《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

«复变函数与积分变换》期末试题（A）答案及评分标准

«复变函数与积分变换》期末试题（A）

一.填空题（每小题3分，共计15分）

1.土之叵的幅角是（-三+2版•，左=0,±1,±2…）；2.的主值是

23

（；E2+净”3./（Z）=7-^T，/⑸（。）=（0）；

24I+z

z-sinz01

4.z=0是一]—的（一级）极点；5./（z）=-,Re4/（z）,oo]=（-D；

二.选择题（每小题3分，共计15分）

1.解析函数/（z）="（》,了）+刖＞,丁）的导函数为（B）；

(A)/'(Z)=Ux+iuy.(B)f\z)=ux-iuy.

(C)『⑶=%+/；(D)f\z)=u+iv

yX・

2.C是正向圆周忖=3,如果函数/（z）=（D）,则£/（z）dz=O.

(A)Er(B)=©占去⑻占

oo

3.如果级数£gz”在z=2点收敛，则级数在（c）

n=\

（A）Z=-2点条件收敛；（B）Z=2%・点绝对收敛；

（C）z=1+2点绝对收敛；（D）z=l+2i点一定发散.

4.下列结论正确的是（B）

（A）如果函数/（z）在Z。点可导，则/（z）在Z。点一定解析；

(B)如果/(z)在C所围成的区域内解析,

则£/(z)dz=O

(C)如果£/(z)dz=O,则函数/(z)在C所围成的区域内一定解析；

(D)函数/(z)=〃(x,y)+h(%,y)在区域内解析的充分必要条件是

〃“,》)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.

5.下列结论不正确的是(D).

(A)8为sin，的可去奇点；⑻8为sinz的本性奇点；

Z

(C)8为」了的孤立奇点；⑼8为—1—的孤立奇点.

sin-sinz

z

三.按要求完成下列各题(每小题10分，共计40分)

(1)设/(z)=%2+axy+by2+i(cx2+的+y?)是解析函数，求

(2).计算幺二一行dz其中c是正向圆周：忖=2；

JCz(z-1)11

15

⑶计算L455^

c/、Z(Z2-1)(Z+2)3(Z-3)2

(4)函数/(z)=-------------------在扩充复平面上有什么类型的奇

(SUITE).

点？，如果有极点，请指出它的级.

四、(本题14分)将函数/(z)=y\y在以下区域内展开成罗朗级数；

(1)0<|z-l|<l,(2)0<|z|<1,(3)1<|z|<oo

五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题

「-5y,x)+4y(x)=e~x

[y(0)50)=l

六、(本题6分)求/«)=6一制(夕＞0)的傅立叶变换，并由此证明:

fCOS"dG)=〃"

三.按要求完成下列各题(每小题10分，共40分)

(1).设/(z)=%2+axy+勿2+j(c%2+的+》2)是解析函数，求

a,b,c,d.

解：因为/(幻解析，由C-R条件

3M_dvdu_3v

3xdydy3x

2x+ay=dx+2yax+2by=-2ex—dy,

Q=2,d=2,,a=—2c,2b=—d,c=—\,b=—1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

(2).计算£./；、2dz其中c是正向圆周:

解：本题可以用柯西公式'柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,

仅给出用前者计算过程

因为函数/(z)="2在复平面内只有两个奇点Z尸0,Z2=1,分别以Z]*2

(z-1)Z

为圆心画互不相交互不包含的小圆GQ且位于C内

=2m(—Y+2m---------=2m

z.(zT)

z=l'/z=n0

无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

L(l+z2)")3dz

(3).

解：设/(z)在有限复平面内所有奇点均在：忖＜3内，由留数定理

dz=-2^/Re5[/(z),oo]-----(5分)

1ZI=3(1+Z2)2(2+Z4)3

=2万Res"(ff

-(8分)

11,2

243

(l+-2)(2+())z

zz

/(-)4-=1

有唯一的孤立奇点z=0,

zzz(l+z2)2(2z4+1)3

Re，"("⑼=22Z4+I)3=1

lim力”=lZiTm-「

zZz->0ZZOu十Z)(NZ-r[)

z15

4,--------------dz=2力-----------(io分)

M=3(I+Z2)2(2+Z4)3

£,、Z(Z2-1)(Z+2)3°、2

(4)函数/(z)=--一—(Zz—3)2在扩充复平面上有什么类型的奇

(sin>?E)'

点？，如果有极点，请指出它的级.

解：

/(z)=Z(Z2-1)(Z+2)：(Z-3)2的奇点为z=k,k=0,±1,±2,±3,…，8

(sin^z)-

(1)z=k,k=0,±1,±2,±3,…为(sin妆J=颂三级零点，

(2)z=O,z=±l,为/(z曲二级极点，z=-2是/⑵的可去奇点，

(3)z=3为/(z)的一级极点，

(4)z=2,—3,±4…,为〃z)的三级极点;

(5)8为/(z曲非孤立奇点。

备注：给出全部奇点给5分，其他酌情给分。

四、(本题14分)将函数/(z)=」一在以下区域内展开成罗朗级数；

z-(z-l)

(1)0<|z-l|<1,(2)0<|z|<1,(3)1<|z|<oo

解：⑴当

/(Z)=F----=--~

z(z-1)(z-1)(z-1+1)

18

而D"(zT)"]'

(2-1+1)富

=Z(-l)》(Z-1尸

n=0

/(z)=Z(—1)"+%(Z—1)"一2------6分

77=0

(2)当0<目<1

1118

f(z)=F--=_-fZz”

2(2-1)Z(1-Z)Zw=0

V1n-2,

=~LZ------10分

w=O

(3)当1<|z|<8

1]

f(z)=

Z2(Z—1)

23(1--)

z

1001二1

/（Z）=；?E（1）”=£齐-----14分

zM=Oz«=oz

每步可以酌情给分。

五.（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题:

y”(x)-5y'(x)+4y(x)=e~x

y(0)=1=y'(0)=1

解：对y（x）的Laplace变换记做£（.v）,依据Laplace变换性质有

S2L（5）-5-1-5（51（5）-1）+4L（5）=—…（5分）

5+1

整理得

11

L(s)=-------------------F----

(5+1)(5-1)(5-4)5-1

1111

----+---------+—…（7分）

10(5+1)6(5-1)15(5-4)5-1

-----1---+----5----+-----1----

10(5+1)6(.v-l)15(5-4)

y(x)=—exH—e'He4"…（10分）

10615

六、(6分)求/⑺=e一削(0>0)的傅立叶变换,并由此证明:

Tc°s-d兀相1

J。/"①一2叶

解:尸（切）=匚iox

e-e'^dt(6>0)3分

〃(⑼=£f'0/应+『e^e^dt(夕>0)

=j°e（6M，山+『e-（夕+必，山（A>0）

+OO

(fi-i(D)t°~(P+io))t

<✓

/3-icoj3+i(o(夕>0)

-OO0

12夕

(6>0)4分

b(0)=p-i(o/3+io)仍+心

i0X

f(t)=eF(a))da)(夕>0)_5分

湍尸◎（夕>0）

(cosctX+isinaX)d(o(夕>0)

cosfiXir+°°pSYUGJt(a

-^3——起①+—与—盘①{B>0)

fi2+a)2/J-8夕2+4W

「—cosdT

——式G(夕Q>0),6分

74丝二加

lfi2+O)22夕e

«复变函数与积分变换》期末试题(B)

一.填空题(每小题3分，共计15分)

二.1.二的幅角是()；2.。2(—+，)的主值是

2

()；3.4=(),

/(z)=+2xy-y2+[(ax1+2xy+y2)在复平面内处处解

z-sinz।

析,4.Z=0n是3的()极点；5./(Z)——,

zz

Res"(z),g]=()；

二.选择题(每小题3分，共计15分)

1.解析函数/(2)="(九y)+iv(x,y)的导函数为()；

(A)fXz)=uy+ivx；(B)f\z)=ux-iuy.

(C)=ux+ivy,(D)f\z)=ux+iuy.

2.C是正向圆周忖=2,如果函数/(z)=(),则£/(z)dz=O.

33

(A)(B)(D)

z-15©清7(z-1)2

3.如果级数£%z"在z=2i点收敛，则级数在

〃=1

(A)z=-2点条件收敛；(B)z=-2i点绝对收敛；

(C)z=l+i点绝对收敛；(D)z=l+2i点一定发散.

4.下列结论正确的是()

(A)如果函数/⑵在Z。点可导,则/(z)在Z。点一定解析;

(B)如果，/(zMz=0,其中C复平面内正向封闭曲线，则/(z)在C所围成

的区域内一定解析；

(C)函数/(z)在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展

开成为Z-Z。的基级数，而且展开式是唯一的；

(D)函数/(z)="(x,y)+Mx,y)在区域内解析的充分必要条件是〃(x,y)、

v(x,y)在该区域内均为调和函数.

5.下列结论不正确的是().

(A)、Inz是复平面上的多值函数；(B)、COSZ是无界函数；

(C)、sinz是复平面上的有界函数；(D)、"是周期函数.

得分

-------三.按要求完成下列各题(每小题8分，共计50分)

(1)设/(N)=〃(x,y)+i(x2+g(y)))是解析函数，且"0)=0,求

(2).计算二，产"其中C是正向圆周同=2；

21

(3).计算£：ryezdz，其中c是正向圆周忖=2；

(4).利用留数计算2)2dz。其中C是正向圆周同=3；

z(z2-l)(z+2)3

(5)函数/(z)=——一R-在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果

有极点，请指出它的级.

四、(本题12分)将函数/(z)=F—K在以下区域内展开成罗朗级数;

Z(Z-1)

(1)0<|z-l|<1,(2)0<|z|<1,(3)1<|z|<oo

五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题

y”(x)-5y'(x)+4y(x)=ex

y(0)=y(0)=1

六、（本题8分）求/⑴二e一削（尸＞0）的傅立叶变换，并由此证明:

+<»

cos以

«复变函数与积分变换》期末试题简答及评分标准（B）

一.填空题（每小题3分，共计15分）

1.匕1的幅角是(一四+2%乃,女=0±1,±2,…)；2.L八(一1一。的主值是

24

(-ln2-z-)；3./(Z)=,2,/⑺(。)=(0)；

241+Z

°/、z—sinz—rr/\八i八I

4..f(z)=3,Res[f(z),0]=(o)；5.J(z)=r,

z'z

Res"(z),8]=(o)；

二.选择题(每小题3分，共计15分)

1--5AACCC

三.按要求完成下列各题(每小题10分，共计40分)

,2

(1)求.a,b,c,d使/(z)=%2+叼+外2+i(cx+的+>2)是解析函数,

解：因为/(z)解析，由C-R条件

du_3vdu_dv

dxdydy3x

2x+ay=dx+2yax+2by=-2ex—dy,

Q=2,d=2,,a=—2c2b——d,c=—l,b=—1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）.£z（z：i）2dz.其中C是正向圆周|z|=2；

解：本题可以用柯西公式'柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,

仅给出用前者计算过程

因为函数/（Z）=——在复平面内只有两个奇点Z尸0/2=1,分别以Z]*2

（z-l）Z

为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于C内

]

、字dz+

f-----dz=

=2万(与+2m—二=0

Z2

(z-l)z=0

.Z%z

（3）.计算其中c是正向圆周目=2；

解：设/（z）在有限复平面内所有奇点均在：回＜2内，由留数定理

§2/(z)dz=-2mRes"(z),叫=2万用（5分）

1<目<8

,2

3z2z

ze_ze2nli1111、

-Z(Id----1-------H-----rH---)W(1H-----1HrH---)

百二一口z2!z23!z3zz2z3

z

2+z+—1+1、“111、

2!3!z4!z

c1+l+"」

一12!3!3

8

r⑵dz=一产

乙、(Z2-1)(Z+2)3

(4)函数/(z)=--一一在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有

(sin庇)‘

极点，请指出它的级.

/(z)的奇点为2=左,％=0,±1,±2,±3,…，8

z=k,k=0,±1,±2,±3,…为(sin位)'=晒三级零点,

z=±1,为/'(z)的二级极点，z=-2是/(z)的可去奇点，

z=0,2,—3,±4…,为/'(z)的三级极点；

8为/(z)的非孤立奇点。

给出全部奇点给5分。其他酌情给分。

四、(本题14分)将函数=在以下区域内展开成罗朗级数；

z-(z+l)

(1)0<|z+l|<l,(2)0<|z|<1,(3)1<|z|<00

(1)0<|z+l|<l,(2)0<|z|<1,(3)l<|z|<«>

解：⑴当0<|z+l|<l

f(z)=—f—----=---[-----------]'

z2(z+l)(z+1)(l-(z+l)

而["+3=E(Z+D"]'=/(Z+1尸

(1一(z+l)„=0„=0

〃Z)=f〃(Z+l)"-2

6分

n=0

(2)当0<|z|<l

118

=£(-1/

10分

71=0

(3)当1<忖<8

11

.f(z)=

Z2(Z+D?(1+1

z

1oo1oo1

〃+314分

z〃=ozw=0Z

五.（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题

y”(x)+2y\x)~3y(x)=

y(0)=0,y'(0)=1

解：对y（x）的Laplace变换记做L（s）,依据Laplace变换性质有

1

S2L(S)-1+2SL(S)