固体物理总结能带理论完全版

目录TOC\o"1-5"\h\z一、本章难易及掌握要求1二、基本内容11、三种近似12、周期场中的布洛赫定理21）定理的两种描述22）证明过程：23）波矢k的取值及其物理意义33、近自由电子近似3A、非简并情况下4B、简并情况下5C、能带的性质64、紧束缚近似65、质势96、三种方法的比较107、布里渊区与能带118、能态密度及费米面11三、常见习题14简答题部分14计算题部分15#近，有效质量才和波矢无关.解：根据紧束缚近似，E（k）=EQ-JQ-JlYe,kaR，对一维，最近邻&=±"贝ljE（k）=Eo-Jo-人（严+e~ika）=Eo-Jo-人cos肋tr沪E'）为余弦函数（图省）有效质量d2E（2E'）为余弦函数（图省）有效质量在布里渊区边界,ka=±7r加讹）的图也省,在原点附近,很小，cos肋"在布里渊区边界,ka=±7rcos肋Q-1-护2丿才6.4某晶体电子的等能面是椭球面2m26.4某晶体电子的等能面是椭球面2m2叫坐标轴1,2,3互相垂直.求能态密度.解：由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为k；k;k；1=1——=12叫E2叫E2叫Etr招rr—+^—+—=1将上式与椭球公式/厅c，比较可知,在波矢空间内电子的等能面是一椭球面，与椭球的体积—7tabc3比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积彳2r=亍龙戸J2〃wE"2

由上式可得dv=丁2〃勺加2加3E'2dE能量区间ET(E+dE)内电子的状态数目d?=2.-x,dr=-^r』2叫儿叫£'2dE(2龙)‘矿•力八・是晶体体积，电子的能态密度6.5已知能带为:6.5已知能带为:E(k)=-a(cosakx+cosaky)-coscik:dEdkdEdky・•・k.ci=U7t(1)能带宽度—(1,1,1)宀(2)电子在波矢2“状态下的速度(3)能带底附近电子的能态密度^-=ciasm叭=0解：(1)ckr:.kci=H7TX9•'其中o>0,0>o,为晶格常数，试求=6(6Zsillakx=0——=ciasinak,=0Ok.・■可看出，n为偶数时E为极小值，n为奇数时为极大值•••£顶=-Q[-1+(-1)]-0•(-l)=2a+pE^=_a[l+1]_0•1=_2a_0故，能带宽度丄"顶-仪=也+20(2)心叮+■/+以其中

X丄要显必与专竽+迹m叫”丄竺丄,0sm叭tickx方ncky方hdk:方在k=討）时咚=匕=I皿V=I"••V4［血宀涸(3)能带底(3)能带底n为偶数，可取为零，故5化3均很小cosx^1-—zcosx^1-—z[\E(R)=_a据2(xvvl)有|町~P\—0+业—0+业+込+叠尸222:.E+2a+/3=-aa2acrper刍EtE+2q+0“tZ用和6.5题相同的方法，其中力-,如,则:6.6用紧朿缚模型求最近邻近似的S则:6.6用紧朿缚模型求最近邻近似的S态电子能带公式,写出二维正三角形网络的能带，计算电子的速度及有效质量张量。解:•••E⑷=解:•••E⑷=E°—人―厶工严,Rx对二维正三角晶格（如图）,6个最近邻的坐标为(aV3〕—,a(a43}—,——a22\/221(aV3]-,一a(22丿aV3—,a22X代入上式并化简得:Eg=E°acos&a+2cos—^―Eg=E°acos&a+2cos—^―r2cH]2电子速度：心叮+2,其中丄竺=込仏s也sm邑凶-fidkx方I22『由于•••（小讐：2cosW+cos%cos石〈Jr22-6.7用紧朿缚近似计算面心立方晶格最近邻近似下s态电子能带(1)证明在k=0附近，能带的等能面是球形的，导出有效质量。(2)画出［100］与［111］方向的E'）曲线。(3)画出忍一匕平面内能量的等值线。解：（1）・・・E(k)=E°-J°-JdZ面心立方最近邻有十二个原子，其忆位置在a~2

a±20Ja_20a_2a_2将这些&代入上式并简化可得:E（k）=£o-丿0-4几k.ak、cikyak.akE（k）=£o-丿0-4几cos——cos——cos——cos—+cos—cos——.k=0附222222k=0附・10COSa1近，，，，均很小，利用2,（x＜（1,则得E（^）=E0E（^）=E0-A-4Jf1_丄（也丫2［T）212212E（k）=EQ-JQ-4Jl牙］（R：+R；+R；）由于附罰r診誉丫由于附罰r診誉丫其余叫=°2）tr（2）在［100］方向，©仏=°,则E（k）=Eo-Jo-4人一8人cos=即可按此函数作图（图省）在［111］方向,k*=ky=k尸kE（k）=Eo一丿°-3x4丿［cos2号=一丿°一12厶cos2号可据上函数作图（图省）（4）在匕一匕平面内，心=0.•.氏灯=厶一丿。一4厶魯字遇扣+cos身+cos扣等值线即Eg=C（c为常数）6.8对体心立方晶格，用紧束缚法近似计算最近邻近似下s态电子能带，证明在带底和带顶附近等能面近似为球形，写出电子的有效质量.TOC\o"1-5"\h\zE（k）=E°-J°-J工严,解:s态电子能带可表示为-*严+”）±£±£±£对体心立方,最近邻原子为8个，其凡为：*严+”）H八口r匸「4化+心+心）碍（匕+取-紅）碍快厂札+心）E（k）=EQ-JQ-Jl[e^+—+—碍（-匕y+A.）碍（*+*yi?（札+&TJ弓（-匕*7J+£・+e-+£・+£・化简后即得:故朮）—即“字遇扣遇扣kta_kta_由于-1<COSX<1,可看出莎以时，cos丁“E仏）为极大值，即kgkta而亍，.即X0时，®丁"E⑷为极小值，即E血=-8人故带宽丄=陰「札=16人/aCOSXa1在带底附近，由于Z,用2,则1-121-12（2E（k）=E°-J°-8J」「4-八么丿=疋。一丿。-輒1一才伙」+k；+k~）这显然是一个球形

/八一】(孩1d1E2J.a2]=\m..)==——一一有效质量斯敗肝所以—力'

m=2J,a2kta_冗在带顶附