数列求和之裂项相消（典型例题+跟踪训练）【解答题抢分专题】备战高考数学（新高考通用）解析版

【解答题抢分专题】备战高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题12数列求和之裂项相消目录一览一、梳理必备知识二、典型例题讲解三、基础知识过关四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接一、梳理必备知识一、梳理必备知识1.裂项相消常见类型=1\*GB3①例：②例：③例：④例：其他示例：2.数列中与之间的关系：注意通项能否合并。3.等差数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。（2）等差中项：若三数成等差数列（3）通项公式：或（4）前项和公式：（5）常用性质①若，则；②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；③数列（为常数）仍为等差数列；④若、是等差数列，则、(、是非零常数)、、，…也成等差数列。⑤若等差数列的前项和，则、、…是等差数列。4.等比数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。（2）等比中项：若三数成等比数列（同号），反之不一定成立。（3）通项公式：（4）前项和公式：（5）常用性质①若，则；②为等比数列，公比为（下标成等差数列,则对应的项成等比数列）③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；④若等比数列的前项和，则、、…是等比数列.三、基础知识过关三、基础知识过关一、单选题1．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，．第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an．则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于（

）A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)【答案】C【分析】由题意可得，再利用裂项相消求和法可求得结果【详解】.故选：C．2．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列的通项公式，利用裂项相消法求前项的和.【详解】，当时，，当时，，当时，也满足，∴数列的通项公式为，，故选：C3．若数列的前项和，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用数列的前项和求出该数列的通项，再利用裂项相消法求和作答.【详解】当时，，而满足上式，则，因此，所以.故选：A4．数列满足，对任意的都有，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用累和法，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.【详解】由，当时，，显然也适合，所以，于是有因此，故选：C5．已知数列的通项为，则其前8项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用裂项相消法进行求解即可.【详解】，所以前8项和为，故选：D6．数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据与的关系求得，进而求出，利用裂项相消求和法即可求解.【详解】由题意知①，当时，，当时，②，①-②，得，若，，符合题意，所以，则，所以，则.故选：D.二、填空题7．已知数列中，，则此数列的前8项和为__________．【答案】【分析】由裂项相消法求解，【详解】，的前8项和为．故答案为：8．数列的前10项和为__________.【答案】【分析】利用裂项相消法进行求和即可.【详解】解：，故.故答案为：.9．数列的通项公式，若，则_______．【答案】99【分析】利用裂项相消法进行求解即可.【详解】因为，所以，即，故答案为：10．=___________【答案】【分析】先将每一项分母有理化，而后进行计算．【详解】【点睛】本题考查了数列求和．解决本题的关键是分母有理化．11．设，为的前项和，则使得成立的的最小值是______.【答案】10【解析】利用裂项相消法求出，然后解不等式即可得答案【详解】解：因为，所以，，要使，只要，即，，所以，即，所以的最小值是10，故答案为：1012．数列的通项公式为，该数列的前8项和为__________．【答案】【分析】用裂项相消法求和．【详解】因为，所以．故答案为：．四、解题技巧实战四、解题技巧实战1．已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)详见解析；(2)【分析】（1）中令和结合求得，然后利用得数列的递推关系，进而即得；（2）由（1）求得再得出，利用裂项相消法求得和．【详解】（1）因为，所以，因为，所以，，即，，解得，，当时，，与联立，得，所以，又因为，所以是以1为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）得，，所以，，所以，所以.2．已知为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若为的前项和，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用累乘法，结合已知条件，即可求得结果；（2）利用裂项求和法，结合（1）中所求，即可求得结果.【详解】（1）∵.∴，∴，∴；当时，满足上式，所以；（2）由（1）可得，∴.3．已知等差数列的前项和为，公差为，若，.(1)求数列的通项公式；(2)若（），求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用等差数列的前项和公式求出，再利用等差数列的通项公式进行求解；（2）先利用分母有理化化简，再利用裂项抵消法进行求和.【详解】（1）因为等差数列{an}中，，，所以，解得，所以数列的通项公式为.（2）因为=，则=.4．已知数列，，，，，为数列的前n项和，为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和；【答案】（1）；（2）；【分析】（1）应用累加法求数列通项即可.（2）利用裂项相消法求.【详解】（1）由题设，当时，，又满足上式，所以（2）由（1），，∴.五、跟踪训练达标五、跟踪训练达标1．（内蒙古赤峰市八校2023届高三第三次统一模拟考试联考文科数学试题）等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设，是数列的前项和，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，解之即可求解；（2）由（1）得，则，利用裂项相消求和法可得，即可证明.【详解】（1）设等差数列首项为，公差为，由题意得，解得，所以的通项公式为；（2）由（1）知，，则，，，，，2．（吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得到是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式；（2）由（1）得，由等差数列求和公式得到，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由得到，当时，，两式相减，有，得到，由于，，因为，由上述递推关系知，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．（2）由（1）知：，则，所以数列为等差数列，所以数列的前项和为，则，所以．3．（吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高三下学期二模考试数学试题）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项和，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)把化为，从而利用累加法可求；(2)由可推，利用放缩，可证.【详解】（1）由题意知，所以，即从而，，则．显然满足上式，所以（2）由（1）知，所以，所以．又因为，所以，所以．4．（2022-2023学年高三新高考数学押题卷（一））已知为等差数列的前n项和，满足，___________.给出三个条件：①，②，③.试从上面三个条件中选择一个，补充在上面横线中，并给出下面两问的解答.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若，求正整数n的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)44【分析】（1）根据题意和等差数列的性质可得，若选①，令，结合等差数列的通项公式即可求解；若选②，结合等差数列的通项公式即可求解；若选③，将等式变形得，由等差数列前n项求和公式可得，进而求出d即可求解.（2）由（1）得，利用裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，得，所以，所以，即.若选①：由，得，所以.又因为，解得，，所以.若选②：由，得，即.又因为，解得，，所以.若选③：由，得，所以.又因为，所以，，所以，即，所以.（2）由（1）知，所以.所以由，得，解得，故正整数n的值为44.5．（湖南省部分市2023届高三下学期3月大联考数学试题）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)已知数列的前20项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得到，然后两式相减得到，最后验证时是否成立，即可得到；（2）分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最后相加即可.【详解】（1）当时，可得，当时，，，上述两式作差可得，因为满足，所以的通项公式为.（2），所以，.所以数列的前20项和为.6．（山东省泰安市2023届高三下学期一轮检测数学试题）已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.(1)求；(2)求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，解之即可求出首项和公差，进而即可求解；（2）结合（1）的结论求出，然后利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为d，，，即整理得，解得，或（舍）所以故，（2）由（1）知，，所以，所以，则，.7．（福建省漳州市2023届高三毕业班第三次质量检测数学试题）已知为等差数列的前项和，，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造方程组求得，进而得到；（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得：，.（2）由（1）得：，，.8．（广东省湛江市2023届高三一模数学试题）已知，为数列的前n项和，．(1)证明：数列为等比数列；(2)设数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取计算，得到，得到证明.（2）确定，变换，利用裂项求和计算得到证明.【详解】（1），，．由，得，，所以，故，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．（2），故，所以．9．（湖南省邵阳市2023届高三上学期一模数学试题）已知数列满足，，，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意得到，利用累加法求出的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.【详解】（1）因为，，，，可得，，又，则当时，，上式对也成立，所以，；（2）由，可得，则数列的前项和为.10．（安徽省六安市省示范高中2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知是数列的前n项和，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，是的前项和，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据与的关系求解；（2）利用裂项相消法求和即可证明.【详解】（1）时，，时，经验证时∴（2）时

时，，，

∴．11．（河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试理科数学试题）在数列中，，．(1)设，求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为．若，求正整数的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，利用累加法求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可得到，利用裂项相消法求出，即可得到方程，解得即可.【详解】（1）解：因为，，且，所以，当时，当时，又时也符合上式，所以.（2）解：由（1）可知，所以，所以，所以，则，解得.12．（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷）已知数列满足，，，当时，，为数列前n项的和.(1)证明：；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用求出，故为等差数列，公差为1，首项为1，求出通项公式，利用放缩法得到，相加后证明出结论；（2）裂项相消法得到，进而求和【详解】（1）当时，，即，变形为，即，即，，由，得：，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以，因为，所以，故，故；（2），故13．（湖南省衡阳市2022届高三下学期二模数学试题）已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)①；②；③.从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据条件建立的方程组解出即可；（2）选①时，，然后利用错位相减法求出答案即可；选②时，，然后可算出答案；选③时，，然后可算出答案.【详解】（1）是递增的等差数列，数列的公差，由题意得：解得：，，（2）选①时，，，则，两式作差得：选②时，.，选③时，，.14．（湖北省高中名校联盟2023届高三上学期第一次联合测评数学试题）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和为.【答案】(1)(2)【分析】(1)由递推关系取可求，当时，取递推关系中的可求，由此可得数列的通项公式；(2)由(1)可得，利用裂项相消法求数列的前项和为.（1）当时，，当时，①②由①-②得