专业学习物理下13章第一次课

第十三章静电场中的导体和电介质

本章主要内容:3、静电场的能量。1、有导体和电介质存在时电场的分布及规律。2、电容器及其电容。本章研究的是静电场和实物物质的相互作用。§13.1静电场中的导体一、导体的静电平衡条件

1、静电感应现象在外电场作用下，导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象。产生的电荷称为感应电荷。2、静电平衡导体中(内部、表面)没有电荷作宏观定向运动，从而形成的电荷分布稳定的状态。3、静电平衡的条件:1)若在导体内任取两点:

处于静电平衡状态下的导体是等势体。导体表面是等势面。

4、推论:2)若在导体表面任取两点:a)导体内部的场强处处为零。b）导体表面上紧贴导体外侧处，任意一点的场强垂直于该点的表面。二、静电平衡时实心导体的电荷分布

处于静电平衡状态下的导体，电荷只能分布在导体表面上，导体内部无净电荷。因故所以∑q=0在静电平衡状态下，导体表面外附近空间的场强与该处导体表面的面电荷密度成正比。导体内任取一闭合曲面：作高斯面如图：可得:三、导体表面外附近一点的电场强度除dS上的电荷之外，其它电荷在P点产生的场强为

，即点P的总场强是导体表面所有电荷对该点场强的总贡献：由静电平衡条件，导体内部的场强为零即

在导体表面取面元，电荷面密度为σ，在导体内侧附近取点P'，小面元上的电荷在该点产生的场强可用无限大带电平面的场强公式计算，即

孤立导体的电荷分布只决定于表面形状，且曲率（曲率和曲率半径成反比）大的地方密度大，曲率小的地方密度小。在导体表面凹进去的地方，面电荷密度更小。四、孤立导体表面上的电荷分布在表面凹进部分（ρ为负值）σ最小，E也最小。在表面凸出的尖锐部分(ρ为正值且较大)σ较大，E也较大.在比较平坦部分(ρ较小)σ较小，E也较小.尖端放电（电晕）:

带电导体尖端附近的场强特别大，它可以使尖端附近的空气发生电离而产生大量的离子，带电粒子的运动就像是尖端上的电荷不断地向空气中释放一样。应用：高压电器设备的金属元件都做成球型。避雷针。

带电孤立导体球表面电荷的分布是均匀的。除边缘外，孤立带电的长直导体、圆柱体或大的导体平板的面电荷密度也是均匀的。例题1两无限大带电平板导体。证明:1)相对的两面上，面电荷密度大小相等而符号相反；

2)相背的两面上，面电荷密度大小相等,而符号相同。两式相加，得：两式相减，得证明：设1、2、3、4面的面电荷密度为每个带电面产生的场强大小为在导体内部选P1、P2两点，则由电荷守恒定律，得：可解出:即:讨论:1)若qA=

qB

,则有:2)若qA

=-qB

,则有:综合运用:1)静电平衡条件

2)场强叠加原理

3)电荷守恒定律关键:

例题2

有一半径为R的接地金属球，球外不远处放置一点电荷，点电荷电量为q，与球心相距l，试求金属球面上感应电荷总量q′。

由电势叠加原理知，球心处的电势等于点电荷＋q

及感应电荷q′在点O产生电势的代数和，q

在球心处产生的电势为：感应电荷在球心处的电势为：

则点O

处的电势为：

解因金属球与接地，即U=0，则球心处的电势也等于零。1、导体壳内无带电体的空腔（第一类导体空腔）性质：2）空腔内无电场，腔体是等势体，空腔表面是等势面。1）在静电平衡状态下，导体壳内表面无净电荷，净电荷只分布在外表面；空腔内电场为零是腔外电荷与腔外表面电荷共同作用的。五、导体空腔思考：若内表面有一部分是正电荷，一部分是负电荷分布，保证电荷代数和为零，是否成立？说明2、导体壳内有带电体的空腔（第二类导体空腔）性质：在静电平衡时，导体壳内表面上所带电荷与腔内电荷的代数和为零。1）只改变腔内带电体的位置时，只有导体内表面的电荷分布发生改变，对腔外的电荷无影响。证明：在导体壳内外表面之间任取一高斯面2）当改变腔内带电体的的电量时，导体外部电场也要随之而变化。接地的作用有两个：与大地保持等电势；与大地通过接地线交换电荷。若导体空腔接地，可消除腔外的电场。说明1、导体空腔可以保护腔内空间不受腔外带电体的影响。六、静电屏蔽1)防止干扰（精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室）

2)高压带电作业人员的屏蔽服（均压服）。

3)将高压设备放在接地的金属壳内。2、接地的导体空腔可保护腔外空间不受腔内带电体的影响。

利用导体空腔将腔内、外电场隔离，使之互不影响，这种作用称为静电屏蔽。应用关于静电平衡的几个问题：1、关于静电平衡的结论适用于一切金属导体，但是，不同导体的微观结构不同，电导率等性质不同，为什么静电平衡条件相同？2、若从导体内部某点输入一定量的电荷，到静电平衡时“电荷只分布在导体表面，导体内部无净余的电荷”的状态，经历多长时间？导体内部电荷体密度随时间变化的关系如何？3、导体表面上“曲率大处电荷面密度大”。若导体的大小形状一定，曲率分布一定，当带电荷一定时，电荷面密度与曲率的定量关系如何？此问题至今无结果。静电平衡过程的驰豫时间：可参考：贾瑞皋薛庆忠，《电磁学》，，高等教育出版社，2003.1

例题4

内外半径分别为R1和R2的导体球壳内有一个半径为R的同心导体球。若让导体球和球壳分别带电荷q

和Q，试求：1）电场强度的分布；2）电势的分布；3）两导体的电势差；4）如果外球壳接地，求两导体的电势差。

解由于静电感应，球壳内表面应带电荷－q；根据电荷守恒定律，球壳的外表面带电荷为q+Q。由于具有对称性，该带电体等效于三个均匀带电球面。1）根据静电平衡条件，高斯定理和场强叠加原理，得2）根据静电平衡条件、电势的定义和电势的叠加原理，得3）两导体的电势差4）如果外球壳接地，则球壳外表面上的电荷为零，电势为零。内球电势等于内球表面的电势两球的电势差为电势是相对的，而电势差是绝对的。思考两导体间的电势如何表达？例题1一接地的无限大厚导体板的一侧有一半无限长均匀带电直线垂直于导体板放置，带电直线的一端与板相距为d,已知带电直线上线电荷密度为λ。求板面上垂足点O处的感应电荷面密度。关键:导体内部场强处处为零。解:建立坐标系，取微元如图。设O处电荷面密度为σ，O′点的场强例题2半径为R1

的金属球接地，球外有一内外半径分别为R2

和R3

的同心导体球壳，壳上带电Q

，当外球壳离地很远时，球壳内、外表面上各带电多少？

解：设金属球带电为–q，则球壳内表面带电为q，外表面带电为Q–q。解得:接地导体并非总是不带电。

取大地电势为零，金属球与大地相接，故其电势为零。三个带电球面上电荷在球心处产生电势叠加为零。注意例题3半径为R的孤立金属球接地，与球心相距d

处有一点电荷+q且d>R。求球上的感应电荷q′。由电势叠加原理知，球心处的电势等于点电荷＋q

及感应电荷q′在点O产生电势的代数和，q

在球心处产生的电势为：感应电荷在球心处的电势为：

则点O处的电势为：解：因金属球在静电平衡状态下是个等势体，且又与地相连接，即U=0

，所以球心处的电势也等于零。接地导体电势处处为零。关键解：在导体表面取面元dS,电荷面密度为σ，在导体内侧附近取一点P,小面元dS上的电荷在该点产生的场强E1可用无限大带电平面的场强公式计算，即

除dS上的电荷之外,其它电荷在P点产生的场强为E2，则点P的总场强是导体表面所有电荷对该点场强的总贡献，即例题4试求在静电平衡时，带电导体表面处单位面积上受到的电场力为。由静电平衡条件，导体内部的场强为零即因点P距dS

较近，所以除dS以外，其余表面上的电荷在点P产生的场强和在面元dS处产生的场强是相等的，均为则面元dS所受的电场力为单位面积上受到的电场力为3、静电屏蔽小结1、导体的静电平衡条件

导体空腔（不论是否接地）内部电场不受外部电场影响；接地导体空腔外部电场不受空腔内部电荷的影响。2、推论①导体为等势体，导体表面为等势面。②静电平衡导体上电荷的分布内部:表面:4、处理问题依据1)静电平衡条件。2)电荷守恒定律。3)叠加原理。作业：13-3、5、6预习：§13-21、导体的静电平衡条件:导体为等势体，导体表面为等势面。2、静电平衡导体上电荷的分布:2)表面:3、处理问题依据：1)静电平衡条件。2)电荷守恒定律。3)叠加原理。4、静电屏蔽(两类空腔)1)内部:小结思考及讨论题:1、若一带电导体上某点附近电荷面密度为σ,这时该点外侧附近场强为E=σ/ε0，如果将另一带电体移近，该点场强是否改变，公式E=σ/ε0是否仍成立?2、将一个带正电的导体A移近一个不带电的绝缘导体B时，导体B的电位升高还是降低?E变化，但公式仍成立。电势升高。思考：将一个带负电的导体移近一个不带电的绝缘导体时？3、将一个带正电的导体A移近一个接地导体B时，导体B是否维持零电势？其上是否带电?维持零电势。4、半径分别为R和r

的两金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使他们带电。在忽略导线的影响下，两球表面电荷面密度之比为：√带负电。5、在一个孤立的导体球壳内，若偏离球心处放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电荷，其分布将是：A)内表面均匀,外表面也均匀。B)内表面不均匀,外表面均匀。C)内表面均匀,外表面不均匀。D)内表面不均匀,外表面也不均匀。√第十四章稳恒电流本章主要从电场和电路两个角度介绍了稳恒电流的基本概念，基本定律和基本原理。导体中电荷作定向运动形成电流，方向和大小都不随时间变化的电流叫做稳恒电流。电流发光一、电流和电流密度矢量:一）电流在金属导体中，正离子形成晶格，若大量自由电子在无规则热运动基础上相对晶格作规则的定向移动，便形成电流，自由电子被称为载流子。在电解液中，正、负离子的定向运动形成电流，其载流子是正、负带电离子。像上述两种情况下大量微观带电粒子定向移动所形成的电流叫传导电流。。稳恒电流此外，由宏观带电体或带电粒子作宏观定向移动所形成的电流叫运流电流，由变化的电场“产生”的电流叫位移电流。关于位移电流将在第十五章中介绍，本章主要研究传导电流例如在金属导体内就有可以自由移动的电荷—自由电子，所以在金属导体的两端加上电压时就可在其内形成电流,因而金属是导电的,称为导体。

1、形成传导电流的条件是：①物体中有可自由移动的电荷，即载流子（内因）；②物体两端有电势差或物体内有电场（外因）。

2、微观机制:导体内电流的形成过程为：当在导体两端加上电压时，与之相伴随而在导体内会产生一电场，其方向沿着电势降落的方向，在电场的作用下，自由电子将逆着电场的方向作规则的定向移动，从而形成电流。2）规定正电荷流动的方向为电流正方向，

从高电势处流向低电势处。。一、电流强度：描述电流强弱的物理量定义：单位时间内通过导体任一截面的电量，简称为电流。3）在SI制单位：库仑/秒=安培（1A=1C/s）1）I是标量，不是矢量。说明电流强度是标量，通常所说的电流方向是指电荷在导体内移动的方向，并非电流是矢量。注意§14.1

电流强度电流密度安培基准当I=dq/dt=常数时，即电流强度的大小和方向都不随时间发生变化时，这种电流称为稳恒电流，也叫直流电流；当I随时间发生周期性变化时，称为交变电流；当I随时间作正弦规律的变化时，称为正弦交流电。二、电流密度矢量：

为了描述导体内各点电流的分布情况，而引入的新物理量。几种典型的电流分布粗细均匀的金属导体粗细不均匀的金属导线半球形接地电极附近的电流电阻法勘探矿藏时的电流同轴电缆中的漏电流方向：导体中某一点处正电荷的运动方向。大小：单位时间内，通过该点附近垂直于正电荷运动方向的单位面积的电量。1、

定义:表明：电流密度的大小等于垂直于正电荷运动方向的单位面积上的电流。在SI制单位：安培/米2为空间中电荷体密度，为正电荷流动速度。2、

I与的关系：设某点处电流密度为，若截面ds的法向方向与电流密度的方向成θ角，则：通过某一曲面S的电流强度：通过某一曲面的电流强度是通过该面积的电流密度的通量。三、电流的连续性方程：1、电流线：形象反映导体中电流的分布。2、电流的连续性方程：两条约定：在导体中任取一个闭合曲面S

，并取其外法线方向为法线的正方向。通过某一闭合曲面的电流密度矢量的通量等于该曲面内单位时间内电荷的减少

。

电流的连续性方程

电流的连续性方程是电荷守恒定律的一种数学表达式。

根据电荷守恒定律，某一时间穿出该曲面的电量等于该曲面内电量的减少。电流场的高斯定理表示：电流线始于正电荷减少的地方，终止于电荷增加的地方。单位时间内由闭合曲面S流出的电荷，即通过闭合曲面向外的总电流为：四、恒定电流条件

恒定电流的条件：空间各点的电荷分布不随时间改变。恒定电流条件：SI即：由电流的连续性方程，知§14.2欧姆定律的微分形式焦耳定律的微分形式欧姆(1789-1854)

乔治·西蒙·欧姆生于德国埃尔兰根城，父亲是锁匠。父亲自学了数学和物理方面的知识，并教给少年时期的欧姆，唤起了欧姆对科学的兴趣。16岁时他进入埃尔兰根大学研究数学、物理与哲学，由于经济困难，中途缀学，到1813年才完成博士学业。欧姆是一个很有天才和科学抱负的人，他长期担任中学教师，由于缺少资料和仪器，给他的研究工作带来不少困难，但他在孤独与困难的环境中始终坚持不懈地进行科学研究，自己动手制作仪器。人们为纪念他，将测量电阻的物理量单位以欧姆的姓氏命名。

1、电阻定律对于粗细均匀的导体，当导体的材料和温度一定时，其电阻为：ρ—电阻率S是导体在垂直电流方向的面积，l是沿电流方向导体的长度电阻基准一、欧姆定律的微分形式电导的单位叫西门子（S）,式中电阻的倒数叫电导，用符号G表示，即叫电导率，它是电阻率的倒数。当导体的横截面积不均匀或电阻率不均匀时，导体的电阻当温度发生变化时，导体的电阻率也要改变。实验表明，在通常情况下大多数金属导体的电阻率式中ρ0

是0℃时导体的电阻率，α称为电阻温度系数，其单位为1／℃，不同材料其值不同。由此可见，温度越高，电阻率越大。

一般把电阻率小于10-6Ω·m的材料叫导体，电阻率大于106Ω·m的材料叫绝缘体，电阻率在10-6～106Ω·m之间的材料叫半导体，锗和硅是最常见的半导体。2.半导体和超导体半导体材料有以下特点：①当温度发生变化时，其导电性能会急剧变化，温度升高，其电阻会急剧减小，(这与上述的金属导体完全相反)并且变化不是线性的。②适当掺杂，其导电性能会急剧增加。③光照时其导电性能也会发生变化。基于以上三点，半导体材料获得了广泛的应用，由此制作的二极管、三极管、场效应管以及集成电路等已成为电子线路最重要的元件。

1911年，荷兰物理学家昂纳斯在研究低温下的金属电阻时，发现汞在4.15k（0K=-2730C）时，电阻突然消失，这种现象叫做超导现象。电阻消失时的温度称为临界温度（转变温度），昂纳斯由于首先发现了物质的超导电性，获1913年的诺贝尔奖。从那时起，科研工作者便开始研究超导机理并找寻更高转变温度的超导材料，主要是常温超导材料。

到目前为止，通过对各种金属的实验测定，人们已发现在正常压力下，有28种元素具有超导电性，其中铌(Nb)的转变温度最高，Tc＝9.26K，钨(W)的转变温度最低，Tc＝0.012K。另外有10多种金属，在加压和制成高度无序薄膜以后，也会变为超导体。目前约有5000种合金和化合物具有超导现象，最高转变温度已达90K。

费利(File)等人用核磁共振方法测量超导电流产生的磁场来研究螺线管内超导电流的衰减，他们得到的结论是超导电流的衰减时间不短于10万年，这样的电流真可称为永久电流，可见超导体处于超导态时是一种完全导电的理想导体。1933年迈斯纳用实验还证明了，在超导状态下，超导体内部磁场消失，它是一个理想的抗磁体。超导研究是目前物理学上一个活跃的领域，其主要工作有以下几个方面：①完善关于超导电性的理论解释；②提高转变温度Tc，这直接关系到超导体的应用问题；③关于超导的应用研究。在目前世界上竞相开展的超导研究热潮中，我国中科院物理所的研究工作一直走在世界的前列。3、欧姆定律的微分形式：在导体内取一长为⊿l，截面积为⊿S的小直圆柱体，圆柱体的轴线与该点电流密度平行。小圆柱体两端面间的电压为圆柱体横截面上的电流由欧姆定律，得小圆柱体电阻—电导率矢量式欧姆定律的微分形式导体中任一点的电流密度等于该点的场强成正比，且同方向，比例系数为该点导体的电导率。它给出导体的导电性和场强分布决定电流分布的关系。

欧姆定律的微分形式虽是在稳恒电流情况下推出的，但对电流变化不很快的非稳恒情况也适用，因此它比欧姆定律的积分式I=U/R

更为普遍。例题1：一块扇形碳制电极厚为

t，电流从半径为r1的端面S1流向半径为r2的端面S2，扇形张角为，求：S1和S2面之间的电阻？dr

平行于电流方向，dS垂直于电流方向。r1r2tS1S2例题2：求同轴电缆的漏电阻？ardr例3：把大地看作电阻率是ρ的均匀电介质，如图所示，用一半径为a的球形电极，半个球埋在地下，如电极本身的电阻不计，试求电极的接地电阻。解：电流如何流？取微元：半个球壳，如图所示。4、焦耳定律的微分形式焦耳(1818-1889)十八世纪，人们对热的本质的研究走上了一条弯路，“热质说”在物理学史上统治了一百多年。虽然曾有一些科学家对这种错误理论产生过怀疑,但人们一直没有办法解决热和功的关系的问题,是英国自学成才的物理学家詹姆斯·普雷斯科特·焦耳为最终解决这一问题指出了道路。亲参加酿酒劳动，没有受过正规的教育。青年时期，在别人的介绍下，焦耳认识了著名的化学家道尔顿。道尔顿给予了焦耳热情的教导。焦耳向他虚心学习了数学、哲学和化学，这些知识为焦耳后来的研究奠定了理论基础。而且道尔顿教诲了焦耳理论与实践相结合的科研方法，激发了焦耳对化学和物理的兴趣。焦耳1818年12月24日生于英国曼彻斯特，他的父亲是一个酿酒厂主。焦耳自幼跟随父1)、焦耳定律2)、焦耳定律的微分形式电阻为R的一段导体中的电流为I时，其热功率为为了描述导体中各处发热的情况，引入热功率密度。在导体中任一点取一体积元⊿V

,若⊿V内的热功率为⊿P某点处单位体积内的热功率称为该点的热功率密度。等于这段导体中所有体积元⊿V内的热功率⊿P之和。热功率密度导体中的热功率根据欧姆定律的微分形式，得导体的热功率密度为导体中任意一点的热功率密度和该点电场强度的平方成正比，比例系数是该点导体的电导率。—焦耳定律的微分形式导体中一定体积内的发热功率因为例题4：长为l，内外极半径分别为rA和rB中间填满电阻率为ρ介质的圆柱形电容器，极间加以电压U，试求介质的漏电阻、电流密度和极间电场强度。解：设圆柱形电容器内外极板间漏电流为I，由于漏电流是沿径向从内向外对称分布的，因而在距圆柱轴线r处，总电流I所通过的截面积S＝2πrl，所以由欧姆定律可得该处电流密度则而

所以

漏电阻漏电流密度介质中场强解法一练习1：一内、外半径分别为和的金属圆筒，长度,其电阻率，若筒内外电势差为，且筒内缘电势高，圆柱体中径向的电流强度为多少

？解法二+QAB-Q解由高斯定律得S练习2：两个导体A、B带电-Q、+Q

被相对电容率电阻率的物质包围，证明两导体之间电流与导体尺寸及它们间的距离无关.练习3：碳膜电位器中的碳膜，它是蒸敷在绝缘基片厚为

t、内半径为

r1，外半径为r2

的一层碳构成。A、B为引出端，环形碳膜总张角为电流沿圆周曲线流动。求：A、B之间的电阻？ABr1

r2

A、B间电阻可视为由若干不同长度而截面相同的电阻并联而成。电导为：小结1、电流及电流密度2、电阻定律4、欧姆定律的微分形式3、恒定电流条件5、焦耳定律的微分形式

第十四章稳恒电流一、电动势§14.3电动势稳恒电场1、维持恒定电流的条件：非静电力1）静电力不能维持恒定电流

提供非静电力的装置是电源。电源是把其他能量转换为电能的装置。2）维持恒定电流的条件：非静电力在外电路：正电荷：高电势低电势静电力电流：AB在电源内：正电荷：低电势高电势非静电力电流：BA形成闭合的电流电解电池、蓄电池——化学能→电能光电池——光能→电能发电机——机械能→电能2、电源的电动势：把单位正电荷从负极板经内电路搬至正极板，电源非静电力做的功。

规定:的方向由负极板经内电路指向正极板，

即正电荷运动的方向。+–单位：焦耳/库仑=（伏特）

越大表示电源将其它形式能量转换为电能的本领越大。其大小与电源结构有关，与外电路无关。为了定量的描述电源转化能量本领的大小，引入一个新的物理量：电动势。定义：+–物理意义：单位正电荷围绕闭合回路一周，非静电力所作的功。定义:1）电动势是一个标量，它反映电源中非静电力作功的本领。2）注意电动势与电势差是两个不同的概念。说明二、简单电路的计算1.闭合电路的欧姆定律εrEACRDIB电源内部欧姆定律微分形式：或者为取图中沿电流方向的积分，即：因为电流方向和电源电动势方向相同，则：式中：为回路中的总电阻。忽略导线电阻，则有：是回路中各电阻元件上的电势降的代数和。则由：得：或闭合电路的欧姆定律若回路中含有多个电源和电阻元件，则有：闭合电路的欧姆定律为：2.一段含源电路的欧姆定律沿由A到B的电路积分可得到式中是这段电路中各个电阻上的电势降是A、B两点之间的电压由以上公式可得写成一般形式为：上式称为一段含源电路的欧姆定律。它表明：一段含源电路的端电压等于各个电阻上的电压降与各电源上的电势降的代数和。符号约定：先任意选取沿电路线积分的方向，写出初末两端点的电势差⑴若通过电阻中电流的流向与积分路径的方向相同，该电阻上电势降取“+”号，相反则取“-”号.⑵若电动势的指向与积分路径的方向相同，该电动势前取“-”号，相反则取“+”号.无论电阻还是电动势电压降取正反之取负.例题1试求电源向负载输出功率最大的条件.电源向负载输出的功率为根据求极值的方法由此得到向负载输出功率最大的条件是：R=r上式称为匹配条件.应当注意，对于一般化学电源，内阻都很小当满足匹配条件时，总电阻很小，会使电流超过额定值，故一般条件不能在匹配条件下使用化学电源.但在电子技术中的某些电源，其内阻很大，考虑匹配是很重要的.解：设一闭合回路，电源电动势为，内电阻为r，负载电阻为R，则Rr例题2:电路如图所示，R1=R2=R3=R4=2Ω，R5=3Ω，ε1=12V，ε2=9V，ε3=8V，r1=r2=r3=1Ω，试求：①a，d两点间的电势差;②b，c两点间的电势差。解：由于b,c之间开路，流经R5支路的电流为零，此时电流只沿外闭合电路流动，形成一个单回路电路。设电流强度为I，方向沿逆时针方向，则由闭合电路欧姆定律的普遍形式，电流强度I为

=0.4A所以

这里应该注意：b，c开路，ε2上虽无电流，但ε2对b，c之间的电压是有贡献的，在计算电压时，千万不可遗忘。IRB3421IIA例题3

在图所示的电路中，已知电池A电动势A=24V，内电阻RiA=2Ω，电池B电动势B=12V

，内电阻RiB=1Ω

，外电阻R=3Ω

。试计算

（1）电路中的电流；（2）电池A的端电压U12；（3）电池B的端电压U34

；（4）电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率.（2）设所选定的积分路径自1经过电池A

而到2，应用一段含源电路的欧姆定律得电流的指向如图中箭头所示的方向。解:（1）应用欧姆定律得IRB3421IIA计算结果表示1处的电势U1高于2处的电势U2

。现在再从1342这一积分路径来计算1、2之间的电势差。得所得结果与前相同。（3）设所选定的积分顺序方向自3经过电池B

而到4，仍应用一段含源电路的欧姆定律得IRB3421IIA电池A所消耗的化学能功率P1=IA=224W=48W，而其输出功率P2=IU12=220W=40W，消耗于内阻的功率P3=I2RiA=42W=8W。

P3等于P1减去P2。附加：基尔霍夫定律

由两个以上的电源的支路组成的多回路电路，运用电阻串、并联的计算方法不能将它简化成一个单回路电路。一、

复杂电路节点：三条或三条以上支路的交汇点。支路：有一个或几个元件首尾相接 构成的无分支电路。

回路：任意的闭合电路。ε1ε2R1R2R3ABCDFG二、基尔霍夫第一定律（节点电流定律）由稳恒电流的条件：基尔霍夫第一定律一般形式汇于节点各支路电流强度的代数和为0.2）在任一电路的任一节点上，电流的代数和永远等于零。1）流入节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

εR1R2R3R5R6abdI1I3I4R4cI2I6I5例1：由基尔霍夫电流定律得：

即：如图，以Ａ点为起点：三、基尔霍夫第二定律（回路电压定律）在任意一个回路中，所有电压降的代数和为零。*回路绕行方向（可以任意选择）*注意方程中ε的正、负取值。ＡＣＩ２Ｒ１ε１Ｒ２ε２Ｒ３ＢＤＥＩ１Ｉ３电压升为负电压降为正计算结果电流为正值，说明实际电流方向与图中所设相同。若电流为负值，表明实际电流方向与图中所设相反。例题2：双电源供电电路绕行方向应用基尔霍夫定律列方程组应注意：③注意方程的独立性及独立方程数目应等于所求末知量数.

对于n个节点p条支路的复杂电路，可列出（n-1）个独立节点电流方程和（p-n+1）个独立回路电压方程.（在新选定的回路中，必须至少有一段电路在已选的回路中未曾出现过）。①在给定电路上标定各支路上电流的参考方向.②方程组中各项之前的正负号约定：对于节点方程，流出节点的电流I之前取正号，流入取负号.对回路方程，首先标定回路绕行方向.若电阻中电流方向与绕行方向一致，电位降落，IR之前加正号，反之加负号.若电动势与绕行方向一致，电位升高,之前加负号，反之加正号.例3.如下图所示，在设定之后，对CA支路可不必再设新的变量，直接设它为，这样便将三个未知变量减少到两个.EABCDε1,Ri1ε2,Ri2I1I