正弦函数、余弦函数的图象教学设计

人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章三角函数—.4.1正弦函数、余弦函数的图象执教人：余文萍（安徽省来安中学）一、课时内容分析（一）课时教学内容本节课主要学习内容有正、余弦函数图象，以及五点作图法、变换作图法等作图方法。（二）教学内容解析本节课是在学生已经学习了任意角、弧度制、任意角三角函数的定义、诱导公式等知识的基础上进行学习的，主要是对正余弦函数的图象进行系统的研究，既是前面所学内容的延续和深化，也为后面学习三角函数的性质奠定了方法和知识的基础，起着承上启下的作用。正弦函数和余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究遵从从图象到性质的研究，可以类比指数函数、对数函数展开研究。对于画正弦函数的图象，教材突出了单位圆的作用，充分利用了三角函数周期性的特点，从画函数图象上任一点出发，明确作图的原理，再画出具有代表性的点，初步感受图象的特点，最后画出足够多的点，得到对正弦图象的直观认识。借助已知的正弦函数图象来画余弦函数的图象，加强了两者的联系，体现了化归思想。（三）课时教学重点对正弦函数图象的构造和认识过程是本节课的一个重点，也是一个难点。主要从以下四个方面加以设计：突出正弦函数周期性的特点.作为描述周期现象的典型函数模型，它的周期性可以帮助简化函数的作图过程，直观想象函数的图象的整体图形特征。根据周期性，可以将实数集范围的作图问题归结为区间内的作图问题。在这里的周期性可以通过点在单位圆中运动时函数值周而复始重复出现的直观性和诱导公式的代数特征感性认知。直接描点作图不仅不够精确，也剥离了函数图象与定义之间的内在逻辑关系，不利于学生知识的整体性和联系性，教学中可以借助单位圆为工具作出正弦图象上任意一点，让学生体会几何作图法。借助数学作图软件描出任意多的点，达到点多成线的直观效果，使学生进一步理解任意一点与整体图象之间的联系，理解图象的形成。从区间的局部图象到实数集R上的整体图象，教学中可利用信息技术左右平移图象，呈现整体生成图象的过程。二、学生学情分析（一）认识基础分析在初中学生已经学习过描点作图法（列表、描点、连线），在高中已经学习了指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数，具有了一定的函数研究经验，对于函数图象问题已经掌握了图象平移、翻折等方法，对于作正弦函数图象和平移得到余弦函数图象打下了一定基础。（二）学习障碍预测1.高一学生对于作图还停留在描点法，对利用定义的几何意义绘制图象是第一次，因此在思维习惯上存在障碍。2.在做正弦图象时，如果自变量随便取值，则可能出现无理数，无法确定在轴上的位置，或者正弦值无法准确确定下来，所以正弦图象上任意一点的确定是学生要解决的一大障碍。3.自变量的几何意义的理解，角如何对应到轴上的。4.如何想到从诱导公式入手，平移正弦曲线得到余弦曲线。（三）课时教学难点1.掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象。正弦图象上任意一点的做法，蕴含了函数图象整体的构成原理，在教学时可以两方面来加以突破。一方面可以利用信息技术直观展示，另一方面可以借助单位圆的模型动手操作通过缠线、皮尺测量、滚轮等方法确定横坐标，测量、平移线段来确定纵坐标，从而确定具体点。然后再通过ggb动态演示，使抽象的问题具体化、形象化，有利于学生的认知和理解。借助已知的正弦函数图象来画余弦函数图象。教学时，要引导学生发现图象平移的本质，即若点在函数的图象上，则点一定在函数的图象上，反之也对。可以借助信息技术动态直观呈现函数图象上每个点的生成过程，从而得到余弦曲线。三、课时教学目标：（一）课时教学目标1.借助正弦函数的定义和单位圆，经历绘制正弦函数图象的过程，掌握几何描点法；2.会使用五点法绘制正弦函数简图；3.在分析正弦函数、余弦函数相互关系的基础上，经历绘制余弦图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想。（二）教学目标解析教学目标知识与技能（学什么）学习活动（怎么学）课标要求期望表现（能做什么）了解理解掌握运用目标1会用几何描点作正弦函数图象先学生小组协作实际操作作图，再教师Ggb动态展示正弦图象生成过程。√学生通过小组讨论能用几何作图法描点作出正弦函数在上的图象目标2会五点作正弦函数简图让学生观察正弦函数图象确定作图的关键点√能确定出五个关键点目标3平移余弦函数图象通过诱导公式找到正弦函数和余弦函数的联系√通过诱导公式的关系，得到图象之间的关系，平移正弦函数图象得到余弦函数图象四、教学评价量表教学目标水平一水平二水平三目标1能独立用几何作图法快速作出正弦图象小组协作情况下基本会用几何作图作出正弦函数图象能理解的几何意义目标2熟练运用五点法做正余弦型函数简图能用五点法作出较为简单的正余弦型函数图象能用五点法作出正余弦函数图象简图目标3会几何描点法作余弦函数图象，能理解正弦曲线平移成余弦曲线能理解平移得到余弦曲线会作余弦函数图象简图五、教学策略与手段（一）研究路径分析本节课研究的是正弦函数、余弦函数的图象，研究路径是从单位圆和正弦函数的定义出发，以单位圆为工具分析出正弦函数的周期性特点，从而确定研究区间为，再通过平移的图象得到正弦曲线，再通过把正弦曲线向左平移得到余弦曲线。（二）外部条件支持1.希沃白板教学系统。2.数学作图软件Ggb的图形动态直观演示。3.实物描点模型，比如线、皮尺、圆尺、硬纸画板等道具。（三）教学策略分析本节课采用“启发探究”式教学，以类比思维作为教学主线，以自主探究、交流合作作为学生的学习方法，采用多媒体辅助教学，具体设计如下：1.环节一：复习引入，主要以提问，学生思考回答为主。2.环节二：探究正弦函数图象，以问题引导学生探究，Ggb动图演示、投屏展示，结合学生实物操作，达到突破难点的目的。3.环节三：探究余弦函数图象，启发学生思考，Ggb动图展示为主。4.环节四：新知应用，启发学生从不同角度思考、解决问题，一题多解，最后动图展示。5.环节五：课堂小结，先学生思考发言，后教师完善，用思维框图展示。六、教学过程设计（一）环节一复习引入问题1本单元我们学习了一类新的函数——三角函数，那么请大家结合我们学过的指数函数、对数函数的学习经验回顾一下，研究一个新的函数的一般路径是什么?【学生预期表现】学生回忆指数函数、对数函数的研究路径为：情景→定义→图象→性质→应用，从而确定本节课的研究内容。【设计意图】规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习进程，形成整体观念。（二）环节二探究正弦函数图象问题2正弦函数的定义是什么？问题3观察几何画板中的图，当P点在单位圆上逆时针运动时，你们能看出角α的正弦值呈现什么样的变化规律呢？追问我们前面学习了很多诱导公式，有没有哪个公式可以解释正弦值周而复始变化这个现象？【学生预期表现】学生回忆正弦函数的单位圆定义，以及借助单位圆观察动态图形分析出正弦值周而复始的变化规律。【设计意图】借助单位圆的几何直观，发现正弦值周而复始变化规律，简化研究的区间。培养学生数形结合思想，让学生明白研究函数性质也可以从几何直观的角度，进一步培养学生的直观想象、逻辑推理的核心素养。问题4如何作出正弦函数图象呢？我们绘制一个新函数图象的基本方法又是什么？【学生预期表现】学生回忆初中学过的最简单的作图方法——描点法。并尝试用描点法作正弦函数图象，从而发现困难，并分析出解决困难的关键所在。【设计意图】培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。问题5对于单位圆上的任意角,如何确定点P(，)在平面直角坐标系中的位置？追问1的几何意义是什么？如何确定它在轴上的位置？追问2的几何意义又是什么？如何把它在轴上表示出来呢？追问3用作图软件我们可以轻而易举的解决描点问题，在实际操作中，如何解决这两个关键问题呢？如何来画正弦函数图象？请大家动手试一试.【学生预期表现】学生根据定义思考分析出，代表的几何量。师生通过讨论后，共同通过提前准备的工具尝试绘制这个点，进而几何描点作正弦函数图象.【设计意图】教师引导学生从一个特殊点出发，剖析一个点的画法，从而发现正弦函数与以往所学函数的不同，进一步深化对正弦函数定义的理解．通过分析点的坐标的几何意义，现场动手操作，领会数与形的完美结合.我们已经可以在实际操作中作出较为准确的正弦函数的图象，下面我们再来看一下利用数学作图软件Ggb是如何描点作图的.【设计意图】通过动图演示让学生直观感受正弦函数图象的形成过程，同时体会信息技术对数学研究带来了便捷.问题6根据得到的的图象，能画出的图象吗？能画出的图象吗？能得到正弦函数的图象吗？【学生预期表现】结合单位圆中发现的正弦值周而复始变化规律，很容易知道通过把图象平移就可以得到正弦曲线。【设计意图】通过探究，作出正弦函数的图象，深化对正弦函数的定义的理解，提高学生概括推理的能力。问题7对函数的研究，能够快速准确的作出其简图往往起着重要作用。如何作出函数图象的简图呢？在确定其图象形状时，应抓住哪些关键点？【学生期待表现】教师提出问题，引导学生观察图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法。【设计意图】让学生从“形”上提炼出确定正弦函数图象的关键点。（三）环节三探究余弦函数图象问题8如何作出余弦函数的图象呢？追问能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？进行怎样的变换？【学生预期表现】作余弦函数图象学生第一反应是类似正弦函数几何描点作图，但是发现太麻烦了，教师引导学生寻求更为便捷的方法，从诱导公式正余弦函数可以互化，联想图象是否也可以转换？【设计意图】使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的联系，进而学习通过图象变换得到余弦函数图象，让学生感受变换作图的快捷。问题9类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图？根据余弦曲线的特点，你觉得选哪个区间较为合理？【学生预期表现】学生会考虑选取区间或者区间甚至区间。【设计意图】让学生从不同的角度思考问题，加深对五点作图的理解，最高点、最低点、以及图象与坐标轴的交点。环节四新知应用例用“五点法”作出下列函数简图：变式作出函数的图象。【学生预期表现】学生采用“五点法”作图，做完后引导学生观察发现图象与正弦函数图象的区别与联系，引发学生思考也可以利用图形变换作图。【设计意图】让学生在正弦曲线平移成余弦曲线之后再一次感受变换作图，一题多解，解决问题时思维的多样性。环节五课堂小结【学生预期表现】学生在教师引导下从知识体系和方法层面总结本节课所学内容，教师再用思维导图展示本节课框架。【设计意图】在梳理本节课知识和方法的过程中进一步加深学生对正、余弦函数图象的认知，培养学生归纳总结、自主建立知识系统。环节六布置作业必做题作出函数的图象。探究题1.类比正弦函数用几何描点法作余弦函数图象。2.如何把正弦曲线通过变化变换成余弦曲线？【设计意图】将课堂延伸，使学生所学知识与方法再认识升华，着重学生的个体发展，使每个层次的学生都有发展的余地。七、板书计划5.4.1正弦函数、余弦函数的图象复习引入探究