2023届江苏省南通市高三下学期第二次调研测试数学模拟试题及参考答案

南通市2023届高三第二次调研测试数学模拟试题注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是().A.， B.，

C.， D.，已知，则的取值范围是().A. B. C. D.三人各抛掷骰子一次，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为().A. B. C. D.已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为().A.5 B.4 C.3 D.21471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，().A.2ab B.

C. D.ab在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为().A. B. C. D.双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于B的点，若，，则四条直线的斜率之和为().A.1 B.0 C. D.不确定值函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为().A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．下列命题中正确是().A.中位数就是第50百分位数

B.已知随机变量X~，若，则

C.已知随机变量~，且函数为偶函数，则

D.已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数 172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为右图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是().A.若，则 B.若，则

C. D.在长方体中，，则().A.若直线与直线CD所成的角为，则

B.若过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面交于点M，则C.若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则D.若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则().A.、两点的纵坐标之积为定值 B.直线的斜率为定值

C.线段AB的长度为定值 D.面积的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．若函数，的最大值为2，则常数的一个取值为__________.的展开式中的系数为__________.（用数字作答）若对于任意的x，，不等式恒成立，则b的取值范围为__________.弓琴（左图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．右图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.（10分）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点．

(1)证明：平面平面PAC；

(2)若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．（12分）在数列中，，(1)求的通项公式.(2)设的前n项和为，证明：（12分）设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中i，N，令，称N是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：现有N个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为(1)当时，求的联合分布列；(2)设，N且，求（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，证明：；(2)若，证明：（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为(1)求E的方程;(2)设过的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，记它们的交点为P，过作平行于l的直线分别交于A，B，求的取值范围.（12分）设连续正值函数定义在区间上，若对于任意，，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，.(1)讨论函数的单调性；(2)若，判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．南通市2023届高三第二次调研测试数学模拟试题参考答案选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.B

2.B

3.A

4.B

5.B

6.B

7.B

8.C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.ACD

10.ABD

11.ABC

12.BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.

14.

15.

16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解：证明：，D为AC中点，，

又是等边三角形，，，

，BD，平面PDB，平面PDB，

平面PAC，平面平面PDB；

是等边三角形，，的面积为，

设三棱锥的底面ABC上的高为h，则，解得，

为等腰直角三角形，，，，，

作交于O，则，，

又，是DB的中点，

以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，在平面ABC中过O作BD的垂线为y轴，

OP为z轴，建立空间直角坐标系，

，，，，

，

设是平面PAB的一个法向量，则，取，得，

设平面PBC的一个法向量，

则，取，得，

，

故二面角的正弦值为

18.解：，，

又，数列是首项为，公比为的等比数列，

从而，则

证明：，

设，则，

两式相减得，

从而，故

19.解：可取0，1，2；Y可取0，1，2，

则，，，

，，，

，

故的联合分布列为：

当时，，

于是，

因此，

设Z服从二项分布，则

20.证明：由正弦定理，所以，由余弦定理可得，，所以由已知可得，即，因为，所以；由已知得，，又由正弦定理可得，，因为，所以，由知，，则，又由正弦定理可得，，又，则，将以及代入可得，，整理可得，，因为，，所以，则，令，则，，则，当时，恒成立，所以在上单调递减.所以，即综上所述，解：由题意得，，，解得，，所以椭圆E的方程为

由题意得，，显然l的斜率不为0，

设直线l的方程为，，，

联立，消x整理得，

，，，

由题意知，M，N不在x轴上，则分别作E在点M，N上的两条切线的斜率存在，

联立过M，N的切线方程，整理得

相减可得，即，

化简可得，代入，可得，故

设MN的中点为，则，，故，

因为，，所以，所以O，Q，P三点共线，

又过作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，易得∽，

取AB中点R，根据三角形的性质有R，O，Q，P四点共线，

结合椭圆的对称性有，

当且仅当时取等号，所以解：定义域为，的导函数，

当时，，故在单调递减;

当时，由