山西省怀仁市大地学校高一数学下学期第三次月考试题

山西省怀仁市大地学校2020-2021学年高一数学下学期第三次月考试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数（位虚数单位）在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是A.平均数 B.标准差 C.众数 D.中位数3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A.2 B.4 C.6 D.124.已知非零向量，若，且，则的夹角为A. B. C. D.5.设为平面，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A.若∥，∥，则∥ B.若，∥，则

C.若，，则∥ D.若∥，，则6.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A.16 B.13 C.-8 D.-16.8.如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是A.者 B.事 C.竟 D.成9.已知向量不共线，，，若∥，则A.﹣12 B.﹣9 C.﹣6 D.﹣310.如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20].估计样本数据的第60百分位数是A.14 B.15 C.16 D.1711.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面，满足CP⊥平面，则平面与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为A. B. C. D.12.若圆锥W的底面半径与高均为1，则圆锥W的表面积等于A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若复数满足方程，则

.14如图，在平行四边形ABCD中，分别为AD，AB上的点，且，交于点.若，则的值为

.15.向量是单位向量，，，则16.如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值

，最大值

.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；18.（本小题满分12分）如图，在矩形中，和分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中∈R，求的值.19.（本小题满分12分）已知在四面体中，，，点分别为棱上的点，且.（Ⅰ）当时，求证：∥平面；（Ⅱ）当变化时，求证：平面⊥平面.20.（本小题满分12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱中，是的中点.

（1）求证：⊥平面

（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史.明代万历十一年（1583年）的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护.某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理.根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x个（x∈N，0≤x≤240），销售利润为y元.（ⅰ）求y关于x的函数关系式；（ⅱ）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650元的概率.22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，⊥平面，，，分别是的中点.（1）求证：∥平面；（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积.大地学校高一数学第三次月考试题答案一、单选题（本大题共12小题，共60分）复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，直接由复数求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：复数为虚数单位在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．

故选D．2在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数【分析】根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论．【解答】解：设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi＝xi﹣5，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选：B．3已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A.2

B.4

C.6

D.12【答案】C【解析】【分析】本题考察直观图与原图的关系，以及棱柱的体积公式，属于基础题．

依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2，高为2，可求出柱体的底面面积，再依据棱柱体积公式可求出答案．【解答】解：设三棱柱的底面三角形为，由直观图可知，，

且，，

故．

故答案选C．4已知非零向量，，若，且，则与的夹角为A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解本题的关键是由垂直求出数量积为0．由向量垂直可得，结合数量积的定义表达式可求出，又，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小．【解答】解：因为，

所以，因为，

所以，

．故选：B．5设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．【解答】解：若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；若，，则或，故C错误；若，，则，或，或b与相交，故D错误．故选：B．6已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A.B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力．设底面半径为，根据线面角的大小可得母线长为2r，再根据三角形的面积得到r的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案．【解答】解：如图所示，设底面半径为，与圆锥底面所成角为，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C．7已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A.16B.13C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题．根据方差的性质直接计算可得结果．【解答】解：由方差的性质知：新数据的方差为：．故选：A．8．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，进一步求出结果．【解答】解：根据正方体的表面展开图，复原成正方体．如图所示：其中“者”在最里面，“有”在最外面．构成对面关系．故选：A．9．已知向量不共线，，，若，则m＝（）A．﹣12B．﹣9C．﹣6D．﹣3【分析】由向量平行的性质得3+＝λm+λ（m+2），由此能求出m．【解答】解：∵向量不共线，，，，∴3+＝λm+λ（m+2），∴，解得λ＝﹣1，m＝﹣3．故选：D．10．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16 D．17【分析】由频率分布直方图，根据样本数据的百分位数列方程求出即可．【解答】解：由频率分布直方图知，第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.10×5＝0.5，设样本数据的第60百分位数是x，则0.2+0.10（x﹣10）＝0.6，解得x＝14，所以估计样本数据的第60百分位数是14．故选：A．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12 C．8D．8【分析】取AD中点E，AB中点F，连接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，先证明E，F，B1，D1四点共面，再由EF⊥CP，D1E⊥CP证明CP⊥平面EFB1D1可知平面EFB1D1为平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，根据正方体的棱长即可求得EFB1D1的周长．【解答】解：取AD中点E，AB中点F，连接PD，D1E，EF，B1F，B1D1，AC，如下图所示：E为AD中点，F为AB中点，则EF∥BD，BD∥B1D1所以EF∥B1D1所以E，F，B1，D1四点共面．根据正方形性质可知CD⊥平面ADD1A1，而D1E⊂平面ADD1A1，所以CD⊥D1E，A△D1DE≌△DAP，可知∠ED1D＝∠PDA，而∠PDA+∠PDD1＝90°，所以∠ED1D+∠PDD1＝90°，即PD⊥D1E为CD∩PD＝D，所以D1E⊥平面PDC，而CP⊂平面PDC，所以D1E⊥CP；E为AD中点，F为AB中点，由正方形和正方体性质可知EF⊥AC，PA⊥EF，且PA∩AC＝A，所以EF⊥平面PAC，而CP⊂平面PDC，所以EF⊥CP，又因为D1E⊥CP，D1E∩EF＝E所以CP⊥平面EFB1D1即平面EFB1D1为平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4所以EFB1D1的周长为B1D1+D1E+EF+B1F＝＝，故选：A．12．若圆锥W的底面半径与高均为1，则圆锥W的表面积等于（）A． B．C．2π D．【分析】求出圆锥的母线长，再计算圆锥的侧面积和表面积．【解答】解：圆锥的轴截面如图所示，则圆锥的母线为l＝＝，所以该圆锥的侧面积为S侧面积＝πrl＝π•1•＝π，圆锥的表面积为S表面积＝S侧面积+S底面积＝π+π•12＝（+1）π．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13若复数z满足方程，则．【答案】【解析】【分析】本题考查复数的计算，属基础题．根据题意可得，然后根据复数的乘法可得结果．【解答】解：由，则，所以，

所以，故答案为：14如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为．【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属基础题．

用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值．【解答】解：根据题意，

，因为三点共线，

所以，解得．故答案为．15．向量是单位向量，||＝2，⊥，则||＝．【分析】由题意可得，进行向量的模的运算带入求值即可得答案．【解答】解：∵⇒；∴||＝＝．故答案为：．16如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值，最大值．

【答案】,11【解析】【分析】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题。由题意，直线OP与平面所成的角的最小值为和中的最小者，然后利用正方体的性质和直角三角形的边角关系，求出的取值范围，再确定其最值【解答】解：连接，，

因为，平面，所以平面，

又平面所以平面平面，所以直线OP与平面所成的角的最小值为和中的最小者，不妨设，在中，，，所以的取值范围为，所以的最小值为，最大值为1，故答案为：；1．三、解答题（本大题共6小题，共70分）22(10分）．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；【分析】（1）根据频率分布直方图求出a的值；（2）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．【解答】解：（1）根据直方图知组距＝10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10＝1，解得a＝0.005．（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20＝2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20＝3．17（12分）如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中，R，求，的值．【答案】解：因为，，

在矩形OACB中，，

又，

所以，，

所以．【解析】本题考查平面向量基本定理，属于基础题．

根据题意得出，则，由此即可求出结果．18（12分）．已知在四面体ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，且BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．（Ⅰ）当λ＝时，求证：AM∥平面EFG；（Ⅱ）当λ变化时，求证：平面ADM⊥平面EFG．【分析】（Ⅰ）当λ＝时，，推导出EF∥AB，EG∥AC，从而平面ABC∥平面EFG，由此能证明AM∥平面EFG．（Ⅱ）推导出AM⊥BC，DM⊥BC，BC∥GF，从而BC⊥平面ADM，GF⊥平面ADM，由此能证明当λ变化时，平面ADM⊥平面EFG．【解答】证明：（Ⅰ）当λ＝时，，∵四面体ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，∴EF∥AB，EG∥AC，又EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，∴平面ABC∥平面EFG，∵AM⊂平面ABC，∴AM∥平面EFG．（Ⅱ）∵AB＝AC，DB＝DC，点E，F，G，M分别为棱AD，BD，DC，BC上的点，BM＝MC，DF＝2FB，DG＝2GC，AE＝λAD（0≤λ≤1）．∴AM⊥BC，DM⊥BC，BC∥GF，∵AM∩DM＝M，∴BC⊥平面ADM，∵GF∥BC，∴GF⊥平面ADM，∵GF⊂平面EFG，∴当λ变化时，平面ADM⊥平面EFG．19（12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．

求证：平面

求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】证明：直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

，

，D是BC的中点，

，

又，BC、平面，

平面．

解：如图，连接，

由可知，平面，

则即为直线与平面所成角，

因为平面，平面，

所以，

在中，，，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．【解析】本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题．

由题意，可得到，并且，从而由线面垂直的判定定理可得到平面；

连接，可得到为直线和平面所成角，即可得解．本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，属于中档题．

由题意，可得到，并且，从而由线面垂直的判定定理可得到平面；

连接，可得到为直线和平面所成角，即可得解．20（12分）“肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史．明代万历十一年（1583年）的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护．某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为每个15元销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理．根据该超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为x个（x∈N，0≤x≤240），销售利润为y元．（ⅰ）求y关于x的函数关系式；（ⅱ）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润y不小于650元的概率．【分析】（1）先利用各组频率之和为1，求出a的值，再利用每组区间的中点值乘以该组的频率依次相加，即可估算出平均数；（2）（i）分情况讨论，得到y关于x的分段函数的函数关系式即可；（ii）利润y≥650，当且仅当日需求量x∈[140，240]．由频率分布直方图求出x∈[140，240]的频率，以频率估计概率的思想，能估计当天利润y不小于650元的概率．【解答】解：（1）由题意可知：（0.00125+a+0.0075+0.00625+a+0.0025）×40＝1，解得a＝0.00375；所以平均数＝（20×0.00125+60×0.00375+100×0.0075+140×0.