云南省楚雄天人中学高二数学下学期3月月考试题理

PAGEPAGE7云南省楚雄天人中学2020-2021学年高二数学下学期3月月考试题理选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，则A． B． C． D．2．关于函数，下列说法正确的是（）A．没有最小值，有最大值 B．有最小值，没有最大值C．有最小值，有最大值 D．没有最小值，也没有最大值3．将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法座谈，则成绩为组应抽取的人数为（）A．60B．50C．40 D．204．曲线，与轴所围成的面积是（）A．0B．2C．4 D．5．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为（）A．B．C． D．6．设向量=（1，）与=（-1，2）垂直，则等于（）A． B． C．0 D．-17.如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数在区间内单调递增；②函数在区间内单调递减；③函数在区间(4,5)内单调递增；④当＝2时，函数有极小值；⑤当＝时，函数有极大值．则上述判断中正确的是()A．①②B．②③C．③④⑤ D．③8．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2 B． C． D．9．已知，，，则的大小关系为A．B．C． D．10．已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．11．在上可导的函数的图象如图示，为函数的导数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C． D．12．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为（）A．B．C． D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上）．13．已知，则________.14．函数在其极值点处的切线方程为____________.15．抛物线的准线被圆截得的弦长为，则___________.16．已知曲线存在垂直于轴的切线，且函数在上单调递减，则的范围为__________．三、解答题：共70分.（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题共10分）等比数列中，已知．（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．18．（本题共12分）在面积为的中，，.（1）求的长；（2）求的值.19．（本题共12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）设点是的中点，求二面角的余弦值．20．（本题共12分）已知函数．（1）若函数在和处取得极值，求，的值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．21．（本题共12分）在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与交于两点．（1）写出的方程；（2）若，求k的值；（3）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．（本题共12分）已知是自然对数的底数，函数，其中.当时，若，求的单调区间;（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围.楚雄天人中学2022届高二年级下学期3月数学学习效果监测理科数学参考答案1．B【解析】,选B.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2．D【分析】利用研究函数的最值.【详解】依题意，所以在上递增，没有最小值，也没有最大值.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.3．C【分析】根据6个矩形面积之和等于1求出，再用样本容量乘以第4个矩形的面积即可得到答案.【详解】依题意得，解得，所以成绩为组应抽取的人数为，故选：C【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，属于基础题.4．C【分析】根据积分的几何意义化为求可得结果.【详解】曲线，与轴所围成的面积.故选：C【点睛】结论点睛：由上下两条连续曲线与及两条直线与所围成的平面图形的面积为.5．D【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,∴-2=-×4,∴a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,∴e===.6．C【详解】：正确的是C.点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.7．D【解析】对于①，函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正确；对于②，函数y=f（x）在区间（﹣，3）有增有减，故②不正确；对于③，函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确；对于④，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④不正确；对于⑤，当x=﹣时，f′（x）≠0，故⑤不正确．故选D．8．D【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2,故选D9．A【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】；；．故．故选A．【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．10．C【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，正数是关于的方程的两根，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，经检验知当时，方程有两个正实数解.所以的最小值为.故选：C.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．A【解析】试题分析：由图象可知f′（x）=0的解为x=-1和x=1函数f（x）在（-∞，-1）上增，在（-1，1）上减，在（1，+∞）上增∴f′（x）在（-∞，-1）上大于0，在（-1，1）小于0，在（1，+∞）大于0当x＜0时，f′（x）＞0解得x∈（-∞，-1）当x＞0时，f′（x）＜0解得x∈（0，1）综上所述，x∈（-∞，-1）∪（0，1），故选A．考点：函数的图象；导数的运算；其他不等式的解法．12．D【分析】构造函数，由，结合已知条件知的区间单调性，进而得到在上恒负，在上恒正，即可求解函数不等式的解集.【详解】，在为减函数，而，∴在上，；在上，；而，∴在上，又函数为奇函数，∴在上.不等式等价于或，∴.故选：D.【点睛】思路点睛：（1）构造，由已知条件知在为单调递减且.（2）由在、的符号及，得到在上恒负.（3）由奇偶性判断在定义域上的符号.（4）由函数不等式求解集即可.13．【分析】直接利用复合函数的求导公式求导即可.

【详解】，则，所以.故答案为：.14．【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为考点：导数的几何意义.15．【分析】根据抛物线的准线被圆截得的弦长为，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，又由抛物线的准线方程为，因为抛物线的准线被圆截得的弦长为，可得圆心到准线的距离为，解得.故答案为：16．【解析】试题分析：曲线存在垂直于轴的切线，在时有解，因此，此时，得，函数在上单调递减，则，恒成立，即，函数在区间上单调递增，最大值为，满足，，因此.考点：1、利用导数研究函数的性质；2、恒成立的问题.17．(1).(2).【解析】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，2分解得，所以2分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，设的公差为，则有解得2分从而2分所以数列的前项和2分考点：等差、等比数列的性质18．（1）4；（2）.【分析】（1）先由题意，得到；再由三角形面积公式，列出方程，即可求出结果；（2）先由余弦定理，求出，再由正弦定理，即可得出结果.【详解】（1）因为，即，则；2分在中，，所以3分所以；1分（2）由余弦定理得，2分所以；1分由正弦定理得，则3分【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形，熟记公式即可，属于基础题型.19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可得平面，根据线面垂直的性质定理，可得，根据等腰三角形中线的性质，可得，利用线面垂直的判定定理，即可得证；（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理可得平面，结合题意，如图建系，可得各点坐标，进而可得，，的坐标，即可求得两个平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】解：（Ⅰ）平面平面，平面平面=AC，平面，，∴平面，2分∵平面，∴，1分∵，是的中点，∴，1分∵，平面，∴平面．2分（Ⅱ）∵平面平面，平面平面=AC，平面，∴平面，∵平面，∴，2分以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，则，，，1分由（Ⅰ）知是平面的一个法向量，设是平面的法向量，则有，即，令，则，，∴，设二面角所成角为，由图可得为锐角，则．3分【点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案.20．（1）；（2）．【分析】（1）先对函数求导，根据极值点列出方程组求解，即可得出结果；（2）由（1），得到，，列表确定函数单调性和极值，得到函数最小值，推出，进而可求出结果.【详解】（1）由题可得，，1分∵函数在和处取得极值，∴，2是方程的两根，∴，∴；3分（2）由（1）知，，当变化时，，随的变化如下表：2300增减增4分∴当时，的最小值为，要使恒成立，只要即可，∴，∴的取值范围为．4分【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数，考查导数的方法研究不等式恒成立问题，属于常考题型.21．（Ⅰ），（Ⅱ）略.【解析】(I)根据椭圆定义可知a=2,,所以b=1,再注意焦点在y轴上，曲线C的方程为,3分(II)直线与椭圆方程联立，消y得关于x的一元二次方程，再根据坐标化为，借助直线方程和韦达定理建立关于k的方程，求出k值.(III)要证：||>||,，再根据A在第一象限，故,,从而证出结论.解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．3分（Ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故．2分若，即．而，于是，化简得，所以．3分（Ⅲ）．2分因为A在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有．2分22．（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【分析】（1）当时，先对求导得的解析式，再对求导，由得单间区间，由得单增区间；（2）由题意可得方程有三个不等的实根，等价于方程有三个不等的实根，即与两个函数图象有三个不同的交点，对求导判断其单调性，作出其图象，数形结合即可求解.【详解】（1）当时，，1分令，则，1分当时，在上单调递减；1分当时，在上单调递增．1分所以的单调递减区间为，单调递增区间为；1分（2），，1分所以若在上恰有三个零点等价于有三个不等的实根，等价于方程有三个不等的实根，设，则与两个函数图象有三个不同的