第六章线性代数方程组的迭代解法

§3超松弛(SOR)迭代法/*OverrelaxationIteration*/一、超松弛(SOR)迭代法思想类似于G-S迭代法的改进方法，利用第k次迭代值和第k+1次的G-S迭代值作加权平均G-S迭代法的计算公式

：作加权平均超松弛(SOR)迭代法的分量形式：其中称为松弛因子；时即为G-S迭代SOR迭代法的迭代矩阵：记超松弛(SOR)迭代法的迭代公式迭代矩阵例4：写出SOR迭代法求解下列方程组的迭代格式解：SOR迭代法的迭代公式取初始向量选取不同的值进行计算，结果见下表

要求精度迭代次数

0.00112(3.00127903.9989342-5.0002665)0.000116(3.00019523.9998374-5.0000407)0.0000121(3.00001863.9999845-5.0000039)0.00112(3.00201913.9982705-5.0004444)0.000118(3.00016733.9998567-5.0000368)0.0000123(3.00002103.9999820-5.0000046)0.0018(2.99974514.0000653-4.9998924）0.000110(2.99998534.0000031-4.9999935）0.0000112(2.99999934.0000001-4.9999996）0.00113(3.00061044.0001741-5.0007434)0.001151(2.99951064.0017780-5.0027919）方程组的近似解的值向后的SOR迭代法：记SOR迭代法的向量形式：迭代矩阵：向后SOR迭代法的分量形式：对称超松弛迭代法（SSOR）：例5：写出下列方程组向后的SOR和SSOR的迭代格式解：向后的SOR迭代法的迭代格式SSOR迭代法的迭代格式

所用方法

要求精度迭代次数

hSOR0.0018(2.99984264.0003635-4.9995660）0.000110(2.99999914.0000051-4.9999831）0.0000111(3.00000123.9999988-5.0000027）SSOR0.00118(3.00089003.9985916-5.0003161)0.000123(3.00009393.9998514-5.0000334)0.00001

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(3.00000993.9999843-5.0000035）方程组的近似解取初始向量选取进行计算，结果见下表二、SOR迭代法的收敛性：其中对，设其对角元皆非零，则对所有实数，有证明：设迭代矩阵的特征值为推论6.1如果求解方程组的SOR法收敛，则设为对称正定矩阵，且则求解方程组的SOR法收敛。证明：迭代矩阵设的任意特征值为，相应的特征向量为，则上式两边与作内积因为矩阵正定，所以也正定：记则分子减去分母：因为矩阵正定，设为对称矩阵，且所有对角元，若求解方程组的SOR法收敛，则正定，且。证明：记由得考察二次型注意到说明二次型是单调递减趋于零如果不是正定的，则存在非零向量，满足且有矛盾设为对称正定矩阵，且则求解方程组的SSOR法收敛。证明类似于定理6.13。例6：分别用GS和SOR法计算下列方程组，问：用GS法计算该方程组，则收敛的充要条件是当满足，且时，SOR法收敛。满足三、最佳松弛因子的计算公式设，如果能找到排列阵，使得其中与均为对角方阵，则称为2-循环的。设，且都和无关，则称是相容次序矩阵。如果时，矩阵的特征值设，且的所有对角元且是2-循环和相容次序矩阵，记的特征值均在上，并记为求解方程组的Jacobi迭代矩阵，且则求解方程组的SOR方法的迭代矩阵的谱半径满足：且当