高数课件第十二章

1一、泰勒级数若函数在某邻域内具有任意阶导数，则称为函数的泰勒级数.称为麦克劳林级数.特别的，在泰勒级数中,若则复习2设函数在点的某一邻域内具有各阶导数,则在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是定理麦克劳林级数的性质：函数若能展开成x的幂级数,则展开式是唯一的,且一定有3二、函数展开成幂级数1.直接展开法㈠依次求出其步骤如下：若在x=0

处某阶导数不存在，就停止进行，此即说明函数不能展开成幂级数㈢写出幂级数：并求出收敛半径R.㈡求出:㈣考察当

时，若则若极限不为零，则函数不能展开成幂级数.42.间接展开法常用的幂级数展开式：5内已得到展式：而级数处仍收敛,处连续,则展式处也成立.注注意：经过求导或求积后得到的展式,必须考虑端点处的情况.第七节6第七节一、三角级数及三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数第十二章傅里叶级数7一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相

)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.8定理1.

组成三角级数的函数系证:同理可证:正交,上的积分等于0.即其中任意两个不同的函数之积在9上的积分不等于0.且有

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

目录10二、函数展开成傅里叶级数定理2.

设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:

由定理条件,①②对①在逐项积分,得11(利用正交性)类似地,用sinkx

乘①式两边,再逐项积分可得12叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数简介13定理3

(收敛定理,

展开定理)设

f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有

x

为间断点其中(证明略

)为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:

函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介32页14例1.

设

f(x)

是周期为2

的周期函数,

它在

上的表达式为解:

先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.

xyo-1115161)

根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.xyo-1117例2.

设

f(x)

是周期为2

的周期函数,

上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解:

它在18说明:

当时,级数收敛于返回上页19周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它20例3.

将函数则解:

将f(x)延拓成以

展成傅里叶级数.2为周期的函数F(x),

21当x=0时,f(0)=0,得说明:

利用此展式可求出几个特殊的级数的和.22设已知又目录23三、正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理4.

对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数

,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为24例4.

设的表达式为f(x)x,将f(x)展成傅里叶级数.

f(x)是周期为2的周期函数,它在解:

若不计周期为2的奇函数,因此25根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.n＝1n＝2n＝3n＝4n＝526例5.

将周期函数展成傅里叶级数,其中E为正常数

.解:是周期为2的周期偶函数,因此

为便于计算,将周期取为2

27282.

在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)

f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数

f(x)在[0,]上展成29例6.

将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解:

先求正弦级数.去掉端点,将f(x)作奇周期延拓,30注意:在端点x=0,,级数的和为0,与给定函数因此得

f(x)=x+1的值不同.31将则有作偶周期延拓,再求余弦级数.32说明:

令

x=0

可得即作业：17~19目录结束33内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理

其中注意:

若为间断点,则级数收敛于目录结束342.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数

奇函数正弦级数

偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法

作奇周期延拓,展开为正弦级数

作偶周期延拓,展开为余弦级数1.

在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:

不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习目录结束35

,处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于

.提示:设周期函数在一个周期内的表达式为目录结束36又设求当的表达式.解:

由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域3.

设目录结束37傅氏级数的和函数.答案:定理34.

写出函数目录结束38备用题1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93考研)的傅里目录结束392.

设是以2为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令类似可得利用周期函数性质目录结束40是以2为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令2.

设目录结束41傅里叶

(1768–1830)法国数学家.他的著作《热的解析理论》(1822)是数学史上一部经典性书中系统的运用了三角级数和三角积分,他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分.

最卓越的工具.以后以傅里叶著作为基础发展起来的文献,他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展都产生了深远的影响.目录结束42狄利克雷(1805–1859)德国数学家.对数论,数学分析和数学物理有突出的贡