20192020高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第3节椭圆课时训练理

——教课资料参照参照范本——2019-2020最新高三数学一轮复习第九篇平面分析几何第3节椭圆课时训练理(1)______年______月______日____________________部门1/14【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,7椭圆的几何性质2,3,5,6,10,13直线与椭圆的地点关系4,8,9,11,12,14,15基础对点练(时间:30分钟)已知椭圆与双曲线-=1的焦点同样,且椭圆上随意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于(B)(B)(C)(D)分析:因为双曲线的焦点在x轴上,因此设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆上随意一点到两焦点的距离之和为10,因此依据椭圆的定义可得2a=10?a=5,则c==4,e==.2.(20xx广东四校联考)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(B)(B)(C)(D)分析:由题意得椭圆的标准方程为+=1,因此a2=,b2=,因此c2=a2-b2=,因此e2==,因此e=.2/143.(20xx浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C:+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F1PF2等于(C)(B)(C)(D)分析:由题意得a=3,c=,则|PF2|=2.在△F2PF1中,由余弦定理可得cos∠F2PF1==-.又因为∠F2PF1∈(0,π),因此∠F2PF1=.应选C.4.(20xx运城二模)已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(B)(B)-(C)2(D)-2分析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,因此=-,因此k==-.5.若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,且·=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为(A)3/14(B)(C)(D)分析:因为·=0,因此PF1⊥PF2,在Rt△PF1F2中,设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F1F2|=,因此2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=,故此椭圆的离心率e==.6.(20xx沈阳二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为(D)(A)(0,-1)(B)(,1)(C)(0,)(D)(-1,1)分析:依据正弦定理得=,(*)因此由=可得=,即==e,因此|PF1|=e|PF2|,4/14又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,则|PF2|=,因为a-c<|PF2|<a+c(不等式两边不可以取等号,不然(*)式不可立),因此a-c<<a+c,即1-<<1+,因此1-e<<1+e,即解得-1<e<1.7.(20xx辽宁六校联考)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为.分析:设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,因此M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.答案:+=18.(20xx河南六市调研(一))过椭圆+=1的中心任作向来线,交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PQF面积的最大值是.5/14分析:设P点的纵坐标为yP,因为椭圆+=1的中心是原点O,则Q点的纵坐标为-yP,且|yP|≤4,c===3,则△PQF的面积是|OF|(|yP|+|yQ|)=c×2|yP|=3|yP|≤3×4=12.答案:129.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=.分析:因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,因此点A,B的坐标分别是(-,0),(0,a).设点M的坐标是(x0,y0),由|AM|=e|AB|,得(*)因为点M在椭圆上,因此+=1,将(*)式代入,得+=1,整理得,e2+e-1=0,解得e=.答案:如下图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上极点,直线AF2交椭圆于另一点B.若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;6/14若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.解:(1)因为|AF1|=|AF2|=a,且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c,因此2a2=4c2,因此a=c,因此e==.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由=2,解得x=,y=-,代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3,因此b2=a2-c2=2.因此椭圆方程为+=1.能力提高练(时间:15分钟)11.(20xx宜宾二诊)已知直线l:y=kx与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,F为椭圆C的左焦点,且·=0.若∠ABF∈(0,],则椭圆C的离心率的取值范围为(D)(A)(0,](B)(0,](C)[,](D)[,1)7/14分析:设椭圆C的右焦点为F′,连结AF′,BF′,因为·=0,因此AF⊥BF,又直线l:y=kx过原点O,因此依据椭圆的对称性知点A,B对于原点对称,因此四边形AFBF′是矩形,因此|AB|=|FF′|=2c(此中c=),因此在直角三角形AFB中,|AF|=|AB|sin∠ABF=2csin∠ABF,|BF|=|AB|cos∠ABF=2ccos∠ABF,又依据椭圆的定义知|AF|+|AF′|=2a,因此2csin∠ABF+2ccos∠ABF=2a,因此离心率e===,又∠ABF∈(0,],因此<∠ABF+≤,因此<sin(∠ABF+)≤,故e∈[,1).12.椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M知足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.8/14分析:已知F1(-c,0),F2(c,0),直线y=(x+c)过点F1,且斜率为,因此倾斜角∠MF1F2=60°.因为∠MF2F1=∠MF1F2=30°,因此∠F1MF2=90°,因此|MF1|=c,|MF2|=c.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=c+c=2a,因此离心率e===-1.答案:-113.(20xx聊城模拟)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:x=-,且PQ⊥l,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是.分析:设点P(x1,y1)(-a<x1<a),因为PQ⊥l,故|PQ|=x1+,因为四边形PQF1F2为平行四边形,因此|PQ|=|F1F2|=2c,即x1+=2c,则有-a<2c-<a,因为0<e<1,因此<e<1,即椭圆离心率的取值范围是(,1).答案:(,1)14.(20xx长春调研)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点到直线x+y+=0的距离为2.9/14求椭圆的方程;过点M(0,-1)作直线l交椭圆于A,B两点,交x轴于N点,且知足=-,求直线l的方程.解:(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>0),则=2,c+=±2,c=或c=-3(舍去).又离心率=,则=,故a=2,b==,故椭圆的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为=-,因此(x1-x0,y1)=-(x2-x0,y2),y1=-y2.①易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时,①不可立,于是设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),联立方程消去x得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,②因为>0,因此直线与椭圆订交,于是y1+y2=-,③y1y2=,④10/14由①③得,y2=,y1=-,代入④整理得8k4+k2-9=0,k2=1,k=±1,因此直线l的方程是y=x-1或y=-x-1.15.(20xx兰州模拟)已知椭圆方程为+x2=1,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆交于P,Q两点,线段PQ的垂直均分线与y轴订交于点M(0,m).求m的取值范围;求△MPQ面积的最大值.解:(1)设直线l的方程为y=kx+1,由可得(k2+2)x2+2kx-1=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.可得y1+y2=k(x1+x2)+2=.设线段PQ的中点为N,则点N的坐标为(,),由题意有kMN·k=-1,可得·k=-1,11/14可得m=,又k≠0,因此0<m<.故m的取值范围为(0,).(2)设椭圆的焦点为F,由(1)可得k2=-2,则S△MPQ=·|FM|·|x1-x2|=|1-m|=|1-m|·=,因此△MPQ的面积为(0<m<).设f(m)=m(1-m)3,则f′(m)=(1-m)2(1-4m).可知f(m)在区间(0,)上单一递加,在区间(,)上单一递减.因此当m=时,f(m)有最大值f( )=.即当m=时,△MPQ的面积有最大值.出色5分钟已知椭圆C:+=1,点M(2,1),O为坐标原点,平行于OM的直线l交椭圆C于不一样的两点A,B,则△AOB的面积的最大值为(C)(A)1(B)(C)2(D)2解题重点:设出直线l的方程为y=x+m(m≠0),与椭圆方程联立成立面积对于m的关系式,利用基本不等式求最值.分析:由直线l∥OM,可设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程代入椭圆C的方程得,12/14x2+2mx+2m2-4=0,则=(2m)2-4(2m2-4)>0,即m∈(-2,2)且m≠0,x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,因此S△AOB=|m||x1-x2|=|m|·=|m|==2,当且仅当m2=4-m2,即m=±时,△AOB的面积获得最大值,且最大值为2.已知点P是椭圆+=1上的动点,且与椭圆的四个极点不重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若点M是∠F1PF2的均分线