(2021年整理)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球

(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快下为(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球的全部内容。1(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球(完整版）2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版）2019年高考空间几何专题（文科)：第三讲外接球和内切球这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为<(完整版)2019年高考空间几何专题（文科）:第三讲外接球和内切球〉这篇文档的全部内容。2(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球第三讲球【考点分析】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点,一般考查柱锥的外接球及内切球，与三视图综合考查.【基础扫描】SR球的表面积：＝4π1.2VR3球的体积：＝错误π2.!空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的内切球3.4.空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球5.常用的结论结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3:直三结论4:正棱锥的外接球的球结论5：若棱锥的棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．心在其高上，具体位置可通过计算找到．顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心．6、求外接球半径的常见方法有:①若三条棱两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；4R2abc222②若SA面ABC（SAa），则（r为ABC外接圆半径）;4R4r2a22③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.【知识运用】题型一外接球类型一：长方体（正方体）的外接球【例1】（1）(2018海南模拟）若一个长、宽、高分别为4，3,2的长方体的每个顶点都在球O的表面上，则此球的表面积为__________．3(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线l229,故填29.l42322229为球的直径，所以球的表面积为S42(2）．（2017·天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．aaa解析设正方体棱长为,则6＝18，∴＝错误!。2RRaaaRVR设球的半径为,则由题意知2＝＋＋＝3,∴＝错误!.故球的体积＝错误!π3＝错误!222π×＝π.3错误!错误!【方法总结】1、长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处（为正方体的边长)2.正方体的外接球，则2R＝错误!aa3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b,c,外接球的半径为R，则2R＝错误!类型二：各顶点都在长方体或正方体上的几何体【例2】（2018天津市模拟)．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABCABC，如图所示：其中，三角形ABC是腰长为的直角三角形,侧面ACCA是边长为4的正方形,则该几何体的444242248。故答223外接球的半径为23。∴该几何体的外接球的表面积为42案为48。4(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球【方法总结】途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．【变式】1、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(）A.B。C.D。【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,其底面是边长为的正方形，且高为,其外接球等同于棱长为的正方体的外接球，所以外接球半径满足，故选B。，所以外接球的表面积为2．（2018四川模拟）如图所示的三视图表示的几何体的体积为32，则该几何体的外接球的3表面积为(）A。12B.24C.36D。48【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4、m，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则132，4m4＝,m2335(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R142242＝3，22．故选C．故这个几何体的外接球的表面积为4R362类型三：柱的外接球【例3】(2018安徽模拟）设直三棱柱ABC—ABC的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积111是40π，AB=AC=AA，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.a，则三角形BAC外接圆半径为1a,因为3a22sin1【解析】设三角形BAC边长为3a24R240R210所以Ra10,a22,即直三棱柱的高是22。222【变式】1（江苏2018模拟)．直三棱柱中,已知，若三棱柱的所有顶点都在，，，同一球面上,则该球的表面积为__________．【解析】是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，;，，；故该球的表面积为2。【2017课标3,理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为3πππA．πB．C．D．424B【答案】6(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球2类型四：锥的外接球（重点）【例4-1】【衡水金卷】已知正四棱锥PABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为（）625500256D.A.124B.C。381819【答案】C【解析】O，正四棱锥PABCD的外接球的球心为O如图所示，设底面正方形ABCD的中心为底面正方形的边长为2OD1正四棱锥的体积为212PO2，解得VPABCD2PO337(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球OOPOPO3R在中，由勾股定理可得：OO2OD2ODRtOOD2455002R3故选33即3212R，解得R5V4CR23381球【方法总结】利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂OOO1直于弦的性质，确定球心．【变式】(2018衡阳模拟)．已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积PABCD为(）A.4πB。6πC。8πD。16πO，则AO1AC2,PA2,PO平面ABCD，故【解析】设点P在底面ABCD的投影点为2POPA2AO22,而底面ABCD所在截面圆的半径AO2,故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=2，故外接球的表面积为S4R28,故选C.【例4-2】（2018攀枝花模拟）一个几何体的视图如下图所示,则该几何体的外接球的表面积为（)A.B.C。D。【解析】分析:先通过三视图找到几何体的原图，发现原图是一个三棱锥，再找到几何体的外接球的半径，再求该几何体的外接球的表面积。详解：由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=2，BD=1,AB=2.8(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球由于△BCD是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E,且设外接球的球心为O,如图所示,由题得所以该几何体的外接球的表面积为故选D。【方法总结】一般先要确定截面圆的圆心和球心，再求直角三角形的三边,最后解勾股定理的方程，简记为“两心三边一方程”【变式】如图,虚线小方格是边长为1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为A.4B.8C。16D。32【解析】几何体的直观图如图所示为三棱锥OABC，三棱锥OABC中，AOCABC900，所以外接球的直径为AC，则半径R1AC222，所以外接球的表面积.S4R3229(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球2．（衡水金卷信息卷）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(）A。B.C.D。【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥其中,且底面，根据余弦定理可知：可知根据正弦定理可知外接圆直径，如图，设三棱锥外接球的半径为，球心为，过球心向作垂线，则垂足为的中点，在中,外接球的表面积故选题型二:空间几何体的内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的26表面积与体积．44(62)3,S4R24(62)8(526)VR3【答案】．2球球3310(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球∴13631132R3163R23233得：62,R3344(62)34(62)8(526)．∴S4RVR3∴．22球球33【方法总结】1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合.3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；(2）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得Ra；（2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切2点为各棱的中点，作截面图,圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R2a.2（二）棱锥的内切球（分割法）将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线,将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的11(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球变式：【衡水金卷】如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为(）25425B。16C。1125D。112516A.4【答案】D【解析】把此三棱锥嵌入长宽高分别为：20，2416，的长方体ABCDABCD中1111三棱锥所求的三棱锥BKLJ即为其中KC9CLLB12,，BB161111KCLB1，则KCLLBB,KLB901CLBB1111故可求得三棱锥各面面积分别为：150，150,SS250,S250SBKLJKLJKBJLB故表面积为800S表三棱锥体积V1S33V15设内切球半径为r,则r故三棱锥内切球体积SJK10004BKL表Vr31125故选D4球316【强化练习】1．（2018山东模拟)在四面体中,接球的面积（）,，，则它的外A.B.C.D。12(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球【解析】由题意，可知和是以为公共边的等腰直角三角形，取的中点，则,所以外接球的半径为,所以外接球的表面积为，故选B．，，底面，的面积是,若该四面体2．在四面体中,的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A.B。C.D。【解析】四面体与球的位置关系如图所示，设为的中点,为外接球的圆心,因为,，由余弦定理可得,由正弦定理可得由勾股定理可得，又，，在四边形中,，，计算可得,则球的表面积是,故选D。4、(2018湖南模拟)．某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为13(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球A.B.C。D。【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形,所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上,设球半径为R，则解得，所以球的表面积为，故选A。5．已知底面半径为1,高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上,则此球的表面积为（）A。B.C。D.【解析】设球的半径为，由已知有，故选C.，故球的表面积为6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为，则几何体的高为A.B。C。D。【解析】由三视图可知该几何体为四棱锥，如图.底面为正方形，侧面底面，过底面的中心作底面的垂线，则该几何体的外接球的球心在该垂线上，过作侧面则垂足在的高线上，连接，则为球的半径，该14(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球几何体的外接球的表面积为，即，，由，得,由,得，解得，或，由，可得,故选D．7．一个几何体的视图如下图所示,则该几何体的外接球的表面积为（)A.9B。8C.5D.4【解析】由三视图可知，几何体为一个三棱锥，且一边垂直于底面,其外接求的直径等于其补成一个长方体的外接球，且长方体的长宽高分别为，2,1,2根据长方体的对角线长等于球的直径，所以2R22129，即R9,22222，故选A．99所以S4R248．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为，外接球的表S1面积为，则S1(）S2S2A。1:2B.1:3C.1:4D。1:8【解析】如图：15(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球由已知圆锥侧面积是底面积的倍，不妨设底面圆半径为2r11则：，，解得lR2r2rR2rR2r2222故ADC30，DCB90r1则，内BC1BD2r2外S1故1S42故选C9．已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，记该圆锥的表面积为S,外接球的表面积为21S，则1（）SS22A。B。9:16C.1:4D.1:83:8【解析】设圆锥的底面半径是r,母线长为，∵圆锥的侧面积是其底面积的l2倍，,解得l2r，则圆锥的轴截面是正三角形，设圆锥的外接球的半径为rl2rR,2∵圆锥的外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心,三角形的高是3r，2R3r,∴该圆锥的表面积Srlr23r2,外接球的表面积为31222163S3r29.故选B．16r2,S4R24r1163Sr222310．在三棱锥PABC中，AP2，AB33，PA面,且在三角形中，有ABCABCccosB2abcosCABC（其中a,b,c为的内角所对的边），则该三棱锥外接球的表A,B,C面积为(）20A。B。C。D。1240203【解析】设该三棱锥外接球的半径为。R在三角形中，（其中a,b,c为的内角所对的边)。ABCABCccosB2abcosCA,B,C∴ccosBbcosC2acosCsinBC2sinAcosC,即.sinCcosBsinBcosC2sinAcosC∴根据正弦定理可得16(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球∵sinA0∴cosC1∵∴CC0,2333∴由正弦定理，2r，得三角形的外接圆的半径为r3。∵PA面ABCABCsin3∴PA∴∴该三棱锥外接球的表面积为故选A。2R2R10S4R402222r211．在三棱锥PABC中，AB3BC3，ABCBCPPAB90，2,则三棱锥PABC外接球的表面积为（）4cosCPA14A。B。C.6D。513【解析】如图所示，作PE平面于点，连接，ABCEEA,EC因为,易得，ECCB,EAABBCCP,PAAB四边形为矩形，，2EABCPA1PE2,PC23PE2在PAC中,由余弦定理，PAPC22PAPCcosCPA42代入整理得PE4，设三棱锥PABC外接球的半径为，由得113，即R5，所以球的表面积为S4R52,故选A．PE12R2OO12．某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球的表面上,则球的表面积是（)A.2πB.4π17(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球C.5πD.20π【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥,且其中边长为1的侧棱与底面垂直,底面为底边长为2的等腰直角三角形,所以可以将该三棱锥补形为长、宽、高分别为，，1的长OR方体，所以该几何体的外接球的半径＝OSR,所以球的表面积＝4π2＝5π.故答案为：C.13．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A。500B。10002C.125D。12523333【解析】由题得几何体的原图为图中的四棱锥A—BCDE,四棱锥A—BCDE的外接球和长方52重合,因为长方体的外接球直径2R3242525052，R2体的外接球.所以该几何体的外接球的体积为4（52）3=212532.故选D。314、某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球的表面积是（）A。4B。8C.16D。32【解析】由三视图可得该几何体是六棱锥，底面是边长为1的正六边形，有一条侧棱垂直底面，且长为2,可以将该几何体补成正六棱柱，其外接球与该正六棱柱外接球是同一个球．18(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球故该几何体的外接球的半径R2112,则该几何体的外接球的表面积是.2S4R82故选B.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法:15．如图，在三棱锥BACD中，ABCABDDBC，3AB3,BCBD2，则三棱锥BACD的外接球的表面积为（）A.19B.19C.75D.726【解析】如图，在ACB,ADB中，由余弦定理得ACAD7．取CD的中点E,连BE，AE，则BEAEAB2，且BE3,AE，故,所以BECD,AECD622AEB90，从而可得BE平面ACD．设ACD的外接圆的半径为，圆心为O，则O在AE上,由r2OC2OE2CE2r1111CE2，可得r27AEr，解得r．26r1226由题意得球心O在过点且与O1平面垂直的直线OF上,令OFBE3，设OOd，ACD111OCOB则由3d可得d2OC2d2rOF2FB22212，解得d3．设三棱锥BACD的外接球的半径为R，则6r3223719819，所以外接球的表面积．选A．S4R22R2d2r232619(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球16．某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为(）A。B。C.10002D.50012521253333【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体,其外接球即为俯视图为底面的三棱柱的外接球,设几何体的外接球的半径为，则，所以R52，2R34552222R2344521252，故选A。所以该外接球的体积为VR3332317．已知三棱锥S－ABC中，SA平面，且，AC2AB23.SA1。则ABCACB30该三棱锥的外接球的体积为（）13A。13B.13πC。13D.1313866【答案】D【解析】ACB30AC2AB23ABC是以AC为斜边的直角三角形，则三棱锥外接球即为以C为底面，以SA为高的三棱柱∵，∴AC2其外接圆半径r3ABC20(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球的外接球2SAr22132∴三棱锥外接球的半径R满足R,棱锥外接球的体积V431313.6故三R3故选D.18．如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为(）A。B.C.D。【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为,一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4,则，将该几何体补成一个长方体,则其外接球半径为故这个几何体的外接球的表面积为．故选C．19．已知四棱锥的三视图如图所示,则四棱锥外接球的表面积是（）A.B。C。D.体是一个四棱锥A-BCDE，底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面【解析】由三视图得，几何BCDE.21(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球如图所示，矩形ABCD的中心为在直角△OME中,，解（1)（2)得M，球心为O，F为BE中点,OG⊥AF。设OM=x，由题得，又MF=OG=1,AF=，故选B.点睛：本题的难点在于作图找到关于R的方程，本题条件复杂，要通过两个三角形得到关于R的两个方程、（2），再解方程得到R的值.20．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A.24B.36C。40D.400【解析】几何体为三棱锥，如图，底面为顶角为120度的等腰三角形BCD,侧棱AC垂直底,设三角形BCD外接圆圆心为O,则面,BCCD2,BD23,AC26AC22322OC4OC2,因此外接球的半径为OC26410，即sin120040外接球的表面积为,选C.241022(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球21．某几何体的三视图如图所示,其外接球表面积为（）A。24B.86C。6D。8【解析】由题得，几何体原图是长方体中的三棱锥A-BCD，所以球的直径，2R=22+12+12226所以R62,故选C。6S4R2422．某几何体的正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，三视图如图所示，该几何体外接球的表面积是()．23(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球A.4B.11C.3D。1323【解析】由题意得该几何体的是如图所示的四棱锥PABCD，底面为俯视图所示的等腰梯形（上下底分别为1，2,高为3），棱锥的高为PE3．22取AB的中点O，由条件可得OAOBOCOD1,故点O为底面梯形外接圆的圆心，111111过点O作MO底面ABCD，且使得MO=3,则四棱锥外接球的球心在MO上,设为点21111O．设OOx，则OM3x，可得OB2OO2OB2x1OP2OM2MP22,2111223x3,22222，解得x3，36由OB,OP均为外接球的半径可得3x1x22令外接球的半径为R,则R2x1213，12故四棱锥外接球的表面积为13．选D．S4R2324(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球23．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两,试问，它的直径12寸，球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问重是多少斤？（注3）（)金球几许金?”意思是:有一个空心金球金球A。125。77B.864C.123。23D.369.69【解析】由题意知，大球半径R6，空心金球的半径r60.35.7,则其体积4Vπ65.7123.23(立方寸)．因1立方寸金重1斤，则金球重123.23斤，333故选C．23．已知正方体体积为8,面在一个半球的底面上，四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）A.B。C.D.【解析】正方体体积为，则棱长为由题意可得底面的中心到上底面顶点距离为球的半径半球体积为故选24．三棱锥中,平面且接球的表面积为（）是边长为的等边三角形，则该三棱锥外A.B.C。D.【解析】根据已知中底面是边长为的正三角形,,平面，可得此三棱锥外接球,即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球∵是边长为的正三角形，∴的外接圆半径球心到的外接圆圆心的距离故球的半径故三棱锥外接球的表面积故选:C．25．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年,其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）25(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球A.B.C.D.,该几何体是一个如图所示的四棱锥,其中是边长为【解析】由三视图可得4的正方形，平面平面．设为的中点，为正方形的中心，为四棱锥外接球的球心，为外接圆的圆心，则球心为过点且与平面垂直的直线与过且与平面垂直的直线的交点．由于为钝角三角形，故在的外部，从而球心与点P在平面的两侧．由题意得，设球半径为，则，即，解得，∴∴,．选D．26．已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则积为（）此球的表面A.B。C。D.【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1,将三棱锥补成一个正方体(棱长为1)，则正方体外接球为正三棱锥外接球,所以球的直径为,故其表面积为．选A．26(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球27．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二,鳖臑居一，不易之率也”。意即把一长方体沿对角面一分为二,这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马,小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A。B。C.D.【答案】B【解析】由三视图可知,该“阳马”是底面对角线长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直的四棱锥,将该四棱锥补成长方体,长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即，球体积为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,题。三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点。观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响属于难.SABC中，SA平面ABC，SA2，AB1，BC22，AC5，28．在三棱锥则该三棱锥的外接球表面积为________．【答案】14πcosBAC158255,sinBAC525.5【解析】在△ABC中，由余弦定理得27(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球sin2B2AC2r,r10.所以底面三角形的外接圆的半径为10,2210214R2,R2,S=4R2=14.故填14π。4球12229．已知三棱锥平面，为等边三角形,，则三棱锥外接球的体积为__________．【答案】。【解析】根据已知中底面是边长为3的正三角形,平面，，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球。∵∴是边长为3的正三角形外接圆的半径为,球心到的外接圆圆心的距离为。∴球的半径为∴三棱锥外接球的体积为故答案为。30．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为1cm的实心铁球，四个球两两相切，2其中底层两球与容器底面相切。现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________________.【解析】设四个实心铁球的球心为O,O,O,O,其中O,O为下层两球的球心，四个球心连123412线组成棱长为1的正四面体,A,B,C,D分别为四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为2的正方形，所以注水高为正四面体相对棱的距离与球半径的二倍的和，即为22，故应注水的体积等于以注入水的高度为高的圆柱的体积减去四个球的体积,212413＝4322121，故答案为cm3.123232S-ABCO31．若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面,SAABCSA=23,AB=1，AC=2，∠BAC=60°O,则球的表面积____________【解析】如图所示，三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，SABC以为SA平面ABC,SA23,AB1,AC2,BAC600所以BC14212cos6003，所以ABC90，0，28(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球1截球所得的圆的半径为1，所以ABCOOrAC2232所以球的半径为R2，O122所以的表面积为。OS4R16232．在正三棱锥ABCD中，M，N分别是AB，BC上的点,且,,MN//ACAM5MBMDMN，若侧棱AB1，则正三棱锥ABCD的外接球的表面积为__________．【解析】设底边边长为a，则在三角形BCD中,BN1BC1316a,DBNDNa.6632a2565a261,36在三角形ABD中，cosA，在三角形AMD中,AM,DM2MDMN,MN1因为6AC16设A在底面BCD上的射影为E，DM2MN2DN2a22.BEBCsin60026,AEAB2BE23.3则33设球半径为R，则R23R3BE2R3正三棱锥ABCD的外接球的表面积为22S4R23.33．边长为2的等边ABC的三个顶点A,B,C都在以为球心的球面上，若球的表面OO148积为，则三棱锥OABC的体积为__________．3【来源】【全国市级联考】重庆市2018届高三4月调研测试（二诊）数学（文科）试题33【答案】314837【解析】设球半径为，则4R2，解得R2．R3329(完整版)2019年高考空间几何专题(文科)：第三讲外接球和内切球设ABC所在平面截球所得的小圆的半径为，则r2323．r232337411，即为三棱锥OABC的高，33故球心到ABC所在平面的距离为d