电路的暂态分析

电路的暂态分析第一页，共七十四页，2022年，8月28日

描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。1.物理意义电感:(H、mH)线性电感:L为常数;非线性电感:L不为常数6.1.2电感元件电流通过N匝线圈产生(磁链)电流通过一匝线圈产生(磁通)u+-线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。第二页，共七十四页，2022年，8月28日2.自感电动势：(1)自感电动势的参考方向规定:自感电动势的参考方向与电流参考方向相同,或与磁通的参考方向符合右手螺旋定则。+-eL+-LS—线圈横截面积（m2）l—线圈长度（m）N—线圈匝数

μ—介质的磁导率（H/m）第三页，共七十四页，2022年，8月28日(2)自感电动势瞬时极性的判别0<eL与参考方向相反eL具有阻碍电流变化的性质eL实+-eLu+-+-eL实-+0eLu+-+-eL与参考方向相同0>0第四页，共七十四页，2022年，8月28日3.电感元件储能根据基尔霍夫定律可得：将上式两边同乘上

i

，并积分，则得：即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。磁场能电感元件不消耗能量，是储能元件。第五页，共七十四页，2022年，8月28日6.1.3电容元件描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。电容：uiC+_电容元件电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数等关。S—极板面积（m2）d—板间距离（m）ε—介电常数（F/m）当电压u变化时，在电路中产生电流:第六页，共七十四页，2022年，8月28日电容元件储能将上式两边同乘上u，并积分，则得：即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。电场能根据：电容元件不消耗能量，也是储能元件。第七页，共七十四页，2022年，8月28日6.2

储能元件和换路定则1.电路中产生暂态过程的原因电流

i随电压u比例变化。合S后：所以电阻电路不存在暂态过程(R耗能元件)。图(a)：

合S前：例：tIO(a)S+-UR3R2u2+-第八页，共七十四页，2022年，8月28日产生暂态过程的必要条件：∵

L储能：不能突变Cu\∵C储能：产生暂态过程的原因：

由于物体所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变若发生突变，不可能！一般电路则(1)电路中含有储能元件(内因)(2)电路发生换路(外因)第九页，共七十四页，2022年，8月28日电容电路：注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中

uC、iL初始值。设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的终了瞬间

t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）2.换路定则电感电路：第十页，共七十四页，2022年，8月28日3.初始值的确定求解要点：(2)再求其它电量初始值。初始值：电路中各u、i在t=0+

时的数值。(1)先求

uC(0+)、iL(0+)。1)由t=0-的电路（换路前稳态）求uC(

0–)

、iL(

0–)；

2)根据换路定律求uC(0+)、iL(0+)。1)由t=0+的电路求其它电量的初始值；2)在t=0+时的电压方程中uC=uC(0+)、

t=0+时的电流方程中iL=iL(0+)。第十一页，共七十四页，2022年，8月28日暂态过程初始值的确定例1．解：(1)由换路前电路求由已知条件知根据换路定则得：已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能。

试求：电路中各电压和电流的初始值。S(a)CU

R2R1t=0+-L第十二页，共七十四页，2022年，8月28日暂态过程初始值的确定例1:,换路瞬间，电容元件可视为短路。,换路瞬间，电感元件可视为开路。iC、uL

产生突变(2)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值SCU

R2R1t=0+-L(a)电路iL(0+)U

iC(0+)uC

(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路第十三页，共七十四页，2022年，8月28日例2：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：(1)由t=0-电路求uC(0–)、iL(0–)换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电感元件视为短路。由t=0-电路可求得：42+_RR2R1U8V++4i14iC_uC_uLiLR3LCt=0-等效电路2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34第十四页，共七十四页，2022年，8月28日例2：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：42+_RR2R1U8V++4i14ic_uc_uLiLR3LCt=0-等效电路由换路定则：2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34CL第十五页，共七十四页，2022年，8月28日例2：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：(2)由t=0+电路求iC(0+)、uL(0+)uc(0+)由图可列出带入数据iL(0+)C2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34Lt=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4iC_iLR3i第十六页，共七十四页，2022年，8月28日例2：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。t=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4ic_iLR3i解：解之得并可求出2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34第十七页，共七十四页，2022年，8月28日计算结果：电量换路瞬间，不能跃变，但可以跃变。2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34第十八页，共七十四页，2022年，8月28日结论1.换路瞬间，uC、iL不能跃变,但其它电量均可以跃变。3.换路前,若uC(0-)0,换路瞬间(t=0+)等效电路中,

电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);换路前,若iL(0-)0,在t=0+等效电路中,电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。2.换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。第十九页，共七十四页，2022年，8月28日例3如图所示电路中,已知US=5V，IS=5A，R=5Ω。开关S断开前电路已稳定。求S断开后R、L、C的电压和电流的初始值和稳态值。解(1)求初始值由换路前(S闭合时)电路第二十页，共七十四页，2022年，8月28日由换路后(S断开)电路第二十一页，共七十四页，2022年，8月28日电路重新稳定，C相当于开路、L相当于短路，可得(2)求稳态值第二十二页，共七十四页，2022年，8月28日6.3

RC电路的响应激励(输入)：电路从电源(包括信号源)输入的信号。响应分类：全响应=零输入响应+零状态响应响应(输出)：电路在外部激励的作用下，或者在内部储能的作用下产生的电压和电流。阶跃响应正弦响应脉冲响应零输入响应：零状态响应：全响应：——阶跃激励产生原因激励波形内部储能作用外部激励作用第二十三页，共七十四页，2022年，8月28日1.经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。时域分析。2.三要素法初始值稳态值时间常数求（三要素）仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。一阶电路一阶电路暂态过程的求解方法第二十四页，共七十四页，2022年，8月28日代入上式得换路前电路已处稳态t=0时开关,电容C经电阻R放电一阶线性常系数齐次微分方程(1)列

KVL方程1.电容电压uC的变化规律(t0)

零输入响应:

无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的响应。实质：RC电路的放电过程6.3.1RC电路的零输入响应+-SRU21+–+–第二十五页，共七十四页，2022年，8月28日(2)

解方程：特征方程由初始值确定积分常数A齐次微分方程的通解：电容电压uC从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。(3)电容电压uC的变化规律第二十六页，共七十四页，2022年，8月28日电阻电压：放电电流

电容电压2.电流及电阻电压的变化规律tO3.、、变化曲线第二十七页，共七十四页，2022年，8月28日4.

时间常数(2)物理意义令:单位:S(1)量纲当

时时间常数

决定电路暂态过程变化的快慢，τ越大，变化越慢。时间常数等于电压衰减到初始值U的所需的时间。第二十八页，共七十四页，2022年，8月28日当

t=5时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。(3)暂态时间理论上认为、电路达稳态工程上认为~、电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减第二十九页，共七十四页，2022年，8月28日

RC电路的零状态响应零状态响应:

储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程分析：在t=0时，合上开关s，此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，uC(0-)=0sRU+_C+_iuCUtu阶跃电压O第三十页，共七十四页，2022年，8月28日一阶线性常系数非齐次微分方程方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解1.uC的变化规律(1)列

KVL方程uC(0-)=0sRU+_C+_iuc(2)解方程求特解

：第三十一页，共七十四页，2022年，8月28日求对应齐次微分方程的通解通解即：的解微分方程的通解为确定积分常数A根据换路定则在t=0+时，第三十二页，共七十四页，2022年，8月28日(3)电容电压uC的变化规律暂态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压-U+U仅存在于暂态过程中63.2%U-36.8%Uto第三十三页，共七十四页，2022年，8月28日3.、变化曲线t当t=

时

表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63.2%

时所需的时间。2.电流

iC的变化规律4.时间常数的物理意义U第三十四页，共七十四页，2022年，8月28日U0.632U

越大，曲线变化越慢，达到稳态时间越长。结论：当t=5时,暂态基本结束,uC达到稳态值。0.998Ut000.632U0.865U0.950U0.982U0.993UtO第三十五页，共七十四页，2022年，8月28日3.3.3RC电路的全响应1.uC

的变化规律

全响应:

电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理

全响应=零输入响应+零状态响应uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC第三十六页，共七十四页，2022年，8月28日稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应结论1：全响应=零输入响应+零状态响应稳态值初始值第三十七页，共七十四页，2022年，8月28日稳态值初始值6.4

一阶线性电路暂态分析的三要素法仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。据经典法推导结果全响应uC(0-)=UosRU+_C+_iuc第三十八页，共七十四页，2022年，8月28日：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,初始值--（三要素）

稳态值--时间常数--在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路的响应（电压或电流）都可用三要素法求解。第三十九页，共七十四页，2022年，8月28日电路响应的变化曲线tOtOtOtO第四十页，共七十四页，2022年，8月28日三要素法求解暂态过程的要点终点起点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；tf(t)O第四十一页，共七十四页，2022年，8月28日

求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 (1)稳态值的计算响应中“三要素”的确定uC+-t=0C10V5k1

FS例：5k+-t=03666mAS1H第四十二页，共七十四页，2022年，8月28日1)由t=0-电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或在换路瞬间t=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，其值等于I0,,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替，注意：(2)初始值

的计算

若不画t=(0+)的等效电路，则在所列t=0+时的方程中应有uC=uC(0+)、iL=iL(0+)。第四十三页，共七十四页，2022年，8月28日

1)对于简单的一阶电路，R0=R;2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路注意：第四十四页，共七十四页，2022年，8月28日R0U0+-CR0R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3第四十五页，共七十四页，2022年，8月28日例1：解：用三要素法求解电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压

和电流

。(1)确定初始值由t=0-电路可求得由换路定则t=0-等效电路9mA+-6kRS9mA6k2F3kt=0+-CR第四十六页，共七十四页，2022年，8月28日(2)确定稳态值由换路后电路求稳态值(3)由换路后电路求时间常数t∞电路9mA+-6kR

3kt=0-等效电路9mA+-6kR第四十七页，共七十四页，2022年，8月28日三要素18V54Vt0第四十八页，共七十四页，2022年，8月28日用三要素法求S9mA6k2F3kt=0+-CR3k6k+-54V9mAt=0+等效电路第四十九页，共七十四页，2022年，8月28日例2：由t=0-时电路电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时S闭合，试求：t≧0时电容电压uC和电流iC、i1和i2。解：用三要素法求解求初始值+-St=06V123+-t=0-等效电路12+-6V3+-第五十页，共七十四页，2022年，8月28日求时间常数求稳态值+-t=06V123+-23第五十一页，共七十四页，2022年，8月28日+-St=06V123+-第五十二页，共七十四页，2022年，8月28日例3

已知：IS=10mA，R1=2kΩ，R2=1kΩ，C=3μF。求S断开后电流源两端的电压u。解：SISR1R2C++--uuC第五十三页，共七十四页，2022年，8月28日例4在图所示电路原已稳定，在t=0时，将开关S闭合，试求S

闭合后的uC和iC。

解：第五十四页，共七十四页，2022年，8月28日例5图所示电路中电容原先未充电。在

t=0时将开关S1闭合，t=0.1s时将开关S2

闭合，试求S2闭合后的响应

uR1。第五十五页，共七十四页，2022年，8月28日t=0.1s时，S2合上，则

该电路两次换路，第二次换路

(S2闭合)时

uC的初始值应等于第一次换路(S1闭合)后

uC在

t=0.1s时数值。(a)t在0～0.1s时，电路为图(a)所示，且

uC(0)=0。电路的时间常数

解：第五十六页，共七十四页，2022年，8月28日t=0.1s换路后电路可化简为图(b)所示电路的时间常数故(b)第五十七页，共七十四页，2022年，8月28日6.5

微分电路和积分电路

微分电路微分电路与积分电路是矩形脉冲激励下的RC电路。若选取不同的时间常数，可构成输出电压波形与输入电压波形之间的特定（微分或积分）的关系。1.电路条件：(2)输出电压从电阻R端取出TtU0tpCR+_+_+_第五十八页，共七十四页，2022年，8月28日2.分析由KVL定律输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。3.波形tt1Utp0t0CR+_+_+_第五十九页，共七十四页，2022年，8月28日

积分电路条件(2)电压从电容器两端输出。1.电路输出电压与输入电压近似成积分关系。2.分析TtU0tpCR+_+_+_第六十页，共七十四页，2022年，8月28日3.波形t2Utt1tt2t1Utt2t1U

用作示波器的扫描锯齿波电压应用:u1第六十一页，共七十四页，2022年，8月28日6.6RL电路的响应3.6.1RL

电路的零输入响应1.RL短接(1)的变化规律1)确定初始值2)确定稳态值3)确定电路的时间常数U+-SRL21t=0+-+-第六十二页，共七十四页，2022年，8月28日(2)变化曲线OO-UUU+-SRL21t=0+-+-τ第六十三页，共七十四页，2022年，8月28日2.RL直接从直流电源断开(1)可能产生的现象1)刀闸处产生电弧2)电压表瞬间过电压U+-SRLt=0+-+-U+-SRL21t=0+-+-ViL跃变！第六十四页，共七十四页，2022年，8月28日(2)解决措施2)接续流二极管VD1)接放电电阻LU+-SRt=0+-+-VDU+-SRLt=0+-+-第六十五页，共七十四页，2022年，