2017年-2019年北京卷理数高考试题含答案

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2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理)(北京卷)

本试卷共5页，15()分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知复数z=2+i,则z・5=

(A)6(B)V5(C)3(D)5

(2)执行如图所示的程序框图，输出的s值为

开始

A=1，s=1

/输出S/

结束

(A)1(B)2(C)3(D)4

x=1+3，，

(3)已知直线/的参数方程为〈-)。为参数)，则点(1,0)到直线/的距离是

y=2+4l

、6

(D)-

5

1

(4)已知椭圆=+2T=1(a>b>0)的离心率为大，则

a"b"2

(A)a^=2b2(B)3a2=4/72(C)a=2b(D)3a=4b

(5)若x,y满足I幻且正T,则3x+y的最大值为

(A)-7(B)1(C)5(D)7

5E

(6)在天文学中，天体的明喑程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足〃?2-如=彳怛才，

2匕2

其中星等为旗的星的亮度为&(仁1，2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是T.45,则太阳与

天狼星的亮度的比值为

(A)IO101(B)10.1(C)IglO.l(D)1O-10-1

(7)设点A,B,C不共线，则“AB与4C的夹角为锐角”是(，\AB+AC\>\BC\，>的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线Gf+y=1+|幻y就是其中之一(如图).给出

下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过正；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

(A)①(B)②(C)①②(D)①②③

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)函数/(x)=sin2〃的最小正周期是.

(10)设等差数列｛斯｝的前〃项和为5,”若念=-3,S5=-10,则“5=，S”的最小值为.

(11)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长

为1,那么该几何体的体积为.

(12)已知/，根是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/_1_如②机〃a；③/_La.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

(13)设函数/CO=/+“/'(。为常数).若/(%)为奇函数，则“=；若/(x)是R上的增函数，

则〃的取值范围是.

(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60

元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价

达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当410时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)(本小题13分)

在△ABC中，a=3,b-c=2,cosB=--.

2

(I)求b,c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

(16)(本小题14分)

如图，在四棱锥P-A8C。中，平面ABC。，ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD

PF1

的中点，点尸在「C上，且』=

PC3

(I)求证：平面PA。；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(III)设点G在P8上，且丝=2.判断直线AG是否在平面4EF内，说明理由.

PB3

(17)(本小题13分)

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了

解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中

A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

寸金额(元)(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式、

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

(I)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率；

(II)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于

1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

(III)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，

发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金

额大于2000元的人数有变化？说明理由.

(18)(本小题14分)

已知抛物线C：5=_2py经过点(2,-1).

(I)求抛物线C的方程及其准线方程；

(II)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,N,直线尸T分

别交直线OM,ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过)，轴上的两个定点.

(19)(本小题13分)

已知函数f(x)=^-x3-x2+X.

(I)求曲线y=/(x)的斜率为i的切线方程;

(II)当xe［-2,4］时，求证：x-6<f(x)<x-

(III)设尸(x)="(x)—(x+a)|(aeR),记-(x)在区间［-2,4］上的最大值为M(«).当M(a)

最小时，求。的值.

(20)(本小题13分)

已知数列｛斯｝,从中选取第八项、第办项、…、第篇项(ii<i2V…4)，若%,则称新

数列多,”,…，为｛斯｝的长度为根的递增子列.规定：数列｛斯｝的任意一项都是｛小｝的长度为1

的递增子列.

(I)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

(II)已知数列｛斯｝的长度为P的递增子列的末项的最小值为a,%,长度为q的递增子列的末项的最小

值为4•若P<4，求证：4b<4,；

(III)设无穷数列｛斯｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若｛斯｝的长度为s的递增子列末项的

最小值为北-1,且长度为s末项为2s-l的递增子列恰有2'"个(s=l,2,…)，求数列｛斯｝的通项公式.

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2019年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题,每小题5分，共40分）

(1)D(2)B(3)D(4)B(5)C(6)A(7)C(8)C

二、填空题（共6小题,每小题5分，共30分）

⑼I(10)0-10(11)40(12)若/_L，〃，11a,则m//a.（答案不唯一）

(13)-1(-8,0](14)13015

三、解答题（共6小题,共80分）

(15)(共13分)

解：（I）由余弦定理—2accosB,得

Z?2=32+C2-2X3XCX--

I2.

因为b=c+2,

22

所以(c+2)2=3+C-2X3XCX

解得c=5.

所以b=7.

(II)由cos8=—L得sinB=^

22

由正弦定理得sinC=£sin6=5A/3

b14

在△ABC中，N8是钝角,

所以NC为锐角.

所以cosC--sin2C--

14

4G

所以sin(3-C)=sin3cosc—cos5sinC=7

(16)(共14分)

解：(I)因为PA_L平面A88,所以PA_LCD.

又因为AO_LC£),所以CD_L平面PAC.

(II)过4作4。的垂线交BC于点M.

因为PA_L平面ABC。，所以PAJ_4M,PAA.AD.

如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),。(0,2,0),

P(0,0,2).

因为E为的中点，所以E(0,1,1).

所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,—2),AP=(0,0,2).

1<222^,224、

所以PF=-PC=—,一,——,AF=AP+PF^

3133(333)

设平面AE尸的法向量为”=(x,y,z),则

fXr[v+z=0,

n-AE^n0,'

<即《224八

n-AF=0,--^+-y+-2=0.

i1333

令z=l,则y=-I,x=-l.

于是“=(T,-1,1).

又因为平面PAO的法向量为p=(1,0,0),所以cos〈〃,p)=」咨=—@

I/illp|3

由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为亚

3

(HI)直线AG在平面AEF内.

因为点G在PB上，且竺=2,PB=(2,-l,-2),

PB3

2,424、,422、

所以PG=—尸8=—,一一\,AG=AP+PG=一一.

3(333J(333)

由(II)知，平面AEF的法向量〃=(一1,一1,1).

422

所以AG-〃=一一+—+—=0.

333

所以直线AG在平面AEF内.

(17)(共13分)

解：(I)由题意知1,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A,B

两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为±=0.4.

100

(IDX的所有可能值为0,1,2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件。为“从

样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.

由题设知，事件C,。相互独立，且P(C)=^9+^3=0.4,P(D)=1-4--+--1--=0.6.

3025

所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

p(X=l)=P(C方CD)

=P(C)P(D)+P(C)P(D)

=0.4x(1-0.6)+(1-0.4)x0.6

=0.52,

P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.

所以X的分布列为

X012

P0.240.520.24

故X的数学期望E(X)=0X0.24+1x0.52+2x0.24=1.

(Ill)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得

P（E）=，-=---.

Co4060

答案示例1：可以认为有变化.理由如下：

P（£）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000

元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.

答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：

事件E是随机事件，P（£）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.

（18）（共14分）

解：（I）由抛物线。：炉=一2期经过点（2,-1）,得p=2.

所以抛物线C的方程为,其准线方程为y=l.

（II）抛物线C的焦点为E（0,-1）.

设直线/的方程为y=依一1（女工0）.

由|）'「"―1'得*2+46_4=0.

x2=-Ay

设A/（ApX）,N（%2，y2），则石X2=T.

直线OM的方程为y=

罚

令y=—l,得点4的横坐标.=一上.

y

同理得点8的横坐标4=-三.

设点。（0,〃），则ZM=-&,—1—〃,DB=一三,一1—〃，

Iy）I%）

说。8=必+（n+1）2

7雷

I4火4)

=-^-+(n+l)2

xtx2

=-4+(〃+l)2.

令DA-OB=0,即T+(〃+l)2=0,则〃=1或〃=—3.

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).

(19)(共13分)

।3

解：(I)由/(》)=-X3-/+%得/，(幻=一工2-2》+1.

44

32

令/'(x)=l,即q/-2x+l=l,得x=0或x=Q.

又/(0)=0,/(|)=松，

QQ

所以曲线丁=/(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-摄=》一三,

64

即>=》与y=x-----.

-27

(II)令g(x)=/(x)-x,xe[-2,4].

1,3

由g(X)=-A：?一二得且口)=一1一2》.

44

O

令g'(x)=0得x=0或x=§.

g'(x),g(x)的情况如下:

(0，1)8,8八

X-2(-2,0)0(q，4)4

3

g'(x)+—+

_64

—600

g(x)~27

所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.

故-6<g(x)<0,即x-64/(x)〈x.

(Ill)由(II)知,

当a<-3时，M(a)>F(0)Mg(0)-«|=-«>3；

当a>-3时，"(a)>F(-2)=|g(-2)—a|=6+a>3；

当。=-3时，M(a)=3.

综上，当A/(a)最小时，a--3.

(20)(共13分)

解：(1)1,3,5,6.(答案不唯一)

(II)设长度为g末项为a,,°的一个递增子列为4,4,

由P<q，得％<9

因为｛可｝的长度为p的递增子列末项的最小值为a,%,

又多,,4是｛a„｝的长度为p的递增子列，

所以4<a.

nn\)rp

所以《用<%

(HI)由题设知，所有正奇数都是｛%｝中的项.

先证明：若2根是｛%｝中的项，贝1]2加必排在2〃L1之前(机为正整数).

假设2%排在2/n-l之后.

设髭,af,t,2m-1是数列｛q｝的长度为〃？末项为2m-l的递增子列，则

册，a八，2/71-1,2m是数列｛4｝的长度为nt+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.

再证明：所有正偶数都是｛《,｝中的项.

假设存在正偶数不是｛q｝中的项，设不在｛为｝中的最小的正偶数为2九

因为2Z排在261之前(k=l,2,…，山-1),所以2%和2Z-1不可能在｛叫的同一个递增子列中.

又｛4｝中不超过2，"+1的数为1,2,2m-2,2m-\,2m+\,所以｛a.｝的长度为，”+1且末项为2〃?+1

的递增子列个数至多为2x2x2xx2xlxl=2"i<2".

("I)个

与已知矛盾.

最后证明：2加排在2,丁3之后（论2为整数）.

假设存在2,"（论2）,使得2机排在2*3之前，则｛4｝的长度为根+1且末项为2，”+1的递增子列的个数小

于2”.与已知矛盾.

综上，数列｛〃”｝只可能为2,1,4,3,…，2w-3,2m,2m-\,

经验证，数列2,1,4,3,…，2/M-3,2m,2，〃T,…符合条件.

一。+1,〃为奇数，

所以〃为偶数.

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理工类）

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.若集合4=卜料＜2},B={x|-2,0,l,2},则AIB=

(A){0,1}(B){-1,0,1}(C){-2,0,1}(D){-1,0,1,2}

2.在复平面内，复数二-的共枢复数对应的点位于

l-i

（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限（D）第四象限

3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（).

\_

A.

2

5

B.

6

7

C.

6

7

D.

12

（开始］

1

^=^+(-1)*•---

k=g

结束

4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载墙最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出

了重要的贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一

个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于蚯.若第一个单音的频率为了,则第八个单音的频率为

).

A.好1于

B.疹/

C.疗/

D.近f

5.某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为().

A.I

B.2

C.3

俯视图

6.设a力均为单位向量，贝IJ“卜-34=卜4+匕|”是“aLb”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

7.在平面直角坐标系中，记4为点p(cos(9,sin。)到直线Xy_2=0的距离♦当仇加变化时，〃的最大

值为

(A)1(B)2(C)3(D)4

8.设集合A={(x,y)|x-yNl,av+y>4,x-ay42},则

(A)对任意实数a,(2,l)eA(B)对任意实数a,(2,1)e4

(C)当且仅当°<0时:(2,1)gA(。)当且仅当时，(2，1)£A

二.填空

(9)设｛4｝是等差数列，且q=3,4+4=36,则｛%｝的通项公式为。

(10)在极坐标系中，直线夕cos8+Qsin8=a(a>0)与圆0=2cos8相切，则。=

(11)设函数/(x)=cos"—?J(«>())»若〃对任意的实数%都成立，则口的最小值

为。

(12)若x,y满足x+l4y42x，则2y-x的最小值是。

(13)能说明“若"X)>/(())对任意的xe((),2］都成立，则“X)在［0,2］上是增函数”为假命题的一个函

数是»

2222

(14)已知椭圆M:、+5=l(a>%>0),双曲线N:二—马=1。若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的

abmn

四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆"的离心率为；双曲线N的离心

率为o

三.解答题

(15)(本小题13分)

在ABC中，a=7,b=8,cosB=」。

7

(I)求ZA；

(II)求AC边上的高。

(16)(本小题14分)

如图，在三棱柱48C-A4G中，CCJ平面ABC,D,E,F,G分别为AA，AC，AG,BB1的中点,

AB=BC=45,AC=AAi=2.

(I)求证：AC平面应广；

(II)求二面角B-CO-G的余弦值；

（in）证明：直线FG与平面BC。相交.

（16）（本小题12分）

电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值

假设所有电影是否获得好评相互独立

（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“&=1”表示第&类电影得到

人们喜欢，“女=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（左=1,2,3,4,5,6）.写出方差

D^,D^2,D^,D^,D^,D^的大小关系

（18）（本小题13分）

设函数/（》）=皿2_（4fl+]）x+w+3]e”,

（1）若曲线y=/（x）在点处的切线方程与x轴平行，求a；

（2）若/（X）在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

（19）（本小题14分）

已知抛物线C：V=2px经过点尸（1,2）.过点0（0,1）的直线/与抛物线C有两个

不同的交点A,B,且直线玄交y轴于A7,直线尸8交y轴于N.

（1）求直线/的斜率的取值范围；

（2）设。为原点，QM=2QO,QN=pQO,求证：工+_1为定值.

20.（本小题14分）

设〃为正整数，集合A={a|a=（4，，2，..“J，4e{0,1},/:=1,2,...,nJ.对于集合A中的任意元素a=（玉,&,...,乙）

和/=（%%，••・，”），记

M30=（[&+%）-、-W+（々+为）T%-%|+…+（%+券）-上-y„|]

⑴当〃=30寸，若夕=（1,1,0）,2=（0,1,1）,求M（a,c）和M（c,夕）的值；

（II）当”=4时;设8是A的子集，且满足：对于8中的任意元素a,£,当a,£相同时，M（a,⑶是奇数;

当a,0不同时，M（a,⑶是偶数.求集合B中元素个数的最大值；

（III）给定不小于2的〃，设8是A的子集，且满足：对于8中的任意两个不同的元素a,"M（a,0=0.

写出一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.

答案：

选择题

1.【答案】A

2.【答案】D

；

则2=上1-上，故1」一的共辄复数在第四象限,

221-i

故选D

3.【答案】B

【解析】根据程序框图可知，开始％=1,s=l,

执行s=l+（_『.,=Lk=2,此时a3不成立，循环,

V71+12

2

,y=l+（-l）.-L=-,k=3,此时％23成立，结束，

输出s=,.

6

故选B.

4.【答案】D

【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以/为首项，蚯为公比的等比数列,

故第八个单音的频率为/.（蚯厂U疗f.

故选D.

5.【答案】C

【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，

在正方体中，均为直角三角形，

PB=3,BC=&PC=2后,故^PBC不是直角三角形.

故选C.

6.【答案】C

【解析】充分性：|〃-3川=|3々+。|,

|非-642+9网2=91"用?2+网?，

又|a|=|/?|=1,可得a•)=0,故a_L力.

必要性：aLb,故〃•/?=(),

所以|a|2-6Q/+9|62=9|a|2讨〃2+|加2,

所以|。一36=|3〃+加.

7.【答案】C

【解析】：p(cosgsine)，所以p点的轨迹是圆。

直线x——2=()恒过(。，2)点。

转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为3.

8.【答案】：D

2-1>0

3

【解析】：若(2,1"A,贝IJ2〃+1〉4a>—o

2

2-a<2

33

则当。>一时，(2,l)cA；当OK—时,(2,1)任4选D

2'/2

二.填空题

9.答案：4=6n-3(ncNA

4=3

4=3a,=3

解析：由题知，设等差数列公差为"，所以：《%=%+"，即”解得，，所

4+d+“1+4d=36d=6

%=4+4d

以=6〃-3(〃wNj。

10.答案：1+

解析：夕cos8+psin0=a

直线方程转化为x+y=。即x+y-〃=()

夕=2cos8

"=2pcos6

圆的方程转化为Y+y2=2xB[J(x-l)2+y2=l、

-a\

直线与圆相切.二4—=1

解得a二1±\[2a>0/.a=1+V2

i2

II.答案：一

3

解析：由题知：/(x)“、=/O=l,即cos—7)=1,所以卜一专=2版■(我

22

解得：0=8k+§(ZeZ),0>0,所以k=0时，«ymin=-.

12.答案：3

解析：将不等式转换成线性规划，即

x+1<y

<y<2x

x>l

目标函数z=2y-x

如右图z在4(1,2)处取最小值

=3

13.答案：/(x)=—f+3x,(答案不唯一)

解析：函数需要满足在［0,2］上的最小值为/(0),并且在［0,2］上不单调。选取开口向下，对称轴在(0,2)

上的二次函数均可，其余正确答案也正确。

14.【答案】：百-1,2

【解析】：设正六边形边长为仙根据椭圆的定义2a=(石+力，2c=2t,e1M=(=G-1

双曲线的渐近线方程为y=±Gx,'=百，所以e双曲线=*。

三.解答题

15.【解析】

(I)ABC中，cosB=--,所以ZB为钝角，sinB=>/l-cos2B=—；

77

由正弦定理：—,所以$山4=里普=坐，

sinAsinBb2

所以A=2+2Z肛ZGZ;或者A=殳+2攵/MEZ；

33

又ABB,NS为钝角，所以NA为锐角，所以A=&。

3

(II)A3C中,sinC=sin(A+B)=sin(B+—)=—sinB+—cosB=,

32214

三角形ABC的面积5ABe=LibsinC=6G,设AC边上的高为h,Swc=—Z?/z=—-8'/?=66，所以h=^^~,

/lot-2/ioi-22，2

即AC边上的高为地。

2

16.【解析】

(I)证明：：A8=8C,且E是AC的中点，

AC1BE,

•••在三棱柱ABC一A与£中，E,F分别是AC,AG的中点，

...EF//CC,

平面ABC,

/.EFJ*平面ABC,

；ACu平面ABC,

EFLAC,

,：EF,BEu平面BEF,

EFBE

(II)由(I)知，EF1AC,ACLBE,EF±EB,

...以E为原点，E4,m,E尸分别为x轴，y轴，z轴

建立如图所示空间直角坐标系，

H

则有,B(0,2,0),C(-l,0,0),£>(1,0,1),C,(-1,0,2)

BC=(-l,-2,0),CD=(2,0,1)

设平面BCD的法向量〃=(x,y,z),

.BCn=0'x-2y=0

••<，即1,

CDn=0|2x+z=°

易知平面C£>G法向量初=(o，i，o)

.mn-1>/21

••cos<nt,n>=।~~j-i—r=-7=_F=-----，

时加与M21

由图可知，二面角B-8-G的平面角为钝角，

玩

.,.二面角B—CD—C,的余弦值—了­.

(III)方法一：

；产(0,0,2),G(0,2,1),，尸G=(O,2,—1)

;平面BCD的法向量〃=(2,-l,T),

设直线FG与平面BCD的夹角为。，

..n\”|FGn||-2+4|2

・・sinJ=cos<rG,/7>1=(----(―rn-=-f=~~7==-j=-y=丰。，

I|FG|-|/?||V5-V21V5-V21

，。w0

直线FG与平面BCD相交.

方法二：

假设直线FG与平面BCO平行，

设CO与£尸的交点为M，连结BM，

:尸Gu平面BB、FE，且平面BB.FE平面BCD=BM,

/.FG//BM,

BG//FM,

/.四边形BMFG为平行四边形，

BW=8G,易知尸M#8G,

假设不成立，

，直线FG与平面BCD相交.

17.【解析】(1)由表格可知电影的总部数140+50+3(X)+200+800+510=2000

获得好评的第四类电影200x0.25=50

设从收集的电影中选1部，是获得好评的第四类电影为事件A，则P(A)=^-=—

200040

(2)由表格可得获得好评的第五类电影800x0.2=160

第五类电影总数为800未获得好评的第五类电影800-160=640

第四类电影总数为20()未获得好评的第四类定影200-50=150

设从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评为事件8

则尸(B)=叫+c；*c：蒯=XL

eg100

(3)屿>屿>%=%>”3>.6

18.【解析】(1)函数定义域为xeR,

f\x)-(4a+l)]e'+[ar2-(4a+l)x+4a+3]e*

-ev[ax2-(2a+l)x+2j

=e'(ar-l)(x-2),

若函数在(1,/(l))处切线与x轴平行，则

/'⑴=-e(a-1)=0,即a=l.

(2)由(1)可知r(x)=[ar2—(2a+l)x+2]e*=(x—2)(ar—l)e",

①当a=0时，令/(x)=0,x=2,

X2

(■M（2,+8）

+0—

z极大值]

不满足题意；

当awO时，令尸（x）=O,x=2或x=L

a

②当a<0时，即，<2,

X2

（2，内）

a

—0+—

;⑴

]极小值z极大值]

不满足题意；

③当a>0时，

1）当）=2，即a=9寸，/（x）20，函数f（x）无极值点;

2）当,<2,即时，

a2

X2

J_(2,+oo)

a

ra)+0—+

z极大值]极小值Z

满足题意；

3）当工>2,即0<a<1时,

a2

X2

(f2)

H)a

+0—+

r（x）

z极大值]极小值z

/(x)

不满足题意.

综上所述，若/（X）在x=2处取得极小值，«>1.

19.【解析】（1）由已知可得4=2p,所以抛物线C的方程为y2=4x.

令4(Xi，X),B(x2,y2),

直线/显然不能与x轴垂直，令其方程为y="+l,

2

带入V=4x整理得y=h5+l,

即ky2-4y+4=0.

所以由已知可得［“二°,解得％<1且&*0.

IA=16—16^>0

所以直线/的斜率A的取值范围为(-00,0)(0,1).

44

(2)由(1)知％+必=7，

KK

而点A(X］，x),8(*2,%)均在抛物线上，所以x2=•

因为直线PA与直线依与y轴相交，

则直线Q4与直线P8的斜率均存在，即yx-2,

y-2_y2_4(》-2)_4

因为

百T2L__IV-4%+2

4

4

所以直线的方程为y-2=」一(x-1)，

y+2

令x=0,可得y,“=2--=鼻，即M(0,鼻)