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文档简介
关于高考专题复习二次函数与方程不等式ppt第一页,共二十四页,编辑于2023年,星期四1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);一、二次函数的解析式2.顶点式:y=a(x
-m)2+n(其中(m,n)为抛物线的顶点坐标);3.两根式:y=a(x
-x1)(x
-x2)(其中x1,x2为抛物线与
x
轴两交点的横坐标);
注:
求二次函数的解析式,一般都采用待定系数法.做题时,要根据题设条件,合理地设出解析式.二、二次函数的图象有关知识:
图象形状;
对称轴;
顶点坐标;
与
x
轴交点坐标;截
x
轴线段长.第二页,共二十四页,编辑于2023年,星期四三、二次函数的性质
1.当
a>0
时,抛物线开口向上,函数在(-∞,-
]上单调递减,在[-,+∞)上单调递增,当
x=
-时,f(x)
取得最小值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b2
2.当
a<0
时,抛物线开口向下,函数在(-∞,-
]上单调递增,在[-,+∞)上单调递减,当
x=
-时,f(x)
取得最大值,为.2ab2ab2ab4a4ac-b2第三页,共二十四页,编辑于2023年,星期四四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在[m,n]上的最值2.若
x0[m,n],则(1)当
x0<m
时,f(x)min=f(m),f(x)max=f(n);(2)当
x0>n
时,f(x)min=f(n),f(x)max=f(m).
1.若
x0=-
∈[m,n],则
f(x)min=f(x0)=,f(m),f(n)
中的较大者即为
f(x)
在
[m,n]
上的最大值.2ab4a4ac-b2第四页,共二十四页,编辑于2023年,星期四五、不等式
ax2+bx+c>0
恒成立问题1.
ax2+bx+c>0在R上恒成立.a>0△=b2-4ac<0,a=b=0c>0.或ax2+bx+c<0在R上恒成立.a<0△=b2-4ac<0,a=b=0c<0.或2.
f(x)=ax2+bx+c>0(a>0)
在
[m,n]
上恒成立.f(m)>0,-<m
2ab△=b2-4ac<0,m≤-≤n
2ab或f(n)>0.->n
2ab或f(x)min>0(x∈[m,n])f(x)=ax2+bx+c<0(a>0)
在
[m,n]
上恒成立.f(n)<0.f(m)<0第五页,共二十四页,编辑于2023年,星期四1.方程
f(x)=0
有两正根
六、二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)
的实根分布问题记
f(x)=ax2+bx+c(a>0),△=b2-4ac≥0.x1+x2=-
>0
abacx1x2=
>0
△=b2-4ac≥0f(0)>0.-
>0
2ab2.方程
f(x)=0
有两负根
△=b2-4ac≥0.x1+x2=-
<0
abacx1x2=
>0
△=b2-4ac≥0f(0)>0.-
<0
2ab4.方程
f(x)=0
的两实根都小于
k
△=b2-4ac≥0f(k)>0.-
<k
2ab3.方程
f(x)=0
有一正根一负根
c<0.5.方程
f(x)=0
的两实根一个大于
k,另一个小于
k
f(k)<0.第六页,共二十四页,编辑于2023年,星期四6.方程
f(x)=0
的两实根都大于
k△=b2-4ac≥0f(k)>0.-
>k
2ab7.方程
f(x)=0
的两实根都在区间(m,n)内f(m)>0
△=b2-4ac≥0m<
-
<n
2abf(n)>0.8.方程
f(x)=0
的两实根中,有且只有一个在区间(m,n)内.f(m)f(n)<0,或f(m)=0m<
-
<,2abm+n
2<
-
<
n.
2abm+n
2f(n)=0或思考方程的两根有且只有一个在区间[m,n]上时等价于?第七页,共二十四页,编辑于2023年,星期四9.方程
f(x)=0
的两根分别在区间(m,n)和(p,q)(n<p)内.f(m)>0
f(n)<0f(p)<0f(q)>0.
注涉及方程
f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①
f(x)
图象的开口方向;②方程
f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.
③
f(x)
图象的对称轴与区间的关系;第八页,共二十四页,编辑于2023年,星期四△>0△=0△<0判别式△=b2-4ac
七、二次函数与方程、不等式的关系o(a>0)的图象二次函数y=ax2+bx+cxyx1x2x1=x2xyooxy(a>0)的解集ax2+bx+c<0{x
|
x1<x<x2}一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根
x1,x2(x1<x2)没有实根有两相等实根
x1=x2=
-
2ab(a>0)的解集Rax2+bx+c>0{x
|
x<x1
或x>x2}{x
|
x≠-
}2ab第九页,共二十四页,编辑于2023年,星期四八、典型例题
1.已知二次函数
f(x)
满足
f(2)=-1,
f(-1)=-1,且
f(x)
的最大值是
8,试确定此二次函数的解析式.解法一:
利用二次函数的一般式.故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,=8.4a4ac-b2a=-4,b=4,c=7.解得解法二:
利用二次函数的顶点式.设f(x)=a(x-m)2+n,∵f(2)=f(-1)=-1,∴抛物线的对称轴为直线
x=,12∴m=.12又
f(x)
的最大值是
8,∴n=8.∴f(x)=a(x
-)2+8,12∵f(2)=-1,∴a(2
-)2+8=-1,12∴a=-4.故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.12第十页,共二十四页,编辑于2023年,星期四解法三:
利用二次函数的两根式.由已知
f(x)+1=0
的两根为
2
和
-1,故可设
f(x)+1=a(x-2)(x+1),从而
f(x)=a(x-2)(x+1)-1.即
f(x)=ax2-ax-2a-1.又
f(x)
的最大值是
8,4a4a(-2a-1)-a2∴=8,解得
a=-4
或
a=0(舍去).故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.第十一页,共二十四页,编辑于2023年,星期四∵f(x)
在区间[0,2]上的最小值为
3,∴可分情况讨论如下:
2.已知函数
f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2
在区间[0,2]上有最小值
3,
求实数
a
的值.解:
由已知
f(x)=4(x
-)2-
2a+2.a2a2(1)当≤0,即
a≤0
时,函数
f(x)
在[0,2]上是增函数.
∴
f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当
0<<2,即
0<a<4
时,a2f(x)min=f()=-2a+2.由
-2a+2=3
得:a=-
12
(0,4),舍去.a2(3)当≥2,即
a≥4
时,函数
f(x)
在[0,2]上是减函数.
∴
f(x)min=f(2)=a2-10a+18.由
a2-2a+2=3
得:a=1
2
.∵a≤0,∴a=1-
2.
由
a2-10a+18=3
得:a=5
10.∵a≥4,∴a=5+
10.
综上所述,a=1-
2
或
a=5+10.第十二页,共二十四页,编辑于2023年,星期四
3.已知
y2=4a(x
-a)中a>0,
且当
x≥a
时,S=(x
-3)2+y2
的最小值为
4,求参数
a
的值.解:
由已知S=(x
-3)2+y2=(x
-3)2+4a(x
-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.∵当
x≥a
时,S(x)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2
的最小值为
4,∴对正数
a,可分情况讨论如下:(1)当3-2a<a,即
a>1
时,函数
S(x)
在[a,+∞]上是增函数.
∴
S(x)min=S(a)=(a-3)2.由
(a-3)2=4
得:a=1
或
5.∵a>1,∴a=5.
(2)当3-2a≥a,即
0<a≤1
时,S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.由
12a-8a2=4
得:a=1
或,12均满足
0<a≤1.
12综上所述,参数
a
的值为
或
1
或
5.第十三页,共二十四页,编辑于2023年,星期四
4.已知二次函数
f(x)=ax2+bx+c
的图象与直线
y=25
有公共点,且不等式
ax2+bx+c>0
的解集是(-,),求
a,b,c
的取值范围.1213解:
由已知,二次方程
ax2+bx+c
-25=0
有实根.∴
△=b2-4a(c
-25)≥0.又不等式
ax2+bx+c>0
的解集是(-,),
1213∴
a<0,且有
-=-,=-.1616abac∴
b=
a,c=-
a>0.1616∴
b=-c,c2+24c(c
-25)≥0.解得:c≥24.∴
b≤-24,a≤-144.故
a,b,c
的取值范围分别是
a≤-144,b≤-24,c≥24.代入b2-4a(c
-25)≥0
得:第十四页,共二十四页,编辑于2023年,星期四
5.已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数
a,b,c,使不等式
x≤f(x)≤
对一切实数
x
都成立?x2+12则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),得a-b+c=0.①∵
x≤f(x)≤
对一切实数
x
都成立,当
x=1
时也成立,x2+12∴1≤f(1)≤1,即
f(1)=1,得a+b+c=1.②
∴由
①,②
得:a+c=b=.
121212∴
f(x)=ax2+x+
-a.解:
假设存在常数
a,b,c,使题中不等式对一切实数
x
都成立.1212故应x≤ax2+x+
-a≤对一切实数
x
都成立.x2+12即2ax2-x+1-2a≥0与(1-2a)x2-x+2a≥0对一切实数
x
都成立.则必有:1-8a(1-2a)≤0,即
(4a-1)2≤0.14∴
a=.1214∴
c
=-a
=.x2+1214故存在一组常数:
a=,b=,c=,使不等式
x≤f(x)≤对一切实数
x
都成立.1412其中,0<a<
.12解法二:
可得
ac≥
且
ac≤,161161
∴ac=且
a=c,161从而得解.第十五页,共二十四页,编辑于2023年,星期四
6.已知二次函数
f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9.(1)
若在
[-1,1]
上至少存在一个实数
m,使得
f(m)>0,求实数a
的取值范围;(2)若对
[-1,1]
上的一切实数
m,都有
f(m)>0,求实数
a
的取值范围.解:
f(x)
的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为直线
x=a-1.
(1)问题等价于“对于
x∈[-1,1],有
f(x)max>0.”讨论如下:①当
a-1≤0
即
a≤1
时,f(x)max=f(1)=-a2-2a+15.由-a2-2a+15>0
得:-5<a<3.∵
a≤1,∴
-5<a≤1.②当
a-1>0
即
a>1
时,f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7.由-a2+6a+7>0
得:-1<a<7.∵
a>1,∴1<a<7.综上所述,-5<a<7.即实数
a
的取值范围是
(-5,7).
注:亦可用补集法求解.第十六页,共二十四页,编辑于2023年,星期四(2)问题等价于“对于
x∈[-1,1],有
f(x)min>0.”讨论如下:①当
a-1<-1
即
a<0
时,f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7.由-a2+6a+7>0
得:-1<a<7.∵
a<0,∴
-1<a<0.②当
-1≤a-1≤1
即
0≤a≤2
时,f(x)min=f(a-1)=-3a2+6a+7.而当
0≤a≤2
时,-3a2+6a+7>0
恒成立.∴0≤a≤2.综上所述,-1<a<3.即实数
a
的取值范围是
(-1,3).③当
a-1>1
即
a>2
时,f(x)min=f(1)=-a2-2a+15.由-a2-2a+15>0
得:-5<a<3.∵
a>2,∴2<a<3.第十七页,共二十四页,编辑于2023年,星期四证:(1)令
F(x)=f(x)
-x,由于
x1,x2是方程
f(x)
-x=0
的两根,所以可设
F(x)=a(x-x1)(x-x2).
7.已知二次函数
f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程
f(x)
-x=0
的两根x1,x2满足
0<x1<x2<
.(1)当
x∈(0,x1)
时,
证明:
x<f(x)<x1;
(2)设函数
f(x)
的图象关于直线
x=x0对称,证明:x0<
.1a2x1∵0<x1<x2<
,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.1a当
x∈(0,x1)
时,
由
x1<x2及
a>0
有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0.即
f(x)
-x>0,从而
f(x)>x.又
x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∴
x1-f(x)>0,从而
x1>f(x).
故当
x∈(0,x1)
时,
有
x<f(x)<x1;第十八页,共二十四页,编辑于2023年,星期四(2)依题意
x0=-.
2ab由于
x1,x2是方程
f(x)-x=0
即
ax2+(b-1)x+c=0
的两根,∴
x1+x2=-,∴b=1-a(x1+x2).b-1a
∴
x0=-2ab1-a(x1+x2)
2a
=-a(x1+x2)-12a
=.∵ax2<1,即ax2-1<0,2x1a(x1+x2)-12a
=<=.∴
x02aax1故
x0<.2x1第十九页,共二十四页,编辑于2023年,星期四
8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0
在[0,]上有两个不同的解,求实数a
的取值范围;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0
在[0,]上恒成立,求实数
a
的取值范围.解:(1)令
t=sinx,
则方程
2sin2x-4asinx+1-a=0
在[0,]上有两个不同的解等价于:方程
2t2-4at+1-a=0
有一根为
0,另一根不在
(0,1)
内;或方程
2t2-4at+1-a=0
在
(0,1)
内有两等根;
或方程
2t2-4at+1-a=0
有一解在
(0,1)
内,另一解在[0,1]外.
当
t=0
时,a=1,方程
2t2-4at+1-a=0
的另一根为
2
且
2(0,1),∴a=1
适合题意;
第二十页,共二十四页,编辑于2023年,星期四方程
2t2-4at+1-a=0
有两等根时,由
△=16a2-8(1-a)=0
得:a=-1
或.12∵a=-1时,方程
2t2-4at+1-a=0
的两等根为-1
但
-
1(0,1),∴a=-1
不合题意,舍去;12又a=时,方程
2t2-4at+1-a=0
的两等根为
且(0,1),1212∴a=
适合题意;
12
设
f(t)=2t2-4at+1-a,则方程
2t2-4at+1-a=0有一解在(0,1)内,另一解在[0,1]外等价于:f(0)f(1)<0,即
(1-a)(3-5a)<0.解得
<a<1.
35综上所述,实数
a
的取值范围是a=,或<a≤1.3512第二十一页,共二十四页,编辑于2023年,星期四
(2)令
t=sinx,
则不等式
2sin2x-4asinx+1-a>0
在[0,]上恒成立等价于不等式
2t2-4at+1-a>0
在[0,1]上恒成立.等价于或或a<0f(0)>00≤a≤1f(a)>0a>1f(1)>0.即或或
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