高中数学必修复习第讲必修三角形中的三角函数

关于高中数学必修复习第讲必修三角形中的三角函数第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四1.能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角转化.2.掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数的求值及三角恒等式的证明.第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四1.△ABC中,已知sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,则三角形的形状是()DA.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期四

由sin2A=sin2B+sin2C,得a2=b2+c2.所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，由sinA=2sinBcosC，得2sin2B=1.因为B为锐角，所以sinB=,从而B=45°，C=45°，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期四2.在锐角△ABC中，已知cosA=,sinB=,则cosC的值是()BA.B.C.或D.-

因为cosA=,sinB=,所以sinA==,cosB==,所以cosC=cos［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-×+×=.第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期四3.在△ABC中,设命题p:==,命题q:△ABC是等边三角形，则命题p是命题q的()CA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

p:==，由正弦定理==，所以sinA=sinB=sinC,所以A=B=Ca=b=c,故选C.第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期四4.在△ABC中，三个内角满足2A=B+C，且最大边与最小边分别是方程x2-12x+32=0的两根，则△ABC外接圆的面积为()AA.16πB.64πC.124πD.156π第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期四

由方程x2-12x+32=0，解得x=4或x=8,不妨设b=8,c=4,因为2A=B+C,所以A+B+C=3A=180°,A=60°,由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos60°=64+16-2×8×4×=48.所以a=4.由正弦定理，得2R=asinA==8,R=4,所以S圆=πR2=16π,故选A.第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期四5.△ABC中，已知a=x,b=2,B=45°,若解此三角形有两解,则x的取值范围是

.(2,2)sinA=·x=x,因三角形有两解，所以45°<A<135°,且∠A≠90°,所以x>2,且x<1,解得2<x<2.第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期四1.判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边与边的关系，或角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一.三角形形状的判断依据：(1)等腰三角形:a=b或A=B；(2)直角三角形:b2+c2=a2或A=90°;(3)钝角三角形:a2>b2+c2,或90°<A<180°;第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期四(4)锐角三角形：若a为最大边，且满足a2<b2+c2或A为最大角，且0°<A<90°.2.在△ABC中常用的一些基本关系式(1)A+B+C=①

;(2)sin(B+C)=②

,cos(B+C)=③

，tan(B+C)=④

;(3)sin

=⑤

;(4)cos

=⑥

;(5)tanA+tanB+tanC=⑦

.πsinA-cosA-tanAtanAtanBtanC第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四题型一判断三角形的形状例1

在△ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，试判断△ABC的形状.第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四(方法一)化成角的关系求解.由条件可得，a2[sin(A-B)-sin(A+B)[=-b2[sin(A+B)+sin(A-B)].利用和差角公式展开,得a2cosAsinB=b2sinAcosB,由正弦定理,上式化为sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.因为sinAsinB≠0，所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角，所以A=B,或A+B=，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期四(方法二)化为边的关系求解.由条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c(a2+b2)(-)=(a2-b2)c(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2a2+b2=c2或a=b.故△ABC的形状为直角三角形或等腰三角形.第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期四三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路.第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期四题型二利用三角函数知识解三角形例2

在△ABC中，已知sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0，求角A、B、C的大小.第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期四(方法一)由sinA(sinB+cosB)-sinC=0，得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0，所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即sinB(sinA-cosA)=0.因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，从而cosA=sinA,由A∈(0,π)，知A=，从而B+C=,由sinB+cos2C=0，得sinB+cos2(-B)=0,即sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0.由此得cosB=,B=,C=,所以A=，B=，C=.第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期四(方法二)由sinB+cos2C=0，得sinB=-cos2C=sin(-2C).由0<B、C<π,所以B=-2C或B=2C-,即B+2C=或2C-B=,由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期四即sinB(sinA-cosA)=0.因为sinB≠0，所以cosA=sinA,由A∈(0,π),知A=，从而B+C=,知B+2C=不合要求，再由2C-B=，得B=，C=，所以A=，B=，C=.

本题主要考查三角形问题等知识，关键是运用sin(A+B)=sinC代换及解题方向的确定.第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期四题型三三角形中三角函数的应用例3

有一块半径为1m,中心角为的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形上，然后作其最大的内接矩形.请求出最大面积.第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期四

如图，设∠COB=α(0<α<),则BC=sinα=AD,OB=cosα.又=tan,所以OA=AD=sinα，所以AB=cosα-sinα,则S矩形ABCD=sinα(cosα-sinα)=sin2α+cos２α-=sin(2α+)-,当sin(2α+)=1,即α=时，矩形面积取最大值m2.6p6p6p第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期四

与圆相关的最值问题，常设角参数（注意范围），把题目中出现的边角用含角的三角函数表示，再转化求三角函数的最值.其中确定是什么样的三角形，用哪些定理或哪些边角关系，列出等式或不等式是关键.第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期四1.解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是关键.并关注角的取值范围.如已知两边及其中一边的对角解三角形，要注意解的情况.2.对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，把实际问题转化为解三角形，要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方