和1. 欣赏算术和的珍品

/万物皆数,若没有数，则既不能描述也不能理解任何事物。-毕达哥拉斯1.1欣赏算术和的珍品我们很小就开始学数数了，抱在妈妈的怀抱里，扳着手丫,1,2，３，……的学着。过了些时候,妈妈伸出左手的一个手指,又伸出右手的两个手指，要我们数,妈妈说“这叫1加2等于3”。后来到了学校，老师又告诉我们,３就是1与2的和.人类最早对自然数与和的认识也是这样开始的:1块石头,２块石头,合起来3块石头；１只羊，２只羊，合起来3只羊。我们，我们的子女，子女的子女就这样一代又一代的重复着这样数数、加法、求和。一直到现在，很少有人怀疑、追究这个简单合理的结论。除非你是专门学数学的，才有可能知道1+2等于3的逻辑依据。在这一节里，我们要追究算术中“和”的意义，并欣赏和的名题。1。1。1为什么1+２＝３？反思我们小时候对加法的学习，确实是非理性的,完全是老师和家长向我们的脑子里灌进去而记住了二加三等于五，五加七等于十二之类的口诀而已;认真思考起来，究竟自然数是如何定义的,加法、和是什么，为什么1+2=3，２+3＝5，等等，确实是一个迷茫而严肃的数学问题.把数与数的性质、数与数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来,并加以整理，就形成了最古老的一门数学—算术。她是数学中最基础、最初等的部分，也是数学最简明的出发点。历史上不少人认为,所有经典数学都可以从自然数推导出来。可是，一直到十九世纪末，却很少有人解释过什么是数？什么是0？什么是1?这些概念被认为是最基本的概念，它们是不是还能进一步分析,这是一些数学家关心的问题。因为一旦算术有一个基础,其他数学部门也就可以安安稳稳建立在算术的基础上。什么东西可以作为算术的理论基础呢？在历史上有三种办法:１。数学家康托尔的基数理论，把自然数建立在集合论的基础上,每一个自然数都表示一类等价非空有限集合的共同特征；2．逻辑学家弗雷格和罗素把数完全通过逻辑词汇来定义，把算术建立在纯逻辑的基础上；３.用公理化的方法通过数本身的性质来定义,其中最有名的意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。也称皮亚诺公设,根据这五条公理可以建立起一个算术系统，也称皮亚诺算术系统。1889年，皮亚诺发表了他的《算术原理：新的论述方法》、《数学论集》，后来又接连五次出版了《数学论集》的续集，明显地做了两件事：第一,把算术建立在几条公理之上；第二,公理都用新的符号来表达.皮亚诺每一次都把他提出的五个公理作为算术的基础，并且引用三个基本符号:０、后继、自然数.公理lO是自然数.公理２任何自然数的后继是自然数.公理30不是任何数的后继。公理4不同的自然数后继不同。公理５对于某一性质，若０有此性质，而且若某自然数有此性质时，它的后继也有此性质，则一切自然数都有此性质(数学归纳公理)。皮亚诺公理是建立在归纳基础上的，体现了数学思想方法.根据皮亚诺公理可以解决下列问题:1。什么是自然数？例如３是什么?3是2的后继．2呢？2是１的后继,l呢？l是0的后继,0呢?0是排头兵，它不是谁的后继,是自然数的起点。2。什么是自然数加法？一个自然数生出它的后继的过程就是加法，记成O+1=1，1+１=２，2＋1＝3,3+ｌ＝4,一般地，自然数a＋1就是a的后继。3.为什么1+2=3？2+3=5?现在可以证明如下：1＋2=1＋（1＋1）＝(1+1）＋1=2＋1=3，除了第二步是根据结合律得到，其余都是根据“后继”而推出的的。同样，2＋3=2+（2＋1）=２+(1＋1)+1=（2+1）+1+１=3＋4+１=5.4.什么是两个自然数a、ｂ+1的和？即ａ+(b+1）=（ａ＋b)+１。这里，和是用归纳定义的,就是说a与b的后继的和等于（a+ｂ)的后继。由此可见,0，１,2，3，……这些自然数是和睦的一家,从0开始,他们一个挨着一个，是由不可分割的个体组成的一个整体。两个自然数的和还是自然数,显示了他们的亲和关系。加法具有交换律、结合律,更加显示了他们的之间的平等和合.这,正是数学具有和谐美的开端。在自然数和的基础上，两个分数的和、小数的和也就可以逐步温和有序的展开了.例如,对于自然数，，,,那么分数与的加法就定义为:+=，“和”是几个数相加的结果。1．1。2怎么会5+8＝６？如果今天星期五,8天后星期几？不要扳手指,你就会回答:星期六.不就是5+8＝６吗？现在手表上5点钟，8小时后几点？5+8=1３,１3-12=１,１点。下午1点,你还会补充说。不过如果下午５点问你的话，你就会说是明天凌晨1点.不管怎样,在这里5+8＝1。在日常生活中我们经常会遇到类似的问题。这些问题不难解决，但与自然数的加法似乎有点不同。归纳引申这些问题,人们又发现了有限集合上的加法运算。查阅《现代汉语词典》上加法词目，词典称:“加法，数学中的一种运算方法。最简单的是数的加法，即两个或两个以上的数合成一个数的计算方法。”这种解释实在科学,例如它只说“合成一个数",并不说这个数（我们称其为和）是多少。５+８=6也好，5+8=1也罢，我们没有必要为“和"的不同而对加法产生疑问，至多在记法上要注意区分而已.有限集合上的加法运算可以这样定义：给定一个数的集合Ｚn=｛0，1,2,…，ｎ-１},，是Ｚn中的任意两个数,对于自然数的加法“+”，我们规定:⊕=。（其中⊕表示集合Zn上的加法）于是,当ｎ=7时，就是星期的加法;当n＝12时,就是钟点的加法.不难验证，对于任意的自然数n,可以证明，这个加法⊕运算，仍然具有交换律、结合律，和还在集合Zn中。这有限个自然数依旧和睦地相处在一起。我们把集合Ｚｎ叫做以ｎ为模的整数群（群即规定了一种运算的集合，它的严格定义在1．5介绍)。⊕0１00⊕0１00１110就是说0⊕０=0,０⊕1＝１，1⊕0＝1，１⊕1=０.如果把偶数可作0,奇数看作1，按照普通的加法“+”，就是集合Ｚ2内的加法⊕的一个例子.再注意电灯开关,你用指头按一下，它就为开了，再按一下,它就关了,如果把关灯状态记成０,把开灯状态记成1,不就是这个加法吗?从星期几的加法、几点钟的加法到电灯开关的加法,可见,有限集合上的加法运算同样有着确凿的实际背景与广泛的实际应用。给定一个数的集合Zn=｛0，１，2,…,n-１｝,，是Zｎ中的任意两个数，定义在Zn上的进位加法,实际上就是数的n进制的加法。只要稍微改变一下加法“⊕”的定义就可以了：+=.其中个位数c在n〉９时可以用其他字母表示，例如，在Z1２上,１2进制的加法，１0记为p，１1记为q，于是，3＋7=ｐ，3＋8=q,3+9＝1０.在Z8上5+7=1４;特别地，在Z2上1+1=1０。1110+1010110０011即使对于大些的自然数，我们同样可以与小学算术的加法一样,用竖式进行。例如十进制的１4+21,1110+1010110０011二进制里的100011就是十进制里的3５.总之，无论是对于普通加法，还是有限集合上的加法⊕、进位制的加法+,尽管加法的定义不完全相同,计算的结果“和”也不相同，但是,处理的数学思想方法是一致的,加法满足的运算定律是相同的，结果在一定条件下也是可以互相转化的，就是说上述各种加法与“和”是和谐的。加法与和是客观事物的抽象,加法与和的和谐，正说明这些被抽象出来的不同客观事物也是和谐的。美国数学家R•柯朗在他的名著《数学是什么》这本书中写道：“数学作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念,深入细致的思考,以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉、分析和构作、共性和个性,虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。”1．1．３.算术和的名题算术与几何是最原始的两个数学分支。传统的几何学的所有问题都得到了比较完美的解决。而传统的算术在发展过程中，由于实践和理论上的要求,却积累了越来越多的问题,成为难以穿越的密林。特别是对自然数性质的研究，发展成为脱离了古算术而独立的一个数学分支，叫做整数论，或叫做初等数论.这里,简单介绍在古算术、整数论中,与“和”有关的几个典型问题，有趣而美丽、奇特而珍贵。河图洛书我国古代有许多神奇的传说，其中“河图"“洛书"的故事是与“和”有关的,具有神秘色彩。相传在伏羲时代,从黄河里跳出来一匹龙马，龙马背上旋毛的图形引起了伏羲的兴趣.他反复观察,发现其中隐含着很多天机,于是便绘制成“河图”。图中绘有黑白点55个,黑点表示阴数，为偶数,白点表示阳数，为奇数。用直线连成1０个数字，除中数5外分3层,中数加第2层数为外层数。中间为土,土生万物，外层分别为水、木、火、金。后来，河图逐步发展为八卦。相传到了大禹治水的时候，洛水中有一只神龟浮出.龟背上裂纹形似文字,大禹把它记录下来，认为这是天赐给他治水用的宝图，后人称为“洛书”。洛书图中绘有黑白点45个，用直线连成9个数字，构成方阵。该数字方阵的任意一行、任意一列、两对角线的数字和都是1５。南宋数学家称为“纵横图”，这是世界最早的矩阵，又称为“幻方”。历史上引起很多人的研究，现在人们把它推广到“数独"，并且举办了世界大学生的数独竞赛,设计出各种行列相等、和谐的“和”。完美数一个数恰好等于他的全部真因数的和，叫做完美数。例如6=１+2+３，２8=1+2＋4+7＋14等等。而1２、１4的全部真因数和分别为1+2+3+４+6=16〉1２，1+2＋7＝1０＜14。像12这样小于它的真因数之和的叫做亏数；大于真因数之和的(如14)叫做盈数。古希腊人非常重视完美数,并且视６为喜庆、健康、和美。大约在公元１00年,尼哥马修斯发现了10，１0０,1000，10００0分档之间唯一的四个完美数：6、28、4９6、8１２８,并且写了第一本专门研究整数的书《算术入门》，其中写道：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；所以盈数和亏数非常之多，而且紊乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完美数则易于计数，而且又顺理成章……,它们具有一致的特性；尾数都是6或８,而且永远是偶数。”完美数还有许多有趣的性质,例如：(１）它们都能写成连续自然数之和:6=1＋2+3，8=1＋2+3+４＋5＋6+7,496=1+2+３+4+……＋31,8128＝1+2+３+4＋……＋１２7等等。（2）它们都是某些自然数幂的和:6＝2+２２,28=2２+23+24=13＋３3，4９6=13＋33+53+73,8128=1３+３3+５3+…＋153等等.（3）它们的全部因数的倒数之和都是２：,等等。完美数简直就是“和”与和谐美的完美代表。古希腊数学家欧几里得的不朽之作《几何原本》里证明了当2n—1是素数时，2ｎ－1(2n—１）是完美数，这个完美无瑕的证明，传颂古今。人们认为这是数学史上为数不多的珍品，其证明方法点燃起数学原野上耀眼的星火，后来终长燎原之势:近代数论诞生了。1993年,利用计算机发现了第32个完美数,ｎ＝756８39时2n－１（2n—1）是一个有45５６62位的完美数.是否可以证明不存在奇完美数？完美数是否有无限多个?等等，人们还在追求完美数的更加完美。亲和数如果两个数a和b,ａ的所有真因数之和等于b，b的所有真因数之和等于ａ，则称a与b是一对亲和数。如，284的真因数1,2,4,71，142的和等于22０，2２0的真因数1，２,4,5，1０，11，２0，22，44，55，110的和等于284，220与284是人们最早发现的一对亲和数。据说,毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时,存在着数的作用吗?"毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象22０和28４一样亲密.”又说“什么叫朋友？就象这两个数，一个是你,另一个是我。”后来，毕氏学派宣传说:人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”。从此，把220和28４叫做“亲和数”或者叫“朋友数”或叫“相亲数”。这就是关于“亲和数”这个名称来源的传说。在以后的150０年间,世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想,有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获.直到费马才发现了另一对亲和数:17296和1８416。两年之后,“解析几何之父"——法国数学家笛卡尔也宣布找到了第三对亲和数9437５０6和9３63584.1747年，年仅3９岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数,后来又扩展到６0对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程。欧拉采用了新的方法,将亲和数划分为五种类型加以讨论。欧拉超人的数学思维，解开了令人止步2５00多年的难题，使数学家拍案叫绝.到了1923年,数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了1０95对亲和数，其中最大的数有25位。同年,另一个荷兰数学家里勒找到了一对有１52位数的亲和数.用计算机对所有1０0万以下的数逐一进行检验，总共有４２对亲和数,发现１0万以下数中仅有13对亲和数。但没有发现奇、偶相亲的亲和数，肯定没有吗？还有待证明.古老的亲和数后来又被推广为亲和数链：第一个数的所有真因数之和等于第二个数,第二个数的所有真因数之和等于第三个数，…，第n个数的所有真因数之和等于第一个数，称为ｎ项亲和数链.人们已经发现了３项链、５项链、28项链，真是叹为观止了.1９00年德国数学家哈塞，发现并证明了亲和数的一个妙趣横生的命题：“一对亲和数各自真因数及其本身倒数和的倒数和是１"。这又是一个具体的“和”与和谐美紧密联系的佳例。4．哥德巴赫猜想德国数学家高斯说过