高考专题复习二次函数与方程不等式ppt

关于高考专题复习二次函数与方程不等式ppt第一页，共二十四页，编辑于2023年，星期四1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);一、二次函数的解析式2.顶点式:y=a(x

-m)2+n(其中(m,n)为抛物线的顶点坐标);3.两根式:y=a(x

-x1)(x

-x2)(其中x1,x2为抛物线与

x

轴两交点的横坐标);

注:

求二次函数的解析式,一般都采用待定系数法.做题时,要根据题设条件,合理地设出解析式.二、二次函数的图象有关知识:

图象形状;

对称轴;

顶点坐标;

与

x

轴交点坐标;截

x

轴线段长.第二页，共二十四页，编辑于2023年，星期四三、二次函数的性质

1.当

a>0

时,抛物线开口向上,函数在(-∞,-

]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,当

x=

-时,f(x)

取得最小值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b2

2.当

a<0

时,抛物线开口向下,函数在(-∞,-

]上单调递增,在[-,+∞)上单调递减,当

x=

-时,f(x)

取得最大值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b2第三页，共二十四页，编辑于2023年，星期四四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值2.若

x0[m,n],则(1)当

x0<m

时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);(2)当

x0>n

时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).

1.若

x0=-

∈[m,n],则

f(x)min=f(x0)=,f(m),f(n)

中的较大者即为

f(x)

在

[m,n]

上的最大值.2ab4a4ac-b2第四页，共二十四页，编辑于2023年，星期四五、不等式

ax2+bx+c>0

恒成立问题1.

ax2+bx+c>0在R上恒成立.a>0△=b2-4ac<0,a=b=0c>0.或ax2+bx+c<0在R上恒成立.a<0△=b2-4ac<0,a=b=0c<0.或2.

f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立.f(m)>0,-<m

2ab△=b2-4ac<0,m≤-≤n

2ab或f(n)>0.->n

2ab或f(x)min>0(x∈[m,n])f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)

在

[m,n]

上恒成立.f(n)<0.f(m)<0第五页，共二十四页，编辑于2023年，星期四1.方程

f(x)=0

有两正根

六、二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)

的实根分布问题记

f(x)=ax2+bx+c(a>0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=-

>0

abacx1x2=

>0

△=b2-4ac≥0f(0)>0.-

>0

2ab2.方程

f(x)=0

有两负根

△=b2-4ac≥0.x1+x2=-

<0

abacx1x2=

>0

△=b2-4ac≥0f(0)>0.-

<0

2ab4.方程

f(x)=0

的两实根都小于

k

△=b2-4ac≥0f(k)>0.-

<k

2ab3.方程

f(x)=0

有一正根一负根

c<0.5.方程

f(x)=0

的两实根一个大于

k,另一个小于

k

f(k)<0.第六页，共二十四页，编辑于2023年，星期四6.方程

f(x)=0

的两实根都大于

k△=b2-4ac≥0f(k)>0.-

>k

2ab7.方程

f(x)=0

的两实根都在区间(m,n)内f(m)>0

△=b2-4ac≥0m<

-

<n

2abf(n)>0.8.方程

f(x)=0

的两实根中,有且只有一个在区间(m,n)内.f(m)f(n)<0,或f(m)=0m<

-

<,2abm+n

2<

-

<

n.

2abm+n

2f(n)=0或思考方程的两根有且只有一个在区间[m,n]上时等价于?第七页，共二十四页，编辑于2023年，星期四9.方程

f(x)=0

的两根分别在区间(m,n)和(p,q)(n<p)内.f(m)>0

f(n)<0f(p)<0f(q)>0.

注涉及方程

f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①

f(x)

图象的开口方向;②方程

f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.

③

f(x)

图象的对称轴与区间的关系;第八页，共二十四页，编辑于2023年，星期四△>0△=0△<0判别式△=b2-4ac

七、二次函数与方程、不等式的关系o(a>0)的图象二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a>0)的解集ax2+bx+c<0{x

|

x1<x<x2}一元二次方程

ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根

x1,x2(x1<x2)没有实根有两相等实根

x1=x2=

-

2ab(a>0)的解集Rax2+bx+c>0{x

|

x<x1

或x>x2}{x

|

x≠-

}2ab第九页，共二十四页，编辑于2023年，星期四八、典型例题

1.已知二次函数

f(x)

满足

f(2)=-1,

f(-1)=-1,且

f(x)

的最大值是

8,试确定此二次函数的解析式.解法一:

利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2a=-4,b=4,c=7.解得解法二:

利用二次函数的顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1)=-1,∴抛物线的对称轴为直线

x=,12∴m=.12又

f(x)

的最大值是

8,∴n=8.∴f(x)=a(x

-)2+8,12∵f(2)=-1,∴a(2

-)2+8=-1,12∴a=-4.故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.12第十页，共二十四页，编辑于2023年，星期四解法三:

利用二次函数的两根式.由已知

f(x)+1=0

的两根为

2

和

-1,故可设

f(x)+1=a(x-2)(x+1),从而

f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即

f(x)=ax2-ax-2a-1.又

f(x)

的最大值是

8,4a4a(-2a-1)-a2∴=8,解得

a=-4

或

a=0(舍去).故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.第十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期四∵f(x)

在区间[0,2]上的最小值为

3,∴可分情况讨论如下:

2.已知函数

f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2

在区间[0,2]上有最小值

3,

求实数

a

的值.解:

由已知

f(x)=4(x

-)2-

2a+2.a2a2(1)当≤0,即

a≤0

时,函数

f(x)

在[0,2]上是增函数.

∴

f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当

0<<2,即

0<a<4

时,a2f(x)min=f()=-2a+2.由

-2a+2=3

得:a=-

12

(0,4),舍去.a2(3)当≥2,即

a≥4

时,函数

f(x)

在[0,2]上是减函数.

∴

f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由

a2-2a+2=3

得:a=1

2

.∵a≤0,∴a=1-

2.

由

a2-10a+18=3

得:a=5

10.∵a≥4,∴a=5+

10.

综上所述,a=1-

2

或

a=5+10.第十二页，共二十四页，编辑于2023年，星期四

3.已知

y2=4a(x

-a)中a>0,

且当

x≥a

时,S=(x

-3)2+y2

的最小值为

4,求参数

a

的值.解:

由已知S=(x

-3)2+y2=(x

-3)2+4a(x

-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.∵当

x≥a

时,S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2

的最小值为

4,∴对正数

a,可分情况讨论如下:(1)当3-2a<a,即

a>1

时,函数

S(x)

在[a,+∞]上是增函数.

∴

S(x)min=S(a)=(a-3)2.由

(a-3)2=4

得:a=1

或

5.∵a>1,∴a=5.

(2)当3-2a≥a,即

0<a≤1

时,S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.由

12a-8a2=4

得:a=1

或,12均满足

0<a≤1.

12综上所述,参数

a

的值为

或

1

或

5.第十三页，共二十四页，编辑于2023年，星期四

4.已知二次函数

f(x)=ax2+bx+c

的图象与直线

y=25

有公共点,且不等式

ax2+bx+c>0

的解集是(-,),求

a,b,c

的取值范围.1213解:

由已知,二次方程

ax2+bx+c

-25＝0

有实根.∴

△=b2-4a(c

-25)≥0.又不等式

ax2+bx+c>0

的解集是(-,),

1213∴

a<0,且有

-=-,=-.1616abac∴

b=

a,c=-

a>0.1616∴

b=-c,c2+24c(c

-25)≥0.解得:c≥24.∴

b≤-24,a≤-144.故

a,b,c

的取值范围分别是

a≤-144,b≤-24,c≥24.代入b2-4a(c

-25)≥0

得:第十四页，共二十四页，编辑于2023年，星期四

5.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数

a,b,c,使不等式

x≤f(x)≤

对一切实数

x

都成立?x2+12则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),得a-b+c=0.①∵

x≤f(x)≤

对一切实数

x

都成立,当

x=1

时也成立,x2+12∴1≤f(1)≤1,即

f(1)=1,得a+b+c=1.②

∴由

①,②

得:a+c=b=.

121212∴

f(x)=ax2+x+

-a.解:

假设存在常数

a,b,c,使题中不等式对一切实数

x

都成立.1212故应x≤ax2+x+

-a≤对一切实数

x

都成立.x2+12即2ax2-x+1-2a≥0与(1-2a)x2-x+2a≥0对一切实数

x

都成立.则必有:1-8a(1-2a)≤0,即

(4a-1)2≤0.14∴

a=.1214∴

c

=-a

=.x2+1214故存在一组常数:

a=,b=,c=,使不等式

x≤f(x)≤对一切实数

x

都成立.1412其中,0<a<

.12解法二:

可得

ac≥

且

ac≤,161161

∴ac=且

a=c,161从而得解.第十五页，共二十四页，编辑于2023年，星期四

6.已知二次函数

f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9.(1)

若在

[-1,1]

上至少存在一个实数

m,使得

f(m)>0,求实数a

的取值范围;(2)若对

[-1,1]

上的一切实数

m,都有

f(m)>0,求实数

a

的取值范围.解:

f(x)

的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为直线

x=a-1.

(1)问题等价于“对于

x∈[-1,1],有

f(x)max>0.”讨论如下:①当

a-1≤0

即

a≤1

时,f(x)max=f(1)=-a2-2a+15.由-a2-2a+15>0

得:-5<a<3.∵

a≤1,∴

-5<a≤1.②当

a-1>0

即

a>1

时,f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7.由-a2+6a+7>0

得:-1<a<7.∵

a>1,∴1<a<7.综上所述,-5<a<7.即实数

a

的取值范围是

(-5,7).

注:亦可用补集法求解.第十六页，共二十四页，编辑于2023年，星期四(2)问题等价于“对于

x∈[-1,1],有

f(x)min>0.”讨论如下:①当

a-1<-1

即

a<0

时,f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7.由-a2+6a+7>0

得:-1<a<7.∵

a<0,∴

-1<a<0.②当

-1≤a-1≤1

即

0≤a≤2

时,f(x)min=f(a-1)=-3a2+6a+7.而当

0≤a≤2

时,-3a2+6a+7>0

恒成立.∴0≤a≤2.综上所述,-1<a<3.即实数

a

的取值范围是

(-1,3).③当

a-1>1

即

a>2

时,f(x)min=f(1)=-a2-2a+15.由-a2-2a+15>0

得:-5<a<3.∵

a>2,∴2<a<3.第十七页，共二十四页，编辑于2023年，星期四证:(1)令

F(x)=f(x)

-x,由于

x1,x2是方程

f(x)

-x=0

的两根,所以可设

F(x)=a(x-x1)(x-x2).

7.已知二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的两根x1,x2满足

0<x1<x2<

.(1)当

x∈(0,x1)

时,

证明:

x<f(x)<x1;

(2)设函数

f(x)

的图象关于直线

x=x0对称,证明:x0<

.1a2x1∵0<x1<x2<

,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.1a当

x∈(0,x1)

时,

由

x1<x2及

a>0

有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0.即

f(x)

-x>0,从而

f(x)>x.又

x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∴

x1-f(x)>0,从而

x1>f(x).

故当

x∈(0,x1)

时,

有

x<f(x)<x1;第十八页，共二十四页，编辑于2023年，星期四(2)依题意

x0=-.

2ab由于

x1,x2是方程

f(x)-x=0

即

ax2+(b-1)x+c=0

的两根,∴

x1+x2=-,∴b=1-a(x1+x2).b-1a

∴

x0=-2ab1-a(x1+x2)

2a

=-a(x1+x2)-12a

=.∵ax2<1,即ax2-1<0,2x1a(x1+x2)-12a

=<=.∴

x02aax1故

x0<.2x1第十九页，共二十四页，编辑于2023年，星期四

8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解,求实数a

的取值范围;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求实数

a

的取值范围.解:(1)令

t=sinx,

则方程

2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有两个不同的解等价于:方程

2t2-4at+1-a=0

有一根为

0,另一根不在

(0,1)

内;或方程

2t2-4at+1-a=0

在

(0,1)

内有两等根;

或方程

2t2-4at+1-a=0

有一解在

(0,1)

内,另一解在[0,1]外.

当

t=0

时,a=1,方程

2t2-4at+1-a=0

的另一根为

2

且

2(0,1),∴a=1

适合题意;

第二十页，共二十四页，编辑于2023年，星期四方程

2t2-4at+1-a=0

有两等根时,由

△=16a2-8(1-a)=0

得:a=-1

或.12∵a=-1时,方程

2t2-4at+1-a=0

的两等根为-1

但

-

1(0,1),∴a=-1

不合题意,舍去;12又a=时,方程

2t2-4at+1-a=0

的两等根为

且(0,1),1212∴a=

适合题意;

12

设

f(t)=2t2-4at+1-a,则方程

2t2-4at+1-a=0有一解在(0,1)内,另一解在[0,1]外等价于:f(0)f(1)<0,即

(1-a)(3-5a)<0.解得

<a<1.

35综上所述,实数

a

的取值范围是a=,或<a≤1.3512第二十一页，共二十四页，编辑于2023年，星期四

(2)令

t=sinx,

则不等式

2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立等价于不等式

2t2-4at+1-a>0

在[0,1]上恒成立.等价于或或a<0f(0)>00≤a≤1f(a)>0a>1f(1)>0.即或或