度合成定理作出速度平行四边形，

绝对速度为平行四边形的对角线；根据速度平行四边形，求出未知量。动点与动系选取原则：●

动点与动系应选在不同的刚体上。●

动点相对于动系的相对运动轨迹应易于确定，既相对速度方向易于确定。恰当地选择动点、动系和定系是求解合成运动问题的关键。第十三页，共八十九页，2022年，8月28日（1）对于没有约束联系的，一般可根据题意选取所研究的点为动点，如雨滴、矿石；而动系固定在另一运动的物体上，如车辆、传送带。（2）对于由主动件和被动件组成的机构，要根据约束与被约束的性质确定动点与动系。第十四页，共八十九页，2022年，8月28日第十五页，共八十九页，2022年，8月28日动点：滑块A动系:OC杆相对运动轨迹明显，相对速度容易判断第十六页，共八十九页，2022年，8月28日第十七页，共八十九页，2022年，8月28日动点：滑块动系:推杆相对运动轨迹明显，相对速度容易判断第十八页，共八十九页，2022年，8月28日（3）在机构中，一个构件上总有一个点始终被另一个构件所约束。这时，以被约束的点作为动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动轨迹便是约束构件的轮廓线或者约束动点的轨道。第十九页，共八十九页，2022年，8月28日第二十页，共八十九页，2022年，8月28日动点：杆上A点动系:凸轮相对运动轨迹明显，相对速度容易判断第二十一页，共八十九页，2022年，8月28日第二十二页，共八十九页，2022年，8月28日动点：CD杆上B点动系:OA杆相对运动轨迹明显，相对速度容易判断第二十三页，共八十九页，2022年，8月28日（4）对于特殊问题，进行特殊处理。第二十四页，共八十九页，2022年，8月28日相对运动轨迹明显，相对速度容易判断第二十五页，共八十九页，2022年，8月28日动点：轮上C点动系:O’A杆第二十六页，共八十九页，2022年，8月28日动点：轮上O点动系:杆动点：轮上O点动系:杆第二十七页，共八十九页，2022年，8月28日vM30°vevavr例题1车厢以速度v沿水平轨道行使，雨铅直落下，滴在车厢侧面的玻璃上留下与铅直线成30°的雨痕。求：雨点下落的速度。解：取雨点M为动点动系与汽车固连大小方向？√√√√？第二十八页，共八十九页，2022年，8月28日例题2军舰以20节（knot，1节=1.852km﹒h-1）的速度前进，直升飞机以每小时18km的速度垂直降落。求直升飞机相对于军舰的速度。第二十九页，共八十九页，2022年，8月28日O´x'y'Mvevavrα应用速度合成定理大小方向√√√√?？解：取直升飞机为动点，动系与军舰固连第三十页，共八十九页，2022年，8月28日例题3如图所示为裁纸板的简图。纸板ABCD放在传送带上，并以匀速度v1=0.05m·s-1与传送带一起运动，裁纸刀固定在刀架K上，刀架K以匀速度v2=0.13m·s-1沿固定导杆EF运动，试问导杆EF的安装角θ应取何值才能使切割下的纸板成矩形。ABCDEFKθv1v2第三十一页，共八十九页，2022年，8月28日取刀架K为动点，动系固连于纸板ABCD上。解：EABCDFKθv1ve=v1va=v2θvr故导杆的安装角其中：ve=v1由几何关系可得应用速度合成定理va=v2大小方向√？√√√？第三十二页，共八十九页，2022年，8月28日例题4刨床的急回机构如图所示，曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r，两间距离OO1=l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1。运动演示第三十三页，共八十九页，2022年，8月28日解：选择滑块A为动点，动系与O1B固连y'x'vavevr应用速度合成定理大小方向√√√?√？其中设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则其中所以可得第三十四页，共八十九页，2022年，8月28日例题5如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，杆AB的速度。第三十五页，共八十九页，2022年，8月28日eOCθωB解：1.选择AB的端点A为动点，动系与凸轮固连y'x'应用速度合成定理θvrveva大小方向?√√√√?其中：ve＝OA

·

ωA第三十六页，共八十九页，2022年，8月28日例题6仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如图所示，试求φ=60º时，顶杆AB的速度。第三十七页，共八十九页，2022年，8月28日

解：1.选择AB的端点A为动点，动系固连于凸轮。Ox'y'veφvrva其中ve=

v0应用速度合成定理此瞬时杆AB的速度方向向上。大小方向?√√√√?第三十八页，共八十九页，2022年，8月28日例题7已知：O轮的角速度ω，求：O1A杆的角速度第三十九页，共八十九页，2022年，8月28日CO1O3rA解：取轮心C为动点，O1A为杆动系vavr2ve应用速度合成定理大小方向√√√？√？第四十页，共八十九页，2022年，8月28日ve1vr1y12MO1O2vr2ve2例题8已知：2=21。求：小环M的速度。解（1）取小环M为动点，圆环为动系（2）取小环M为动点，杆为动系故得：将上式向My轴投影其中第四十一页，共八十九页，2022年，8月28日y’x’z’O’k’j’i’§8-3点的加速度合成定理1、牵连运动为平动时点的加速度合成定理yxzOM●动点M沿着动系上的曲线运动，同时曲线又随同动系相对于定系作平动。●动点M的相对运动方程为：x’=f1(t)，y’=f2(t)，z’=f3(t)●动点M的相对速度和相对加速度为：第四十二页，共八十九页，2022年，8月28日y’x’z’O’k’j’i’yxzOM●应用速度合成定理：●在每一瞬时，平动刚体上各点的速度、加速度彼此相等，便有：平动，恒矢量araaae第四十三页，共八十九页，2022年，8月28日当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于其牵连加速度与相对加速度的矢量和。★牵连运动为平动时点的加速度合成定理：因为点的绝对运动轨迹、相对运动轨迹可能都是曲线，牵连运动也可能是曲线平动。所以加速度合成定理的一般形式为：①上式的求解需采用投影的方法方可完成；大小？方向？③一个矢量方程相当于两个代数方程，可求解两个未知量。②画指向的原则是：对未知指向，随意画；已知指向就必须按已知方向画。显见，所有的法向加速度都不能随意画；第四十四页，共八十九页，2022年，8月28日例题9曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，如图所示。铰链在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀角速转动，OA=r，试求杆BC的加速度。OABDECφω第四十五页，共八十九页，2022年，8月28日OABDECφω解：1.选择滑块A为动点，动系固连于丁字形杆。y'x'aeaaar大小方向√√√？√？其中：

aa=OAω2=rω2第四十六页，共八十九页，2022年，8月28日例题10图示一往复式送料机，曲柄OA长l，它带动导杆BC和送料槽D作往复运动，借以运送物料。设某瞬时曲柄与铅垂线成θ角。曲柄的角速度为ω0，角加速度为α0，方向如图所示，试求此瞬时送料槽D的速度和加速度。DBCAOθω0α0第四十七页，共八十九页，2022年，8月28日DBCAOθω0α0解：1.选择滑块A动点，动系固连于导杆BC。O'x'y'2.速度分析。其中：va=lω0vevaθvr应用速度合成定理求得：大小方向√√√？√？3.加速度分析。aeaataanθarθA应用加速度合成定理大小方向√√√√√？√？其中：

aan

=lω02aa

t=lα0投影到O´x´轴，得到于是，求得负号表示在此瞬时ae的指向与图中所假设的相反。第四十八页，共八十九页，2022年，8月28日例题11凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示，设凸轮半径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为v和a，求杆AB在图示位置时的加速度。ABvanφR第四十九页，共八十九页，2022年，8月28日解：1.选择AB的端点A为动点，动系固连于凸轮。ABvanφR2.速度分析。其中：ve=

v应用速度合成定理可求得：vavevrφOx'y'大小方向？√√√√？3.加速度分析。aeaaAnφ根据加速度合成定理其中：ae=

aarn

=vr

2/R上式投影到法线n上，得大小方向？√√√√？√√第五十页，共八十九页，2022年，8月28日OO1ABCD60°30°vA解：取CD杆C点为动点，三角板ABC为动系vavrve例题12已知：OA＝r；=const，求：CD杆的速度和加速度。OO1ABCD60°30°aaaraey将上式向y轴投影aA应用速度合成定理大小方向？√√√√？1.速度分析2.加速度分析大小方向？√√√√？第五十一页，共八十九页，2022年，8月28日2、牵连运动为转动时点的加速度合成定理（1）泊松公式=常数，固结于定轴转动的刚体上，角速度为ω结论：证明：

∵

固结于刚体上

∴

大小均为常量。

第五十二页，共八十九页，2022年，8月28日

泊松公式亦称常模矢量求导公式，即转动刚体上任一连体矢量对时间的导数等于刚体的角速度矢与该矢量的矢积。设刚体以角速度绕固定轴Oz转动，坐标系Oxyz固连在刚体上，随刚体一起转动。可以证明泊松公式为：第五十三页，共八十九页，2022年，8月28日（2）牵连运动为转动时点的加速度合成定理推导MABxyz动点M沿动坐标系Oxyz中的相对轨迹曲线AB运动,而动坐标该瞬时以角速度矢和角加速度矢绕静坐标系Oz轴转动。动系作定轴转动时，牵连点的速度和加速度可用失积表示为：速度合成定理为O第五十四页，共八十九页，2022年，8月28日泊松公式第五十五页，共八十九页，2022年，8月28日定义：当牵连运动为转动时，由于转动的牵连运动与相对运动相互影响的结果而产生一种附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。动点的绝对加速度：结论：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。第五十六页，共八十九页，2022年，8月28日（3）科氏加速度的计算：aCvre（1）可以证明上式对牵连运动为任意运动时皆成立，它是加速度合成定理的普遍形式；（2）当牵连运动为平动时,e

=0,导致aC=0，一般式退化到平动时的特殊式。公式说明：常见的平面机构：ωe⊥vr则sinθ＝1所以方向为vr按ωe转向转动90°第五十七页，共八十九页，2022年，8月28日evraC解释现象：由于地球的自转引起的水流科氏惯性力对右岸的冲刷。第五十八页，共八十九页，2022年，8月28日例题13图示一汽阀凸轮机构，设此瞬时，OA=r，凸轮轮廓曲线在A点的曲率半径为ρ，其法线n—n与OA的夹角为θ，凸轮绕固定轴O以等角速度ω0转动，试求此时挺杆平动的加速度。第五十九页，共八十九页，2022年，8月28日y'x'O´解：1.选择挺杆的端点A为动点，动系与凸轮固连。vevavrθ2.速度分析。应用速度合成定理大小方向？√√√√？其中：ve=

r

ω0第六十页，共八十九页，2022年，8月28日y'x'O´aeaaaC3.加速度分析。大小方向？√√√√？√√√√投影到n-n轴上，得第六十一页，共八十九页，2022年，8月28日OMAB2C例题14已知：R，=t(为常数）求：(1)小环M的速度、加速度(2)小环M相对于AB杆的速度、加速度vavevr解：（1）取小环M为动点，AB杆为动系大小方向？√√√√？其中：（2）速度分析第六十二页，共八十九页，2022年，8月28日aearaC其中：Mn将上式向Mn轴投影解得：OMAB2Cvavevr（3）加速度分析大小方向√√√？√√√？√√m将上式向Mm轴投影解得：第六十三页，共八十九页，2022年，8月28日例题15在滑块导杆机构中，由一绕固定轴O作顺时针转动的导杆OB带动滑块A沿水平直线轨道运动，O到导轨的距离是h，已知在图示瞬时导杆的倾角是φ，角速度大小是ω，角加速度α=0，试求该瞬时滑块A的绝对加速度。φωOAByxy'x'h第六十四页，共八十九页，2022年，8月28日φωOAByxh（1）取滑块A为动点，动系固连于导杆vevrvay'x'解：(2)速度分析求得:应用速度合成定理大小方向?√√√√?其中第六十五页，共八十九页，2022年，8月28日3.加速度分析。aeaCaaarA根据加速度合成定理大小方向?√√√√?φωOAByxhvevrvay'x'√√投影到Oy'轴上，得求得滑块A的加速度第六十六页，共八十九页，2022年，8月28日例题16图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度ω0转动，套筒A可沿BC杆滑动，已知BC=DE，且BD=CE=l，求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。ABCDEOω0ωα第六十七页，共八十九页，2022年，8月28日

解：1.选择滑块A为动点，动系固连于杆BC。x'y'ABCDEOω0ωα2.速度分析。其中：va=ω0r可得因而杆BD的角速度大小为应用速度合成定理vBvevavr大小方向√√√?√?转向为逆时针第六十八页，共八十九页，2022年，8月28日3.加速度分析。其中：aa=ωo2raen

=aBn=ω

2l=ωo

2r2

/lx'y'ABCDEOω0ωα大小方向√√√?√√√?上式两端向y轴投影得解得所以杆BD的角加速度araa第六十九页，共八十九页，2022年，8月28日例题17刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接，当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动，设曲柄长OA=r，OO1=l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角加速度α1。第七十页，共八十九页，2022年，8月28日由例题3速度分析得解：1.选择滑块A为动点，动系固连于摇杆O1Bvavevry/x’第七十一页，共八十九页，2022年，8月28日x'y'O1Oφωω1ABaaaraC2.加速度分析。其中：ae=ω2r大小方向√√√?√√√?√√向O1x

'轴投影解得故摇杆O1A的角加速度转向为逆时针α1第七十二页，共八十九页，2022年，8月28日例题18求：O1A杆的角速度、角加速度CO1O3rA第七十三页，共八十九页，2022年，8月28日CO1O3rA解：(1)取轮心C为动点，O1A为杆动系vavr2ve应用速度合成定理大小方向√√√？√？（2）速度分析：第七十四页，共八十九页，2022年，8月28日CO1O3rAaaar将表达式向Cy轴投影

解得：aC2175111wa==COateAO（3）加速度分析：大小方向√√√?√√√?√√y第七十五页，共八十九页，2022年，8月28日例题19已知：OA=AB=l；vA

；aA

=0，求：套筒O杆的角速度、角加速度。第七十六页，共八十九页，2022年，8月28日OABva解：（1）取AB上的A为动点，套筒O为动系vevre应用速度合成定理（2）速度分析大小方向√√√?√？其中：va

=vA

第七十七页，共八十九页，2022年，8月28日BOAaraCx将表达式向Ax轴投影

解得：e（3）加速度分析：大小方向√√√?√√√?√√第七十八页，共八十九页，2022年，8月28日例题20已知：h;图示瞬时;求:该瞬时杆的w2。第七十九页，共八十九页，2022年，8月28日解：（1）以O1A上A点为动点;动系固结于BCD上vavevr大小方向√√√?√？（2）以BCD上F点为动点，动系固结于O2E上vaFveFvrF