空间解析几何习题答案

.一、计算题与证明题1．已知|a1,|b4,|c5,并且abc0．计算abbcca．解：因为|a1,|b4,|c5,并且abc0所以a与b,且ab与c反向因此ab0bc0ca0所以abbcca02．已知|ab3, |ab4,求|a||b|．解：|abacos3 〔〕|ababsin4 〔〕2

22

得b

25所以 ab54．已知向量x与共线, 且满足ax3,求向量x的坐标解：设x的坐标为y,z,又a则axx5y2z3 〔1〕x与a共线xa0即所以即29x

5y

26z

02y5z2z22y5z2z2x25xy2x与a共线x与a夹角为0或3整理得 x

y

z210x

1, ,

〔3〕1 11 1

的坐标为10 2 5 6．已知点, 求线段AB的中垂面的方程解：因为ABB,设动点坐标为Myz,MAMB得化简得2x3y5z2701/10.这就是线段AB的中垂面的方程.．向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1),求向量c的坐标．abcr设为则有ab1011011则cos ab 1ab r2设向量c的坐标为x,y,z则ac1x1y0zxyabcosrr1 1 〔〕r2bc0x1y1zyzbccosrr

1 1 〔〕r2x

y

z

2 〔3〕x1x1 312<3>求出y0或y4 3z1 1z3c

1

1所以向量

的坐标为

或 , , 3 3 38．已知点, , C(0,2,3), D(2,0,3),求以AB, AC,AD为邻边组成的平行六面体的体积．ABCD的体积．求BCD的面积．ABCD的距离．解：因为,B,,C,,D,,3AB 〔1〕AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积〔2〕由立体几何中知道,四面体ABCD〔三棱锥ABCD〕的体积〔3〕因为BC2,BD42/10..PAGEPAGE3/10162162162BCBD222BCDBCED1 1222BCDBCED

,这是平行四边形BCED的面积

2S□

16 2<4>ABCDH,ABCD的体积11 2V38811 2VH

3T SBCD

3 118 2228 221．求经过点A(3,2,1)和B(1,2,3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．xoyy轴,方程为AxCzD0 <1>把点和点B3代入上式得3ACD0 <2>AD0 <3>由〔2〕,〔3〕得AD,CD代入〔1〕得

Dx

2 2DzD02 2消去D得所求的平面方程为2．求到两平面3xy2z60和x

yz

1距离相等的点的轨迹方程．2 5 1解；设动点为Mx,y,z,由点到平面的距离公式得14129所以3xy2z614129

5x2y10z103．已知原点到平面的距离为120,且在三个坐标轴上的截距之比为2:6:5,求 方程．解：设截距的比例系数为k,则该平面的截距式方程为化成一般式为15x5y6z30k0286又因点到平面120,求出k4286286所,所求平面方程为15x5y6z120 02865．已知两平面mx7y6z240与平面2x3my11z190相互垂直,m的值．

解：两平面的法矢分别为n1

m,1,6,n2

nn,得1 2求出m66196．已知四点A(0,0,0), B(,2,5,3), , D(2,0,7),求三棱锥DABC中ABC面上的高．解：已知四点A0,0,0,B2,5,3,C0,1,2,D2,0,7,则DCDADBDC

为邻边构成的平行六面体的体积为由立体几何可知,三棱锥DABC的体积为设D到平面ABC的高为H1则有

D

H3

ABC所以 HABAC1

3VDABCSABCAC172AC1724222所以,S

AB

69ABC因此,H

2 2 228 6931428 69693 28 691 69 69269Az轴上且到平面4x2y7z1407,A的坐标．Az,A00〕,,得69所以7z1469则z26969 69那么A点的坐标为A0,0,2已知点．Az与到平面6x2y3z9,A.解：A在z轴上,故设A的坐标为0,0,z,由两点的距离公式和点到平面的距离公式得0202221z23z9622232化简得40z274z2290因为742440229311640方程无实数根,所以要满足题设条件的点不存在.1．求经过点

x1

y1

z1 x和

y z1都平行的平面的方1 1 0 1 1 0程．解：两已知直线的方向矢分别为v1

0，v2

0,平面与直线平行,则平面的法矢aA，B，C与直线垂直由av1

,有AB00 〔1〕由a⊥v ,有AB00 〔2〕2联立〔1〕,〔2〕求得A0,B0,只有C0又因为平面经过点P0D0故所求平面方程Cz0,z0,xoy平面.z2P<1,0,-2>,3x-y+2z-1=0x1z

y

相交的直线的方程．解：设所求直线的方向矢为v直线与平面3x2z10,则vn,有

4 2 1n2p0 〔〕4 2 1mnp则有44 2 1mnp则有411230102

y3

z相交,即共面0所以7m8n120 〔由〔〕,2〕得1 28 122 312 73 17 8m 1 28 122 312 73 17 84 50 31m4n50,p31,得求作的直线方程为3A(0,0,0x3

y4

z4的平面的方程．2 1 1解：设通过点A(0,0,0)的平面方程为A(x0)B(y0)C(z0)0即 AxByCz0 <1>x3 y4 z4又直线

2 1 1

在平面上,则直线的方向矢v与平面法矢n垂直所以 2ABC0 <2>直线上的点3,4,4也在该平面上,则3A4B0 〔〕由〔1〕,〔2〕,〔3〕得知,将A,B,C作为未知数,有非零解的充要条件为即8x5y11z0,.x24．求点到直线

y z1 的距离．1 1 0解：点A2,0,1在直线上,直线的方向矢v1,1,0APAP与v的夹角为所以90022232223x 4y z155取何值时直线x 4y z15

与z轴相交?3xy2z60解：直线x4yz150

与z则有交点坐标为z,2z60由直线方程得z150,求得57．求过点(3,25)且与两平面x4z3和3xyz1平行直线方程．解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行,则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面,即直线的方向矢为将已知点代入直线的标准方程得x5．一平面经过直线〔即直线在平面上〕l：

y2z

且垂直于平面xyz150,求该平面的方程．

3 1 4解：设求作的平面为AxByCzD0 <1>x5直线

y2

z,则有点5,2,0,且直线的方向矢v与3 1 4.平面的法矢nBC垂直所以5A2BD0 <2>3AB0 <3>又平面与已知平面xyz110垂直则它们的法矢垂直所以ABC0 A5D 39<2>,<3>,<4>得B7D 34 2C34D代入〔1〕式消去D并化简得求作的平面方程为求顶点为O(0,0,0,轴与平面x+y+z=0,且经过点>的圆锥面的方程．Px，y，z,依题意,xyz0垂直,则轴线的方向矢为v,又点O,,0与点在锥面上过这两点的线的方向矢为l 点O(0,0,0Px，y，z的方向矢为l1 的夹角和l与v的夹角相等,即2化简得所求的圆锥面方程为

yz,则有l与v1已知平面z轴,x2的圆,求该平面的方程．

y

z

6x8y10z410相交得到一个半径为解：过z轴的平面为AxBy0 〔1〕球面方程化为x

y4

z529表示球心坐标为O3,4,5到截面圆的圆心的距离为d 3222 5,.4由点到平面的距离公式为化简得4A2

24BA20解 关 于 A 的 一 元 二 次 方 程 地24B 24B2441B2A 247/10.1 11A1

B,A2

B2<1>式得1BxBy0,11BxBy02 23消去B得所求平面方程为x2y或x y311x1求以z轴为母线,直线y

为中心轴的圆柱面的方程．解:如习题三.5所示,圆柱面在xoy平面上投影的圆心坐标为,半径为2,所以求作的圆柱面方程为x

y226．求以z轴为母线,经过点A(,4,2,2)以及B(6,3,7)的圆柱面的方程解设以z轴为母线的柱面方程为xa

yb

a2

<1>因为点A(,4,2,2),B(6,3,7)在柱面上,则有4a22b2R2 <2>6a23b

R2 <3>则a0

b0

R2

<4>联立<2>,<3>,<4>求出a

25 5,b ,R

2258 4 64代入<1>式得所求的柱面方程为7．根据k,说明(9k)x

(4k)y

(1k)z

1表示的各是什么图形．解:方程k

k

k

1 <1>①k9时,<1>式不成立,不表示任何图形;4k9时,<1xa③1k4时,<1x2a2

yb2yb2

zcz2c2

11,表示单叶双曲线;k1时,<1xa2

yb2

zc

1,表示椭球面;k1时,<1xa2

yb2

1,表示母线平行于z轴的椭圆柱面;8/10..PAGEPAGE10/10k4时,<1x2z2a2 b2

1,表示双曲柱面;k9时,<1>式变为

y2b2

z21,不表示任何图形;c21．已知|a2,|b7,|c5,并且abc0．计算abbcca．解:|a2,|b7,|c5,且abc0则a与c同向，a、c均与b反向所以abbcca0已知点, B(2,3,0)求线段AB的中垂面的方程．解：已知点, ,设AB的中垂面上任一点的坐标为My,z,由两点间的xx02y2z42x22y2z02xy2z10已知平面B,C且OABC80,又在三个坐标轴上的截距之比为4:5:3,求的方程．在三个坐标轴上的截距之比为abc453k,则平面与三个坐标轴所以,k38,k2因此,a4k8,b5k10,c3k6平面x

y z 18 10