《管理科学》习题集1

《管理科学》习题集

管理科学教学组编

上海海事大学

2010年9月

一家工厂制造三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。

下表列出了三种单位产品对每种资源的需要量。

资源（小时）单位利润

产品

技术服务劳动力行政管理（元）

115210

21426

311064

今有100小时的技术服务，600小时的劳动力和300小时的行政管理时间可

供使用。试确定能使总利润最大的产品生产量的线性规划模型。

21></a>.某钢筋车间制作一批钢筋（直径相同），长度为3米的90根，长度

为4米的60根。已知所用的下料钢筋长度为本10米，问怎样下料最省？

建立此问题的线性规划模型。

3.设有下面四个投资的机会：

甲：在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息0.2元,

每年取息后可重新将本息投入生息。

乙：在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息0.5

元，两年后取息，可重新将本息投入生息。这种投资最多不得超过20000元。

两：在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获利息0.6元，

这种投资最多不得超过15000元。

T：在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元投资可获利息0.4

元，这种投资最多不得超过10000元。

假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有板有眼30000元可供投资，投

资人应怎样决定投资计划，才能使在第三年年底获得最高的收益。建立此问题的

线性规划模型。

4.图解下列线性规划问题:

(1)

约束于

(2)约束条件不变，目标函数改变为：

5.将下列线性规划问题标准化，并用单纯形方法求解

约束于

6.考虑问题

约束于

用大M法求解；

用两阶段法求解;

7.写出下列线性规划问题的对偶问题

(1)

约束于

(2)

约束于

(3)

约束于

8.解下面的原始问题，再从原始问题的最优表格中求它的对偶问题的最优

解：

约束于

9.一个有三个()型约束条件和两个决策变量和的极大化线性规划问题，其

最优表格是：

基解

100032?

000-12

000106

0100-13

根据原始与对偶关系，以两种不同方法求最优目标函数值。

10.用对偶单纯形法求解下面的问题：

约束于

1L用单纯形法求解线性规划问题：

约束于

时，最后得到下列方程组

其中,为松弛变量。当下列参数改变时，用敏感度分析的方法分别独立地求

出新的基本解，并指出此解的可行性、最优性：

约束条件的右端变为=

第一个约束的右端变为

目标函数中的系数变为

目标函数中的系数变为

的系数变为=

增加一个具有系数=的新变量

增加一个新约束条件

第二个约束变为

12.有一个全部约束条件是()的极大化问题，它的最优单纯形表格是:

格是：

基解

1001/405

001V202

010-1/8物03/2

0001-214

这里,是决策变量，和是松弛变量。

在保持现行基不变的情况下，假如一个约束条件的右端扩大，应扩大哪一

个？为什么？最多扩大多少？求出新的目标函数值；

设和是目标函数中，的系数，求使现行基变量始终保持最优性的比值/的范

围。

13.考虑资源分配问题，其数学模型是：

约束于

该模型的最优表格如下

基解

10016/620/64/60

440075

0015/610/6-必0

400/6

010必-货W0200/6

0004-201100

其中和为松弛变量。根据这最优表格，应用敏感度分析的方法回答下列问题：

若产品3检验值得生产的话，它的单位利润应是多少？若把产品3的单位利

润增至50/6元，求获利最多的产品品种生产规划；

若要现行解保持最优，则产品1的利润可有多大范围的变动？

确定全部资源的影子价格；

制造部门提出要生产一种新产品，该种产品需要技术服务1小时，劳动力4

小时和行政管理3小时。销售部门预测这种产品售出时能有8元的单位利润，管

理部门该怎样决策？

假设该公司决定至少生产10件产品3,试确定最优品种规划;

据后来调查，技术服务可供利用的小时数，原来的估计可能有误，正确的估

计是，其中是一个未知参量。求值的范围，使已给定的产品品种规划可行。

14.考虑三个发点和三个收点的运输问题，发量、收量和如下:

1267

04212

31511

101010

(1)用西北角法、最小元素法和沃杰尔(Vogel)近似法分别求初始解;

(2)分别用上述初始解求最优解。

15.某飞机制造厂生产一种民用喷气式飞机，生产的最后阶段是制造喷气发

动机，以及把发动机安装到已完成的飞机骨架上(一种很快的操作)。为了不误

合同规定的交货期，第一、二、三、四月必须安排发动机的台数分别为10、15、

25、20,但受生产能力等条件的限制，这些月份的最高生产台数分别为25、35、

30、10。显然为了满足安装发动机的需要，某些月份必须多生产一些发动机，但

这会产生存储费用，每月单台存储费为1.5万元。已知一、二、三、四月份的但

台生产费各为1.08、1.11、1.10、1.13百万元。试安排这四个月的生产计划，使

生产费用和存储费用之和最小。

建立此问题的一般线性规划模型；

把此问题作为运输问题来处理，试建立相应的运输表格；

求此“运输问题”的最优解。

16.如果把一个参数k加到费用矩阵的某一行或某一列的所有元素上，求证

运输问题的最优解仍保持不变，且目标函数增加一个常数。

17.某公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用的资源为金属板、劳

动力和机器。制造一只容器所需的各种资源的数量（单位已适当取定）如下：

资源小号容器中号容器大号容器

金属板248

劳动力234

机器123

不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为4,5,6元。可以使

用的金属板有500张，劳动力有300个，机器有100台，此外，不管每种容器制

造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是100元，中号是150元，大

号是非200元。现要制定一生产计划，使获得的利润最大。建立此问题的整数规

划模型。

18.某企业打算在个可能的厂址中选择一定数量的厂址建厂，已知各个可能

厂址的基建和运输费用，以及个区中各区的需求量。假定：

当厂址被选中，则发生固定成本

工厂的预定生产能力为

需求区的需要量为

至的单位商品运输成本为

问应该在哪些可能的厂址建厂和怎样满足各区的需要才能使总费用最小？

试建立此问题的整数规划模型。

19.一推销员向n个不同的城镇推销商品，通常每个城镇只经过一次，最后

再回到最初出发的城镇。因此，每一所在城镇是到下一城镇的出发点，同时也是

上一城镇的到达点。如此不断地连续下去直到最后〜城镇，再回到旅程的最初出

发点，这样就形成一整个推销旅程的循环。自任何城市到其它城市的旅费来回是

不同的（以表示城镇到城镇的旅费时，）。问推销员应当如何安排对每个城镇的访

问次序，使总旅费最小？

建立此问题的0-1规划模型。

20.石油输送管道铺设最优方案的选择问题：考虑如下网络图，设A为出发

地，E为目的地，B、C、D分别为三个必须建立油泵加压站的地区，其中的、、；、、；

分别为可工选择的各站站位。下图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数

字表示了铺设这些管线所需的费用。问如何铺设管道才能使总费用最小？

21.某科研项目由三个小组用不同的手段分别研究，它们失败的概率各为

0.40,0.60,0.80。为了减少三个小组都失败的可能性，现决定给三个小组中增派两

名高级科学家，到各小组后，各小组科研项目失败概率如下表：

高级小组

科学家数123

00.40.60.8

10.20.40.5

20.150.20.3

问如何分派科学家才使三个小组都失败概率（既科研项目最终失败的概率）

最小？

22.某牧场有15000元资金，它可以买A、B两种牛。每花1000元买A、B

牛后，当年及以后每年各可出生2、3头小牛，且当年各获利500、200元；以后

每年用按此比例的资金继续买牛。问今后四年应如何买牛才能使第四年末的牛群

最大？

23.验证点是函数的一个整体极小点。

24.用K-T条件解下列问题:

约束于

25用二次插值法求解:

终止限

26.用梯度法求解：

27.考虑下列无向网络图:

求节点1到节点8的最短距离和最短路线。

28.考虑下列容量网络图，节点1和6分别为发点和收点。

（1）用标号法求节点1到节点6的最大流;

（2）求最小割集及其容量。

29.有一项加工任务由工序A、B、…、J十道工序组成，其前后工序关系如

下：

A和B是同时开始的工序；

B的紧后工序是C；

D和E的紧前工序是A和C；

D的紧后工序是G和H；

E的紧前工序是A、C；

I的紧前工序是F和H；

J的紧前工序是G；

I和J是同时结束的工序。

画出计划网络图。

30.考虑由A、B、…、I九道工序构成的计划项目，其前后工序关系和时间

估计值如下：

工序紧前工序乐观时间(a)最可能时间(m)悲观时间

((b)

A——258

BA6912

CA678

DB,C147

EA888

FB,E51417

GC3121

1F,G369

HH5811

画出本计划网络图;

求出每道工序的平均时间和方差；

求出计划项目的期望工期和方差；

求出工期不迟于50天的概率，和比期望工期提前4天的概率。

31.现有N台不同型号的机床可以被挑选来生产同一批产品，产品批量的大

小是未知的，只知道可以取和之间的任何值，用第台机床生产产品的成本是：，

=1,2,-N

其中是已知常数，

试用下面四种准则分别确定应选用哪台机床：

等可能性法；

最小最大化法；

后悔值法；

乐观系数法；

32.某制造厂以每150个为一批加工机器零件，经验表明每一批零件的不合

格率P不是0.05就是0.25,且所加工的各批量中P等于0.05的概率是0.8,每

批零件最后将被用来组装一个部件。制造厂可以在组装前按每个零件10元的确

费用来检验一批中的所有零件，发现不合格品立即更换，也可以不予检验就直接

组装，但发现不合格品后返工的费用是每个100元。

写出检验问题的损益矩阵；

用期望值法求出工厂的最优检验方案；

对此问题进行敏感度分析，求出转折概率。

33.有一家大型的鲜海味批发公司，该公司购进某种海味价格是每箱250元,

售出的价格是每箱400元。所有购进的海味必须在同一天售出，当天销售不掉的

海味只能处理掉。过去统计的资料表明，对该种海味的日需求量近似地服从正态

分布，其均值为每天650箱，日标准差为120箱。试分析对如下两种情况确定该

批发公司的最优日进货量：

没有处理价；

当天处理价每箱240元。

34.某咖啡制造商意识到他这个牌子的咖啡销售额已开始下降，为了挽救这

个局面，有两种措施可供选择：或是增加广告费，这需要增加费用20万元；或

是改换牌子，这估计要花费25万元。通过市场调查得到这两种措施相应的销售

额（单位：万元）的概率分布如下：

措施1维持现状：

年销售额550450300250150

概率0.350.350.200.050.05

措施2—一增加广告费：

年销售额150650550450350

概率0.400.300.150.100.05

措施3——改换牌子:

年销售额900800700600500

概率0.200.250.300.150.10

问制造商应采用何种措施才能使(年销售额-措施费)的期望值最小？用决

策树法求解。

35.有一个投资者，正面临着一个带有分险的投资决策问题。在可供选择的

所有投资方案中，可能出现的最大收益是20万元，可能出现的最小收益是-10

万元。为了确定该投资者在此决策问题上的效用函数，对投资者进行了--系列的

询问，现将询问结果归纳如下：

(a)投资者认为，“以0.5的概率获得20万元，0.5的概率失去10万元”

和“稳得0元”二者对他是等价的。

(b)“以0.5的概率获得20万元，0.5的概率得0元”和“稳得8万元”二

者对他是等价的。

(c)“以0.5的概率得0元，以0.5的概率失去10万元”和“肯定失去6万

元”二者对他也是等价的。

试根据以上结果，计算此投资者关于20万元，8万元，。元，-6万元，-10

万元的效用值。

画出该投资者的效用曲线。

此投资者的效用曲线是属于哪一种类型的？

36.三河城由汇合的三条河分割为三个区，如图所示。城市居民40%住在A

区，30%住在B区，30%住在C区。目前三河区没有溜冰场，两个公司甲和乙都

计划要在城中修建溜冰场，公司甲打算修建两个，公司乙只打算修建一个。每个

公司都知道如果在城市的某一个区内设有两个溜冰场，那么这两个溜冰场将把该

区的

业务平分；如果某区只有一个溜冰场，则该场BC

将独揽该区的全部业务；如果在一个区内没有30%

30%

建溜冰场，则该区的业务将平均分散在城市的A

三个溜冰场中。每个公司都想把溜冰场设在营40%

业额最多的地方。

把这个问题表达成一个两人零和对策，写出公司甲的损益矩阵；

这个对策有鞍点吗？如果有，将有儿个鞍点？甲、乙两公司的最优策略各是

什么？在双方都取得最优策略时两家公司各占有多大的市场份额？

37.分别用代数方法和图解方法求解下面的22对策。

B

策略12

143

A

206

38.给定矩阵对策

B

策略123

155050

A2110.1

310110

验证局中人A的策略和局中人B的策略是最优策略并求出对策值。

39.某公司有扩充业务的计划，每年需要招聘和培训新的工作人员60名（为

计算简便，假定这60名工作人员在一年内是均匀需要的）。培训采用办培训班的

方法，开班一次需费用一千元（不管学员多少）。每位应聘的工作人员的一年薪

金是540元，所以公司不愿意在不需要时招聘并培训这些人员。另一方面，在需

要他们时却又不能延误，这要求事先成批训练。在训练期间虽未正式使用，但仍

要支付全薪，问每次应训练几名工作人员才经济？隔多少时间办一期训练班？全

年的总费用多少？

40.一种物资在四个季度的需要量和其他数据为进入第一季度的存货单位。

季度需要量订购费（元）存储费（元）单价（元）

1769812

22611412

39018512

4677012

求每季度的最优订货量（使全年的总费用最小）。

41.某排队系统有两个服务台。顾客到达间隔时间服从平均数为1小时的指

数分布，服务时间也服从平均数为1小时的指数分布。如果在中午12点有一个

顾客到达，问：

下一个到达发生在下午1点前，下午1点到2点间，以及下午2点以后的概

率各为多少？

在12点到1点间没有顾客到达时，在1点到2点间有顾客到达的概率是多

少？

在1点到2点间没有顾客到达，有1个顾客到达，有2个以上顾客到达的概

率各是多少？

如在1点时两个服务台还在为顾客服务，在2点前，1点10分前，1点01

分前没有一个顾客离开服务台的概率各为多少？

42.汽车按照平均数为每小时90辆的普阿松分布到达快车道上的一个收费关

卡。通过关卡的平均时间（平均服务时间）是38秒，驾驶员埋怨等待时间太长。

主管部门想采用新装置，使通过关卡的时间减少到30秒，但这只有在老系统中

等待的汽车超过平均5辆，新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。

根据这个要求，问新装置是否合算？

43.某一具有普阿松分布到达，爱尔朗服务时间及有限队长的单服务台排队

系统：平均服务时间为0.25小时，系统内最多只能有2个顾客。导出系统内顾

客数的稳态概率分布，并计算系统内的平均顾客数，然后把此结果与服务时间改

为负指数分布后的相应结果进行比较。

44.某小食品店设单独的收款台，配有一个出纳员。顾客以平均速度为30人

/小时的普阿松流到达。当只有一个顾客时，顾客便由出纳员接待，平均服务时

间为1.5分钟，当顾客多于一个时，存货管理员就帮助出纳员工作，这样使平均

服务时间缩短至1分钟。在这两种情况下的服务时间都具有指数分布。

画出此排队系统的状态转移图；

求店内顾客数的稳态概率分布；

导出此系统的并确定

45.顾客到达一个单窗口路边服务银行要求服务。假定有两类顾客，第I类有

优先服务权，而第II类顾客要在所有等待的第I类顾客接受服务以后才能被服务,

但对第II类顾客的服务不能由一个第1类顾客的到达而中断。试确定模拟这个系

统所需的所有事件及模拟数据输入，并拟定一个构造模型的方法。

46.用逆变换法确定服从如下概率分布的随机变量。

47用模拟方法研究一个随机服务系统。已知服务员接待一个顾客所需的时

间服从正态分布N（）o顾客到达的时间间隔服从参数为的负指数分布。服务员

总人数为C（服务员的质量一样）。服务规则为最早空闲的服务员必须最先接待

等待时间最长的顾客。

设计一个模拟模型来模拟这个服务系统，并用框图表示。

如果最多只能安排7个服务员，试为通过模拟方法而确定最优服务人数提供

必要资料（服务员平均空闲时间W和顾客平均等待时间）制定方案。

习题集

1.有一照相机制造厂，生产A型、B型和C型三种照相机。其利润分别为3、

9、25元。制造工作包括三个部分：第一是制造机身；第二是装配零件；第三是

检查、试验和成品包装等最后工序。各种零件的产品需要的工作时间和每周可供

使用的工作时间（小时）如下表所示：

产品机身制造零件装配最后工

序

A型0.10.20.1

B型0.20.350.2

C型0.70.10.3

可供使用时间250350

150

试把这个生产安排问题列成求最大利涧的线性规划模型。

2.一化工厂要用三种原材料D、P、H混合调配出三种不同规格的产品A、B、

Co产品的规格要求、产品单价、每年能供应的原材料数量及材料单价，分别

列于下表:

产品名称规格要求利润（元/公斤）

AD不少于50%50

P不超过25%

BD不少于25%35

P不超过50%

C不限25

原材料名称每天最多供应量（千公斤）单价（元/公斤）

D10065

P10025

H6035

该厂应如何安排生产，使利润收入最大？建立此问题的线性规划模型。

3.一家造纸厂接到三份卷纸的定单，其长和宽如下表所示:

定单号码宽（米）长（米）

10.510000

20.730000

30.920000

工厂生产标准宽度为1.0米和1.2米卷纸，她必须把这两种卷纸按订单规定

的大小切开。标准卷纸的长度可看作无限制，因为按照实际需要，可把有限长度

的卷纸接长，以达到需要的长度。问题是要确定切割方式，使得切割的损失最少。

建立此问题的线性规划模型。

4.某医院每日至少需要下列数据的护士:

班次起止时间最少护士数

1上午6时一上午10时60

2上午10时一下午2时70

3下午2口寸—下午6时60

4下午6时一下午10时50

5下午10时一上午2时20

6上午2时一上午6时30

每班的护士在班次开始时上班，连续工作8小时，医院负责人要确定每个班

次应派多少护士值班才能满足需要而又使每日上班的护士最少。建立此问题的线

性规划模型。

5.某饭店准备安排n天所需的餐巾第j天的需要量为。餐巾交洗衣店洗净，

正常洗净需P天后才能送回，加快送洗需q（<p）天即可送回。单位费用分别为

b元及c元，若无旧餐巾使用使用时，则需花a元一-条买新餐巾。问应如何安排

才能使花费最小。建立此问题的线性规划模型.

6.某项资金在今后五年的年初有投资于A和B的机会。在第1年年初投资于

A的每1元，2年后（正好立即投资）收回1.3元（利润0.3元）。在第1年初投

资于B的每1元3年后收回1.5元。此外，还有两个投资于C、D的机会。在第

二年初投资于C的每1元，在第5年末收回1.7元。在第5年初投资于D的每1

元，在第5年末收回1.2元。这项投资以10000元开始。问怎样使投资在第二代

年初能积累的金额达到最大？建立此问题的线性规划模型。

7.一架货运飞机有三个装货舱：前舱、中舱及后舱。这些舱对于重量与占地,

都有如下表所示的定额限制:

舱位重量定额（吨）占地定额（立方米）

.、，一

刖850

中1270

后730

此外，在各舱中货物的重量必须跟该舱的重量定额有同样比例，以便保持飞

机的平衡。在即将到来的一次飞行中，有下列四种货物要装运：

货物重量（吨）体积（立方米/吨）利润（元/吨）

1145100

2117130

3186115

49490

这些货物可承运其任何的一部分。目标是要确定每种货物应当装多少，并且

放在哪个舱位才能使这次飞行的总利润最大。建立此问题的线性规划模型。

8.一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容5000担的仓库。

一月一日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金2000元。估计第一•季度杂粮价

格如下表所示。如买进的杂粮当月到货，担需下月才能卖出，且规定“货到付款”。

公司希望本季末库存为2000担，问应采取什么样的买进与卖出的策略使三个月

总的获利最大？（列出问题的线性规划模型，不求解）

表

进货价（元）

出货价（元）

一月

2.85

3.10

二月

3.05

3.25

三月

2.90

2.95

9.某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万吨、煤油12万吨、重

油12万吨。该厂从A、B两处运回提炼，已知两处原油成分如下表所示。又如

从A处采购原油每吨价格（包括运费，下同）为200元，B处原油每吨为310元，

（a）选择该炼油厂采购原油的最优决策；（b）如A处价格不变，B处降为290

元/吨，最优决策有何改变？

表

A

B

含汽油

15%

50%

含煤油

20%

20%

含重油

50%

15%

其他

15%

5%

10.试述线性规划问题数学模型的组成部分及特征，判别下列数学模型是否

为线性规划模型。（模型中a,b,c为常数；0为可取某一常数值的参变量）

maxz=++

(b)minz=

(c)minz=+

(d)maxz()=

11.分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯型法

迭代的每一步相当于图解法可行域中的那一个顶点。

maxz=+

(b)maxz=+

12.将下列线性规划问题变换为标准形式:

⑴

约束于

(2).

约束于

13.将下列线性规划问题变成标准型

(a)minz=+-+

maxz=-+

14.图解线性规划问题：

约束于

15.图解下列线性规划问题：

约束于

约束条件不变，目标函数改变为

16.用单纯形方法解线性规划：

约束于

17.用单纯形方法解：

⑴约束于

解第1题。

18.考虑问题:

约束于

(1)图解此题；

将问题标准化，并用单纯形方法求解。

19用大M法及两阶段法解线性规划。

约束于

20用大M法及两阶段法解线性规划。

约束于

21.用两阶段法解线性规划

约束于

O

22.考虑问题。

约束于

(1)用单纯形法求解；

(2)用图解法求解。

23.解线性规划:

约束于

24.考虑下列线性规划问题

约束于

O

确定

基本解的最大个数；

基本可行解与可行极点；

最优基本可行解（最优解）。

25.设AX=b的解集为S,且有。

求证：

利用下图证明：凸集上的任意两点连线上的点X在凸集上。

26.设有问题,约束于。它有N个基本解，…。这些解的加权平均值为

求证：这N个基本可行解的任何加权平均值必定是一个可行解。

27.设线性规划问题具有一个有界可行域及多个可行解，求证:

各最优解的每一加权［平均值必定是最优解;

没有其它可行解是最优解。

28.设线性规划问题：

约束于

0

表示为矩阵形式；

以为基变量列出单纯形表。

29用改进单纯形法求解：

约束于

30用改进单纯形法案求解:

(1)

约束于

(2)

约束于

约束于

31.判断下列说法是否正确，为什么？

如线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；

如线性规划的原问题无可行解，则其对偶问题也一定无可行解；

如线性规划的原问题和对偶问题都具有可行解，则原问题和对偶问题一定具

有有限最优解；

已知线性规划问题maxz=CX,AXb,XO。若是它的一个基本解，是其对偶问题

的基本解，则恒有CEMBEDEquation.3EMBEDEquation.3b。

32.已知线性规划问题

=max

若（,，…,）为其对偶问题的最优解。又有另一线性规划问题

=max

其中为某一已知常数，求证：

EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3+

33.已知线性规划问题

minz=+++

写出其对偶解；

已知原问题最优解为=(1,1,2,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问

题的最优解。

34.写出下列线性规划问题的对偶问题：

(1)

约束于

(2)

约束于

35.考虑问题：

约束于

写出对偶问题；(2)解原问题，再求对偶问题的解。

36.通过解对偶问题求下列问题的最优解：

约束于

并且比较原始问题和对偶问题中约束条件的个数。

37.有一个最大化的线性规划问题具有四个非负变量，三个型的约束条

件，其最优表格为：

基解

102明0明0334/3

001切1羽0-Vi14/3

002-100104

0110里0103

根据原始与对偶关系，以两种不同方法求最优目标函数值。

出此问题的对偶问题；

列出对偶问题的最优解。

38.考虑问题：

约束于

证明原始问题和对偶问题都有最优解；

求原始和对偶问题的最优目标函数值的上界和下界。

39.考虑线性规划问题：

约束于

应用互补松弛定理，证明是此问题的最优解。

40.考虑问题：

约束于

写出对偶问题;

求出原始问题和对偶问题中目标函数值之间的关系;

设是所给问题的最优解，而是其最优对偶解，如果将代替b后得最优解，证

明：

4L用对偶单纯形法求解下列问题：

约束于

42.应用对偶单纯形法，证明下列线性规划问题不存在可行解：

约束于

43.用对偶单纯形法求解下列问题：

约束于

44.考虑问题：

约束于

由单纯形法产生的最后方程组为

对下列各种变化进行最优待化后分析，分别独立地求出新的基本解，并指出

其可行性、最优性。其变化如下：

改变右端为

改变目标函数中的系数为

改变目标函数中的系数为

改变的系数为

改变目标函数为

改变约束（1）为

引进新约束

45.某工厂的三种产品的生产受到两种生产原料的数量和的限制，为求最大

利润，计划部门列出一个产品生产计划问题，求得最有单纯形表如下：

基解

1004348

01013-11

0011-122

其中分别为产品1、2和3的生产数量，为松弛变量。

利用最优表格求各产品的单位销售价（单位：元）

增加到多少，仍能使现行生产计划保持最优？当时，求最优解；

有多大变化，仍能使现行生产计划保持最优？

允许有多大变动，仍能使现行生产计划可行？当增加2单位时，用对偶单纯

形法求最优解；

计算这两种生产原料的影子价格；如果能以每单位2元的价格在市场上购入

更多的原料，是否合算？又若的市场价格为5元呢？说明理由。

46.某工厂制造三种产品A、B和C,需要两种资源（劳动力和原材料），目

标是要确定总利润最大的最优生产计划。列出的线性规划模型是:

约束于

其中是产品A、B、C的产量，经求解所得的最优表格如下：

基解

10300130

010如5

0011-卑3

其中为松弛变量。根据最优表格，应用敏感度分析，回答或求解如下问题：

求使现行解保持最优的产品A的单位利润变化范围，并求时的最优生产计

划；

假定能以10元的价格另外买进15单位的材料，这样做是否有利？为什么？

当可利用的材料增至60单位时，求最优解；

由于技术上的突破，产品B的原材料需要量减少为2单位，这样是否会影响

原来的最优待解？为什么？

假定在原问题中，需要增加一个“行政管理”的约束条件；

这对最优原始解和对偶解有何影响？

47.某工厂决定生产四种新产品，这四种产品的生产数量受到两种生产原料

的限制，原料的供给量以及产品的销售价格都还不确定，经调查，计划部门列出

以下线性规划问题：

约束于

其中是未知参数。对于的不同取值，厂方应作出怎样决策?

48.考虑问题：

约束于

用对偶单纯形法求最优解;

假定目标函数变为

研究最优解随的变化（）；

假定约束的右边变为

研究最优解随的变化（）。

49.百货公司去外地采购A、B、C、D四种规格的服装，数量分别为A—1500

套，B—2000套，C—3000套，D—3500套。有三个城市可供应这些服装，供应

数量（各种规格均可）为1—2500套，11-2500套，111―5000套。由于这些城

市的服装质量、运价及销售情况不一样，估计售出后的利润（元/套）也不一样，

祥见表1—34

表1-34

A

B

C

D

I

10

5

6

7

II

8

2

7

6

Ill

9

3

4

8

请帮助该公司确定一个预期盈利最大的采购方案。

50.某化学公司有甲、乙、丙、丁四个化工厂生产某种产品，产量分别为200、

300、400、100吨，供应I、II、III、IV、V、VI六个地区的需要，需要量分别

为200、150、400、100.150、150吨。由于工艺、技术等条件差别，各厂每公

斤产品成本分别为1.2、1.4、1.1、1.5元，又由于行情不一样，各地区销售价为

每公斤2.0、2.4、1.8、2.2、1.6、2.0元。已知从各厂运往各销售地区每公斤产品

运价如下表所示。

表

I

II

III

IV

V

VI

甲

0.5

0.4

0.3

0.4

0.3

0.1

乙

0.3

0.3

0.9

0.5

0.6

0.2

丙

0.4

0.4

T

0.6

0.4

0.2

0.6

0.5

0.8

如第m地区至少供应io。吨，第VI地区的需要必须满足，试确定使该公司获

利最大的产品调运方案。

51.某造船厂根据合同要在当年算起的连续三年年么各提供三条规格相同的

大型货轮。已知该厂今后三年的生产能力及生产成本如下表所示

表

年度

正常生产时可完成的货轮数

加班生产时可完成的货轮数

正常生产时每条货轮成本

第一年

2

3

500万元

第二年

4

2

600万元

第三年

1

3

550万元

已知加班生产时每条货轮成本比正常生产时高出70万元。又知造出的货轮

如当年不交货，每条货轮每积压一年增加维护保养等损失为40万元。在签订合

同时该厂已有两条积压未交的货轮，该厂希望在第三年末在交完合同任务后能存

储一条备用，问该厂应如何安排计划，使在满足上述要求的条件下，使总的费用

支出为最少？（列出运输问题的产销问题的产销平衡表和单位运价表，不具体求

解）

52.求下列运输问题的最优解:

27425

36535

102515

53.考虑下列运输问题，其中收点3必须正好满足，求最优解:

51710

64680

32515

752050

54.某公司有三个工厂和三个客户。这三个工厂在下一时期将分别制造产品

3000、5000、和4000件。公司答应卖给客户1的数量为4000件，卖给客户2

为3000件，卖给客户3至少1000＜（客户3与客户4还想尽可能多地购买剩下的

产品。工厂卖给客户j的单位产品利润如下：

客户1234

工厂

165636264

268676562

363605960

问如何安排生产和供应才使总利润最大？

用表格形式列出此问题的运输模型；

解此问题的最优解。

90.某厂生产一种产品，每个季度的需要量可由正常生产和加班生产来满足,

但不能缺货。正常生产时单位产品的成本是200元，加班生产的单位成本为300

元。单位产品存储一个季度的费用为10元。该厂生产这种产品的每季正常和加

班生产能力以及需要量如下；

季度正常生产能力（台）加班生产能力（台）需要量（台）

110050120

215080200

3100100250

420050200

要使总成本最小，应如何安排这四个季度的生产?

用表格形式列出此问题的运输模型；

求此问题的最优解。

55.设有两家工厂给三个商店供应某种产品,工厂1和工厂2供应的件数是

200和300；商店1、2、和3的需要量各为100、200和50件。运输时允许转运。

单位运费如下：

厂260543

商172051

215104

店389760

求最优运输方案。

56.证明：如果把常数加到费用矩阵的每个元素上，运输问题的最优解仍保

持不变，且目标函数值增加一个常数。

57.某工程施工队拥有甲、乙、丙和丁四种型号的拖拉机，A、B、C和D四

种型号的铲运机。不同型号大拖拉机牵引不同的铲运机时，每班铲土的生产率各

不相同（如下表），其中拖拉机丁不能牵引铲运机Co要每班的生产率最大，拖

拉机和铲运机应如何搭配？

铲运机

ABCD

拖甲1841

拉乙5754

丙3563

机丁312

58.某游泳队教练员需选派一组运动员去参加码混合接力赛，候选的运动员

有甲、乙、丙、丁和戊五位，他们游仰泳、蛙泳、蝶泳和自由泳的成绩，根据统

计资料算得的平均值）以秒计）如下：

教练员应选派哪四名运动员，各游哪种姿式，才使总成绩最好？

甲乙丙T戊

仰泳37.732.933.837.0

35.4

蛙泳43.433.142.234.7

41.8

蝶泳33.328.538.930.4

33.6

自由泳29.226.429.628.5

31.1

59.某厂的三部机器在计划期内需制造2000件某种产品，每部机器的生产准

备费，每件产品的生产成本和计划期内的最大生产能力如下表：

机器生产准备费每件产品生产成本生产能力（件）

110010600

22002800

330051200

问题是要制定一个生产计划，使所需产量的总成本最小。建立此问题的整数

规划模型。

60.某公司有四个可能的地点可以建仓库（W）.在地点建立一个仓库的费用

元。公司有九个零售点（R）,每个零售点至少必须由一个仓库供货，但不可能由

一个仓库供应全部的零售点，如下图所示：

问题是要决定各仓库应建在什么地点，才能使总费用最小。建立此问题的整

数规划模型。

61.考虑一个有三种主要元件的电器设备的设计问题。这三个元件是串联的,

所以任何一个元件的故障将使整个设备不能运行。设备的可靠性（没有故障的概

率）可以通过在每个元件上安装并联的（备用的）元件来改建，每一个元件可以

并联0、1或2个元件。现有10000元资金可以利用。元件的可靠性（）和单位成

本如下表。目标是对元件确定并联几个，才能使得在不超过10000元资金的条件

下系统的总可靠性达到最大。建立此问题的整数规划模型。

元件可靠性成本（千元）

10.52

20.73

30.61

62.某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻

探费用最小。若10个井位的代号为、、……、，相应的钻探费用为、、……、，并

且井位选择上要满足下列限制条件：

①或选择和，或选择钻探；

②选择了或就不能选，或反过来也一样；

③在、、、中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。

63.对下列整数规划问题，问用先求解相应的线性规划问题然后凑整的办法

能否求得最优整数解？

（a）maxz=+

(b)maxz=+

64用分支定界法求解下列整数规划问题:

(a)maxz=+

(b)maxz=+

(c)maxz=-+10

(d)maxz=++

65.考虑下列数学模型：

约束于