2023年成人高考高数二重点笔记(淘宝花钱买的)课件

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

[主要知识内容]

（一）数列的极限

1.数列

定义按一定顺序排列的无穷多个数

称为无穷数列，简称数列，记作{xn}，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如

（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列）

（2）（等比数列）

（3）（递增数列）

（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列）

都是数列。它们的一般项分别为

（2n-1）,。

对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应，所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。

在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,…。

2.数列的极限

定义对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作

比如：

无限的趋向0

，无限的趋向1

否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。

比如：1，3，5，…，（2n-1），…

1，0，1，0，…

数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{xn}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。

比如：

无限的趋向0

无限的趋向1

（二）数列极限的性质与运算法则

1.数列极限的性质

定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。

注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：

1，0，1，0，…有界：0，1

2.数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：

（1），

（2），则

定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有极限。

3.数列极限的四则运算定理。

定理1.5

（1）

（2）

（3）当时，

（三）函数极限的概念

1.当x→x0时函数f（x）的极限

（1）当x→x0时f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→x0时）

例y=f（x）=2x+1

x→1,f（x）→?

x<1x→1

x>1x→1

（2）左极限

当x→x0时f（x）的左极限

定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作

或f（x0-0）=A

（3）右极限

当x→x0时，f（x）的右极限

定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作

或f（x0+0）=A

例子：分段函数

，求，

解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有

当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有

显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：

定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

反之，如果左、右极限都等于A，则必有。

x→1时f(x)→?

x≠1

x→1f(x)→2

对于函数，当x→1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。

2.当x→∞时，函数f（x）的极限

（1）当x→∞时，函数f（x）的极限

y=f(x)x→∞f(x)→?

y=f(x)=1+

x→∞f(x)=1+→1

定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→∞时）

（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作

这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？

解：f（x）=2+e-x=2+，

x→+∞，f（x）=2+→2

所以

（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作

x→-∞f(x)→？

则f(x)=2+(x＜0)

x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函数，当x→-∞时，f（x）→？

解：当x→-∞时，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。

例如函数，当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时的极限是1，记作

其几何意义如图3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。

x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。

（四）函数极限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。

定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：

（1），（2）

则有。

注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。

下面我们给出函数极限的四则运算定理

定理1.9如果则

（1）

（2）

（3）当时，时，

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：

（1）

（2）

（3）

用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。

另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。

（五）无穷小量和无穷大量

1.无穷小量（简称无穷小）

定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作

常用希腊字母，…来表示无穷小量。

定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是：

可表示为A与一个无穷小量之和。

注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。

（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。

（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。

例如：

振荡型发散

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。

2.无穷大量（简称无穷大）

定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。

注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成或。

3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。

定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。

当无穷大

无穷小

当为无穷小

无穷大

4.无穷小量的基本性质

性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。

5.无穷小量的比较

定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。

（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；

（2）如果则称与为同阶的无穷小量；

（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；

（4）如果则称是比较低价的无穷小量。当

等价无穷小量代换定理：

如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。

均为无穷小

又有

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。

常用的等价无穷小量代换有：

当时，

sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）两个重要极限

1.重要极限Ⅰ

重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式

令

这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。

其结构式为：

2.重要极限Ⅱ

重要极限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为

……

其结构式为：

重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。

（七）求极限的方法：

1.利用极限的四则运算法则求极限；

2.利用两个重要极限求极限；

3.利用无穷小量的性质求极限；

4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限；

6.利用等价无穷小代换定理求极限。

基本极限公式

（2）

（3）

（4）

例1.无穷小量的有关概念

（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是

A.B.

C.D.[答]C

A.发散

D.

（2）[0202]当时，与x比较是

A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量

C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量

[答]B

解:当,与x是

极限的运算：

[0611]

解：

[答案]-1

例2.型因式分解约分求极限

（1）[0208][答]

解:

（2）[0621]计算[答]

解:

例3.型有理化约分求极限

（1）[0316]计算[答]

解:

（2）[9516][答]

解:

例4.当时求型的极限[答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要极限Ⅰ求极限

（1）[9603]下列极限中，成立的是

A.B.

C.D.[答]B

（2）[0006][答]

解:

例6.用重要极限Ⅱ求极限

（1）[0416]计算[答]

[解析]解一：令

解二：

[0306]

[0601]

（2）[0118]计算[答]

解:

例7.用函数的连续性求极限

[0407][答]0

解:

，

例8.用等价无穷小代换定理求极限

[0317][答]0

解:当

例9.求分段函数在分段点处的极限

（1）[0307]设

则在的左极限

[答]1

[解析]

（2）[0406]设,则[答]1

[解析]

例10.求极限的反问题

（1）已知则常数

[解析]解法一：，即，得.

解法二：令，

得，解得.

解法三：（洛必达法则）

即，得.

（2）若求a,b的值.

[解析]型未定式.

当时，.

令

于是，得.

即，

所以.

[0402]

[0017]，则k=_____.（答:ln2）

[解析]

前面我们讲的内容：

极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

[主要知识内容]

（一）函数连续的概念

1.函数在点x0处连续

定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即

则称函数y=f（x）在点x0处连续。

函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：

定义2设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即

定义3设函数y=f（x），如果，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续，则f（x）在点x0处左连续也右连续。

2.函数在区间[a，b]上连续

定义如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点x处都连续，则称f（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。

这里，f（x）在左端点a连续，是指满足关系：，在右端点b连续，是指满足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。

可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。

3.函数的间断点

定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。

由函数在某点连续的定义可知，若f（x）在点x0处有下列三种情况之一：

（1）在点x0处，f（x）没有定义；

（2）在点x0处，f（x）的极限不存在；

（3）虽然在点x0处f（x）有定义，且存在，但

，

则点x0是f（x）一个间断点。

，则f（x）在

A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1处都连续

C.x=0处间断，x=1处连续

D.x=0处连续，x=1处间断

解：x=0处，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）

x=0为f（x）的间断点

x=1处，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）

∴f（x）在x=1处连续［答案］C

[9703]设，在x=0处连续，则k等于

A.0B.C.D.2

分析：f（0）=k

［答案］B

例3[0209]设在x=0处连续，则a=

解：f（0）=e0=1

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）

∴a=1［答案］1

（二）函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则

（1）f（x）±g（x）在x0处连续

（2）f（x）·g（x）在x0处连续

（3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续。

在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。

（三）闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得

推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得

f（ξ）=0

（四）初等函数的连续性

由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。

定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。

利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则

f（x）在x0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。

［0407］

[0611]

例1.证明三次代数方程x3-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根.

证：设f（x）=x3-5x+1

f（x）在［0，1］上连续

f（0）=1f（1）=-3

由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1）

使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0

即方程在（0，1）内至少有一个实根。

本章小结

函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。

这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下：

一、概念部分

重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。

极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。

函数在一点连续性的三个基本要素：

（1）f（x）在点x0有定义。

（2）存在。

（3）。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、运算部分

重点：求极限，函数的点连续性的判定。

1.求函数极限的常用方法主要有：

（1）利用极限的四则运算法则求极限；

对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。

（2）利用两个重要极限求极限；

（3）利用无穷小量的性质求极限；

（4）利用函数的连续性求极限；

若f（x）在x0处连续，则。

（5）利用等价无穷小代换定理求极限；

（6）会求分段函数在分段点处的极限；

（7）利用洛必达法则求未定式的极限。

2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。

第二章一元函数微分学

第一节导数与微分

[复习考试要求]

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。

5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

[主要知识内容]

（一）导数的概念

1.导数的定义：定义设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在x0处取得改变量△x时，函数y=f（x）取得相应的改变量△y=f（x0+△x）-f（x0），如果当△x→0时，函数的改变量△y与自变量的改变量△x之比的极限

存在，则称此极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数，并称函数y=f（x）在点x0处可导，记作

利用导数定义求导数的解题步骤：

（1）求增量△y=f（x0+△x）-f（x0）

（2）算比值

（3）取极限

左导数如果当△x→0-时，的极限存在，则称此极限值为函数f（x）在x0处的左导数，记为f’-（x0），即

右导数如果当△x→0+时，的极限存在，则称此极限值为函数f（x）在x0处的右导数，记为f+’（x0），即

如果函数f（x）在x0处可导，显然要求在此点左导数和右导数都存在且相等，反之也成立。

导函数

一般地说，设对于开区间（a，b）内的每一点x，函数y=f（x）都有导数，那么称f（x）在（a，b）可导，于是对应于（a，b）内的每一个x值，就有一个导数值f’（x），因此导数是x的函数，此函数叫做导函数。以后为了简便起见，将导函数简称为导数，记作

2.导数的几何意义

设曲线的方程为y=f（x），则由导数的定义可知，函数y=f（x）在某点x0处的导数f’（x0）就是曲线上的点M（x0，y0）处切线的斜率（见图），

即

由曲线的点斜式方程，易知曲线y=f（x）上的点M（x0，y0）处的切线方程为

y－y0=f'(x0)(x－x0)

3.可导与连续的关系

定理2.1如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。

由这个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。

例：

f（x）在x=0处连续。

∵f'-(0)≠f'+(0)

∴f（x）=∣x∣在x=0处不可导

（二）曲线的切线方程及法线方程

若函数y=f（x）在点x0处可导，由导数的几何意义，知f’（x0）表示过曲线上点M（x0，y0）的切线斜率。所以，过曲线上点M（x0，y0）的切线方程为

y-y0=f'(x0)(x-x0)

若f'(x0)存在且不等于零，则过点M（x0，y0）的法线方程为

例1[9704]设函数f（x）满足，则f'(0)=。

解：

[答]

例2[0303]己知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2，则等于（）

A.0B.1C.2D.4

解：f(x)在点x0处可导，f'(x0)=2

[答]D

导数的几何意义

例3[0410]曲线y=e-x在点（0，1）处的切线的斜率k为______.

[解析]本小题主要考查利用导数的几何意义，满分4分。

例2［0616］曲线y=x3-x在点（1，0）处的切线方程为.

解：y'=3x2-1

y'∣x=1=2

y-0=2(x-1)

切线方程为y=2(x-1)[答]y=2(x-1)

例3[9920]在曲线上求一点M0,使过点M0的切线平行于直线x-2y+5=0,并求过点M0的切线方程和法线方程。

[解析]本小题主要考查利用导数几何意义求曲线的切线方程和法线方程，满分6分。

设M0（x0，y0）

故切线方程为，即x-2y+1=0

法线方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0

（三）导数的计算

1.基本初等函数的导数公式

（1）（C）'=0（2）（xμ）'=μxμ-1

（3）（4）

（5）（ax）'=axlna（a＞0,a≠1）（6）（ex）'=ex

（7）（8）

（9）（sinx）'=cosx（10）（cosx）'=-sinx

（11）

（12）

（13）（secx）'=secx·tanx

（14）（cscx）'=-cscx·cotx

（15）（16）

（17）（18）

2.导数的四则运算法则

设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有

（1）（u±v）'=u'±v'

（2）（u·v）'=u'·v+u·v'

（3）（cu）'=c·u'

（4）

（5）

（6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'

3.复合函数求导法则

如果u=φ（x）在点x处可导，而y=f（u）在相应的点u=φ（x）处可导，则复合函数y=f[φ（x）]在点x处可导，且其导数为

同理，如果y=f（u），u=φ（v），v=ψ（x），则复合函数y=f[φ（ψ（x））]的导数为

4.反函数求导法则

如果x=φ（y）为单调可导函数，则其反函数y=f（x）的导数

例1[0008]设函数f（x）=sin2+x2+2x，求y'。

[解析]本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分4分。

f'（x）=（sin2+x2+2x）'=2x+2xln2

例2[0602]设函数y=e2x+5，则y’=

y’=（e2x+5）'

=e2x﹒（2x）'

=2e2x

例3[9419]设函数

[解析]本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分5分。

例4[9712]设函数f（x）=（1+x2）arctanx，求f”(0)。

[解析]本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分5分。

f'(x)=（1+x2）'arctanx+（1+x2）（arctanx）'

=2xarctanx+1

f'（0）=1

例5[0122]设函数，求y’

[解析]本小题主要考查导数的四则运算及求复合函数的导数。满分6分。

例6[9809]设函数y=sinln（x3），则y’=_

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分4分。

解法一：

解法二：

例7[0010]设函数，则y’=_______.

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分4分。

例8[0223]设函数f（x）=ex,g（x）=sinx，

且y=f[g'（x）]，求

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分7分。

因为g'（x）=cosx，所以y=f（cosx）=ecosx，

则

例9[样题23]设函数y=ef（sin2x），其中f（u）可导，求y'。

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分8分。

例10[0318]设函数，求y’

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分6分。

例11[0420]设函数f（cosx）=1+cos3x，求f'（x）

[解析]本小题主要考查复合函数求导。满分6分。

设cosx=t，则f（t）=1+t3，即f（x）=1+x3，

所以f'（x）=3x2

例12设f（cosx）=sin2x，求f'（x）

f（cosx）=1-cos2x

令cosx=t

f（t）=1-t2

f（x）=1-x2

f'（x）=-2x

例13设f（ex）=1+ex+e2x，求f'（x）

f（ex）=1+ex+（ex）2

f（x）=1+x+x2

f'（x）=1+2x

5.分段函数的导数

例14讨论在x=0处的导数。

解：f（0）=0

（四）求导方法

1.隐函数求导

例1[9919]设y=y（x）由方程y3=x+arccos（xy）确定，求。

[解析]本小题主要考查隐函数求导。满分6分。

方程两边同时对x求导，得

例2[9520]设y=y（x）由方程ex－ey=sin（xy）所确定，求y的导数及y在x=0处的导数值。

[解析]本小题主要考查隐函数求导。满分7分。

方程两边同时对x求导，得

当x=0时，代入所给方程，即e0-ey=sin0,得y=0

2.对数求导法

例1[9621]设函数y=（lnx）x,求y′

[解析]本小题主要考查对数求导法。满分5分。

等式两边同时取自然对数，得

lny=xln（lnx）

等式两边同时对x求导，得

例2[0123]设函数。

[解析]本小题主要考查对数求导法。满分7分。

（五）高阶导数

定义如果函数y=f（x）的导数f′（x）在x可导，就称f′（x）的导数为函数y=f（x）的二阶导数，记作

按照导数的定义，函数f（x）在点x处的二阶导数就是下列极限

f（x）的二阶导数y〞=f〞（x）的导数，就称作函数y=f（x）的三阶导数，记作

一般地我们定义f（x）的n阶导数为其n-1阶导数的导数，即如果f（x）的n-1阶导数的导数存在，就称这个导数为原来的函数y=f（x）的n阶导数，记作

即有[y（n-1）]′=yn(n=2，3，4……)，二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。

例1[0615]设y=sin2x

则y′′=____

解：y′=cos2x(2x)′=2cos2x

y′′=2(-sin2x)(2x)′

=-4sin2x

例2[9910]函数的二阶导数y〞____。

[解析]本小题主要考查简单函数求二阶导数。满分4分。

例3[9613]设函数[解析]

例4[9810]设y（n-2）=ax+xa+aa，求y（n）=______

[解析]y（n-1）=axlna+axa-1

y（n）=axln2a+a（a-1）xa-2

例5[0311]设函数y=x2+e2x,则y的50阶导数y（50）=______.

[解析]本小题主要考查简单函数求高阶导数。满分4分。

（六）微分

1.微分的定义

定义如果函数y=f（x）在点x处的某个邻域内有定义，如果对于自变量在点x处的改变量△x，函数的改变量△y可以表示为两项之和：

△y=A（x）△x+o（△x）（△x→0）

其中A（x）与△x无关，o（△x）与△x比较是较高阶的无穷小量时，则称函数y=f（x）在点x处可微，并称A（x）△x为函数在点x处的微分，记为dy或df（x），即

dy=df（x）=A（x）△x

2.微分的几何意义：设函数y=f(x)的图像如图所示，M(x，y)为曲线上的定点，M′(x+△x，y+△y)为与M相邻的点，过点M做曲线的切线MT其倾角为，则MT的斜率为tan=f′(x)

从下图可知：

MN=△x，NM′=△y

NT=MN﹒tan=f′(x)△x=dy

由此可见，当自变量在点x处有一改变量△x时，△y是曲线y=f(x)上点的纵坐标改变量NT，而TM′是△y与dy之差，当△x→0时，它是△x的高阶无穷小量。

3.可微与可导的等价关系

定理2.2函数y=f(x)在点x可微的必要充分条件是f(x)在x处可导，而且A(x)=f′(x)，即dy=A(x)dx=f′(x)dx

4.微分的计算dy=f′(x)dx

求微分dy只要求出导数f′(x)再乘以dx，所以我们前面学过的求导基本公式与求导法则完全适用于微分的计算。于是有下列的微分公式及微分法则：（1）d（c）=0（c为常数）

（2）（为任意实数）

（6）d（ex）=exdx

（7）d（sinx）=cosxdx（8）d（cosx）=-sinxdx

（17）d（c·u）=cdu

5.微分形式不变性

设函数y=f(u)，则不论u是自变量还是中间变量，函数的微分dy总可表示为

dy=f′(u)du

例1[0622]设函数y=x4sinx，求dy

解法一：y′=4x3sinx+x4cosx

dy=y′dx=（4x3sinx+x4cosx）dx

解法二：dy=d（x4sinx）

=dx4﹒sinx+x4dsinx

=4x3﹒dx﹒sinx+x4﹒cosxdx

=（4x3sinx+x4cosx）﹒dx

例2[0319]设函数y=arctanx2，求dy.

[解析]本小题主要考查求函数微分。满分6分。

解法一：

解法二：

求导歌

初等函数一式表，复合四则连环套。

分清四则与复合，关系明确再求导。

常幂指对三反三，导数公式要记牢。

加减关系逐项导，积商导数最重要。

积的导数共两项，u导乘v加u乘v导。

商的导数为分式，母方分之子导乘母减子乘母导。

复合函数层层导，不能重复不漏掉。

隐函数两边同时导，解方程y便得到。

高阶导数阶阶导，归纳规律很重要。

增量比值求极限，定义三步会求导，

分段函数分段点，左导是否等右导。

导数微分互等价，微分加尾别忘掉。

背公式，勿浮燥，多练习，熟生巧，

寻规律，多请教，勤思考，必开窍。

今日唱起求导歌，求导感觉真美妙。

第二节导数的应用

[复习考试要求]

1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

[主要知识内容]

（一）洛必达法则求极限

1.型

定理2.3（洛必达法则1）如果

②f（x），g（x）在x0的某邻域内（点x0可以除外）可导，且g′(x)≠0

（A为有限常数或为∞）

则（或把x→x0改为x→∞）

例1计算：

例2[9517]求

[解析]本小题主要考查用洛必达法则求型未定式极限。满分5分。

例3[0417]

[解析]本小题主要考查用洛必达法则求型未定式极限。满分6分。

2.型

定理2.4（洛必达法则2）如果

②f（x），g（x）在x0的某邻域内（点x0可以除外）可导，且g′（x）≠0

（A为有限常数或为∞）

（或把x→x0改为x→∞）

例1.求

[解析]本小题主要考查用洛必达法则求极限。

例2.求

[解析]本小题主要考查用洛必达法则求极限。

3.0·∞型

对于0·∞型未定式，可以将乘积形式化为商的形式，即可化为型或型未定式，

然后再使用洛必达法则求极限。

例

[解析]本小题主要考查用洛必达法则求极限。

4.∞—∞型

对于∞—∞型未定式，可利用通分将其化为型未定式,然后再使用洛必达法则求极限。

例

[解析]本小题主要考查用洛必达法则求极限。

例

[解析]型

用洛必达法则：

因为不存在，不能使用洛必达法则。

正确的解法应是：

（二）利用导数研究函数的图形与性质

1.函数的单调性

定理2.5设函数f（x）在区间（a，b）内可导，则

（1）如果在（a，b）内的任一点x处，恒有f′（x）>0，则函数f（x）在（a，b）内严格单调增加；

（2）如果在（a，b）内的任一点x处，恒有f′（x）<0，则函数f（x）在（a，b）内严格单调减少。

例：证明函数f（x）=x－arctanx在其定义域上是单调增加的。

注意：函数f(x)在其定义域上的个别点处f′(x)=0（或f′(x)不存在但连续），不影响其单调性。

利用导数判定函数单调性的一般步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求出函数的导数y′=f′(x)；

（3）令f′(x)=0，求出函数在其定义域内的所有驻点，驻点将定义域划分成若干子区间，在每个子区间内讨论f′(x)的正负符号，从而确定函数的单调增减区间。

2.函数的极值

（1）函数极值的定义

定义设函数f(x)在（a，b）内有定义，x0是（a，b）内的某一点，若存在点x0的一个邻域，使得对此邻域内任一点x（x≠x0），

①恒有f(x)<f(x0)，则称f（x0）是函数f(x)的一个极大值，称x0是函数f(x)的一个极大值点；

②恒有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值，称x0是函数f(x)的一个极小值点。

极大值和极小值统称为函数的极值。极大值点和极小值点统称函数的极值点。

（2）极值存在的必要条件

定理2.6设函数f(x)在点x0处具有导数，且在点x0取得极值，则必有f′(x0)=0。

一般地，称f′(x)=0的点为函数f(x)的驻点。

注意：极值点的导数存在，则极值点必定是驻点，反之驻点不一定是极值点。

f（x）=x3

f′(x)=3x2

令f′(x)=0，得驻点x=0

设f(x)=x2f′(x)＝2x

令f′(x)=0，得驻点x=0

当x<0时，f′(x)<0x>0时，f′(x)>0x=0为f(x)的极小值点

（3）极值存在的充分条件

定理2.7（第一充分条件）设函数f(x)在点x0连续，且在点x0的某一空心邻域内可导f′(x)可以等于0或不存在），则

①如果在内任一点x处，有f′(x)>0，而在内任一点x处，有，则f（x0）是极大值，x0是极大值点；

②如果在内任一点x处，有f′(x)<0，而在内任一点x处，有f′(x)>0，则f（x0）是极小值，x0是极小值点；

③如果在内与内任一点x处，f′(x)正负符号相同，那么f（x0）不是极值，x0不是极值点。

定理2.8（第二充分条件）设函数f(x)在点x0处有二阶导数，且f′(x0)=0，f＇＇(x0)≠0，则

①当f＇＇(x0)<0时，则f（x0）为极大值；

②当f＇＇(x0)>0时，则f（x0）为极小值；

③当f＇＇(x0)=0时，则不能判定x0是否为极值点。

利用导数求函数极值的步骤：

（1）先求出函数的导数y＇（x）=f＇（x），令f＇（x0）=0，求出函数在其定义域内的所有驻点及导数不存在的点xi（i=1，2…，k）；

（2）若函数f(x)在点xi的去心邻域内可导，则利用极值的第一充分条件判定。即当f＇(x)在点xi的两侧异号时，f＇(x)为极值，xi为极值点，若f＇(x)在点xi的两侧同号时，f(xi)不是极值，xi不是极值点。

（3）如果函数的二阶导数f＇＇(x)容易求，且f＇＇(xi)存在，则可以极值的第二充分条件判定。即当f＇＇(xi)>0时，则f（xi）为极小值，xi为极小值点；当f＇＇(xi)<0时，则f(xi)为极大值，xi为极大值点，若f＇＇(xi)=0，则应改用极值的第一充分条件判定f(xi)是否为极值，xi是否为极值点。

例1[9803]函数y=ln（1+x2）在（-∞，+∞）内（）A.单调增加B.单调减少C.不单调D.不连续

[解析]本小题主要考查利用导数研究函数的单调性。满分4分

，令y＇=0，得x=0，

当x<0时，y＇<0，函数y=ln（1+x2）单调减少，

当x>0时，y＇>0，函数y=ln（1+x2）单调增加，

故选C。

例2[9903]以下结论正确的是（）

A.函数f（x）的导数不存在的点，一定不是f（x）的极值点

B.若x0为f（x）的驻点，则x0必为f（x）的极值点

C.若f（x）在点x0处有极值，且f＇（x0）存在，则必有f＇（x0）=0

D.若f（x）在点x0处连续，则f＇（x0）一定存在

[解析]本小题主要考查函数极值点的有关概念。满分4分。

根据函数极值存在的必要条件，应选C。

例3[0426]求函数y=xe－x的单调增减区间和极值。

[解析]本小题主要考查求函数的单调增减区间和极值。满分10分。

解：函数的定义域为（-∞，-∞）。

y＇=e-x+x（-e-x）=（1-x）e-x

令y＇=0，得驻点x=1

又当x<1时，y＇>0；当x>1时，y＇<0。

所以，函数y的单调增加区间为（-∞，1）

函数y的单调减少区间为（1，+∞）

函数y的极大值为y（1）=e-1

例4[0614]函数的极值点为x=_____

y′=2x

令y′=0，得驻点x=0

当x<0时，y′<0，

x>0时，y′>0，

x=0为的极小值点

例5[0626]求函数f（x）=x3－3x+1的单调区间与极值

解：D(f)=(-∞，+∞)

f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)

令f′（x）=0，得驻点x=-1,x=1

f（x）的单调增区间为（-∞,-1）∪（1，+∞）

单调减区间为（-1，1）

f（x）的极大值f（-1）=3

极小值f（1）=-1

3.曲线的凹向和拐点

（1）曲线的凹向

定义如果在（a，b）内，曲线弧总位于其上任一点处的切线的上方，则称曲线弧在（a，b）内是向上凹的（简称上凹，也称凹）；

如果在（a，b）内，曲线弧总位于其上任一点处的切线的下方，则称曲线弧在（a，b）内是向下凹的（简称下凹，也称凸）。

（2）曲线凹向的判别法

定理2.9设函数y=f（x）在开区间（a，b）内具有二阶导数，

①如果在（a，b）内的每一点x，恒有f′′（x）>0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是向上凹（凹）的②如果在（a，b）内的每一点x，恒有f′′（x）<0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是向下凹（凸）的。

例（1）判断曲线y=lnx的凹凸性；

（2）判断曲线y=sinx在区间[0，2π]上的凹凸性。

（3）曲线的拐点

定义若连续曲线y=f（x）上的点P是曲线上凹与下凹的分界点，则称P点是曲线y=f（x）的拐点。

求曲线y=f（x）的拐点的步骤：

①求出二阶导数f′′（x）；

②求出使二阶导数等于0或二阶导数不存在的点xi（i=1，2，…，k）；

③对于以上的连续点，检验各点的两侧二阶导数是否异号，如是，则该点就是拐点的横坐标；

④求出拐点的纵坐标。

例1[9505]曲线y=6x-24x2+x4的上凸（下凹）区间是（）

A.（-2，2）B.（-∞，0）

C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）

[解析]本小题主要考查利用导数求曲线的凹凸区间。满分4分。

D（f）=（－∞，+∞）

y＇=6-48x+4x3，y＇＇=-48+12x2=12（x+2）（x-2）

令y＇＇=0，得x=－2，x=2

当-2<x<2时，y′′<0，

所以曲线y=6x-24x2+x4的上凸（下凹）区间是（-2，2）。

故选A。

例2[9909]曲线y=x3－3x+1的拐点是______.

[解析]本小题主要考查利用导数求曲线的拐点。满分4分。

D（f）=（-∞，+∞）

Y′=3x2－3，y′′=6x

令y′′=6x，得x=0

当x<0时，y′′<0，当x>0时，y′′>0，

所以曲线y=y3－3x+1的拐点是（0，1）。

例3[0226]求函数y=x3－3x2－1的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点

[解析]本小题主要考查求函数的单调增减区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点。满分8分。

D（f）=（－∞，∞）

y′=3x2-6x，y′′=6x－6

令y′=0，得x=0，x=2，令y′′=0，得x=1

x

(-∞,0)

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,+∞)

y`

+

0

－

－

0

+

y``

－

－

0

+

+

y

↗

极大值

↘

拐点

↘

极小值

↗

∩

f(0)=-1

∩

(1，-3)

∪

f(2)=-5

∪

所以函数的单调增加区间为（－∞，0）U（2，+∞），单调减少区间为（0，2），极大值为f（0）=－1,极小值为f（2）=－5。

其曲线的凸区间为（－∞，1），凹区间为（1，+∞），拐点为（1，－3）。4.曲线的渐近线

定义如果曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线。

（1）水平渐近线

若当x→∞时，f（x）→c（c为常数），即若,则称y=f（x）有水平渐近线y=c。

（2）铅直渐近线

若x→a（有时仅当x→a+或x→a－），有f（x）→∞，即若则称x=a为曲线y=f（x）的铅直渐近线（也称垂直渐近线）（其中a为常数）。

例1曲线的水平渐近线为______,铅直渐近线为______.

[解析]本小题主要考查求曲线的水平、铅直渐近线。

（三）函数的最大（小）值及实际应用问题

1.函数的最值

（1）设f（x）在[a，b]上是连续的，则f（x）在[a，b]上一定存在着最大值M和最小值m。且f（x）在[a，b]上的最值只能在[a，b]内的极值点和区间端点中求得。

注意：在开区间内连续的函数不一定有最大值和最小值。

（2）求连续函数f（x）在区间[a，b]上的最大值的解题步骤：

①求出函数f（x）在（a，b）内的所有驻点以及导数不存在点xi（i=1，2…k）

②计算以上各点的函数值f（x1），f（x2），…f（xk）以及区间的两个端点的函数值f（a），f（b）；

③比较以上的k+2个函数值，其中最大的函数值就是最大值M，最小的函数值就是最小值m。

注意：

①如果f（x）在区间（a，b）内只有一个极大值而没有极小值，则这个极大值就是f（x）在区间（a，b）内的最大值；同理如果f（x）在区间（a，b）内只有一个极小值而没有极大值，则这个极小值就是f（x）在区间（a，b）内的最小值。

②如果f（x）在区间[a，b]上为单调连续函数，则最大（小）值在区间端点取得。

例1[0019]求函数y=xe－x在区间[0，2]上的最大值与最小值（）

[解析]本小题主要考查求函数的最值。满分6分。

y＇=（1－x）e－x，令y＇=0，得驻点x=1,

因为y（0）=0,

所以函数y=xe－x在区间[0，2]上的最大值,最小值y（0）=0.

2.最大（小）值的应用问题

求解最大（小）值的应用问题的步骤：

（1）认真审题，弄清题意，列出函数解析式；

（2）对这个函数求极值；

（3）判定最大（小）值；

（4）答题。

例2.将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做一个无盖的方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，所得方盒的容积最大？最大容积为多少？

[解析]本小题主要考查求解函数的最值实际应用问题。

设小正方形的边长为x，则方盒底面的边长为a－2x，又设方盒的容积为V，则

令，得驻点，其中不合题意，应舍去，当时，当时，。

所以为惟一的极大值点，即是最大值点，亦即当小正方形的边长为时，所得方盒的容积最大，容积。

（四）利用函数的单调性证明不等式

欲证当x≠x0时,有f(x)>g(x)

作辅助函数F(x)=f(x)g(x_

F(x)满足以下条件：

（1）F(x0)=0；（2）当x>x0时，F′(x)>0，F(x)>F(x0)，F(x)>0

当x>x0时，F′(x)<0，F(x)减函数

F(x)>F（x0）

F(x)>0

F(x)-g(x)>0

F(x)>g(x)

例1[0026]证明：

[解析]本小题主要考查利用函数的单调性证明不等式。满分8分。

证：

f(0)=0

则

当x>0时，,为单调增加，∴f（x）>f（0）

例2[0328]证明：当x>0时，

[解析]本小题主要考查利用函数的单调性证明不等式。满分10分。

证：

所以当x>0时，,g(x)=x－ln(1+x)均单调增加,

因为f(0)=0,g(0)=0.f(x)>f(0),g(x)>g(0)=0，即,ln(1+x)<x.

综上可知当x>0时，。

本章小结

一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，在考试中约占30%，约为45分左右。主要内容总结归纳如下：

一、概念部分

重点：导数和微分的定义、函数的可导性与连续性的关系、导数与微分的关系。

二、运算部分

重点：基本初等函数的导数、微分公式，四则运算的求导公式、复合函数求导法、对数求导法等。

求导歌

初等函数一式表，复合四则连环套。

分清四则与复合，关系明确再求导。

常幂指对三反三，导数公式要记牢。

加减关系逐项导，积商导数最重要。

积的导数共两项，u导乘v加u乘v导。

商的导数为分式，母方分之子导乘母减子乘母导。

复合函数层层导，不能重复不漏掉。

隐函数两边同时导，解方程y便得到。

高阶导数阶阶导，归纳规律很重要。

增量比值求极限，定义三步会求导，

分段函数分段点，左导是否等右导。

导数微分互等价，微分加尾别忘掉。

背公式，勿浮燥，多练习，熟生巧，

寻规律，多请教，勤思考，必开窍。

今日唱起求导歌，求导感觉真美妙。

三、应用部分

重点：利用洛必达法则求极限，利用导数研究函数的性态，主要包括函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点、曲线的渐近线，最值的应用问题，利用函数的单调性证明简单的不等式。

定对增极凹拐线，增极凹拐是关键，适当添加辅助点，描点连线图形见。

第三章一元函数积分学

第一节不定积分

[复习考试要求]

1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

2.熟练掌握不定积分的基本公式。

3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。

4.熟练掌握不定积分的分部积分法。

5.掌握简单有理函数不定积分的计算。

[主要知识内容]

（一）不定积分有关概念

1.原函数

定义设f（x）是定义在区间I上的一个己知函数，如果存在一个函数F（x），使得在区间I上的每一点，都有

则称F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数。

结论：如果f（x）在某区间上连续，则在这个区间上f（x）的原函数F（x）一定存在。

2.不定积分

定义函数f（x）的全体原函数的集合称为f（x）的不定积分，记作

并称为积分号，函数f（x）为被积函数，为被积表达式，x为积分变量。

如果F（x）是f（x）的一个原函数，即有，

其中C为任意常数（积分常数）。

3.不定积分的性质

⑴

⑵

⑶

⑷（k为不等于0的常数）

[典型例题]

例1[9607]如果等式成立，则f（x）等于

A.B.C.D.

[解析]本小题主要考查不定积分概念。满分4分。

由不定积分的定义，有，即

。

故选B.

例2[0004]设cotx是f（x）的一个原函数，则f（x）等于

A.csc2xB.-csc2xC.sec2xD.-sec2x

[解析]本小题主要考查原函数的概念。满分4分。

由原函数的定义，有f（x）=（cotx）′=-csc2x。

故选B.

例3[0304]f（x）=e-x的一个原函数是

A.e-xB.exC.-e-xD.-ex

[解析]本小题主要考查原函数的概念。满分4分。

，

所以f（x）=-e-x的一个原函数是-e-x。

故选C.

例4[0403]设函数，则不定积分等于

A.B.2e2x+CC.-2e2x+CD.e2x+C

[解析]本小题主要考查不定积分的基本性质。满分4分。

故选D.

（二）计算不定积分

1.基本积分公式

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

（17）

（18）

2.不定积分法

（1）直接积分法

例1.求下列不定积分

（1）

[解析]

（2）

[解析]

（3）

[解析]

（4）

[解析]

（5）

[解析]

例2[9904]等于

A.B.

C.D.

[解析]本小题主要考查简单函数求不定积分。满分4分。

.故选A.

例3[0322]设函数，求______。

[解析]本小题主要考查先作函数式的变换，再求不定积分。满分4分。

由，得,

则

（2）第一换元积分法

若，且有连续的导数，则

证:

例1.[0111]______.

[解析]本小题主要考查凑微分法求不定积分。满分4分。

解一：

解二：

常用的凑微分公式：

①

②

③

④

⑤

⑥

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

例2（1）[0218]计算

[解析]本小题主要考查凑微分法求不定积分。满分6分。

（2）

（3）

例3.[0022]计算

[解析]本小题主要考查凑微分法求不定积分。满分7分。

例4.[9822]计算

[解析]本小题主要考查凑微分法求不定积分。满分6分。

（3）第二换元积分法

如果是严格单调可导函数，且，又设具有原函数F（t），则有第二换元积分公式

其中是的反函数。

常用的换元类型有：

被积函数类型

所用代换

代换名称

正弦代换

正切代换

根式代换

例1.计算

[解析]本小题主要考查通过简单的根式代换求不定积分。

令，得，dx=2tdt，则有

例2.计算

[解析]本小题主要考查通过简单的根式代换求不定积分。

令，得，，则有

例3.计算

[解析]本小题主要考查通过三角换元（弦变）求不定积分。

令x=sint，得dx=costdt，则有

例4.计算

[解析]本小题主要考查通过三角换元（切变）求不定积分。

令x=tant，得dx=sec2tdt，则有

（4）分部积分法

分部积分公式

u,dv的选择主要有以下类型：

类型

u,dv的选择

幂×指

幂×弦

令

，

令

幂×对

幂×反三

令

令

指×弦

，

令

例1.计算[答]xsinx+cosx+C

例2计算[答]

例3[0120]计算

[答]

例4计算

[答]

例5计算

[答]

例6[9921]计算

[解析]本小题主要考查凑微分法与分部积分法求不定积分。满分6分。

例7[9621]

例8[9821]计算

[解析]本小题主要考查凑微分法与分部积分法求不定积分。满分6分。

令，得，dx=2tdt，则有

例9[9729]计算

[答]

例10[0224]设，求f（x）

[解析]本小题主要考查不定积分的基本性质与分部积分法求不定积分。满分7分。

（5）简单的有理函数的不定积分

例1[0422]计算

[解析]本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。满分6分。

例2计算

[解析]本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。

例3[9722]计算

[解析]本小题主要考查求简单有理函数的不定积分。满分6分。

求不定积分的歌：

微分积分逆运算，先后积微必还原，不定积分是求原函数，不加常数不算完，不定积分提限外，一表三法记心间，牢记基本积分表，通过求导可检验。直接积分最基本，恒等变型需熟练，换原积分繁化简，积完分后再还原，第一换元最重要，能凑便凑最简单，第二换元不能凑，根式代换常出现，三角代换有两种，只需弦变与切变，分部积分未转化，确定dv是关键，幂指弦幂在前，幂对反后为先，指乘弦出循环，寻求规律抓典型，掌握技巧会再练，今日唱起积分歌，积分运算不算难。

第二节定积分及其应用

[复习考试要求]

1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件

2.掌握定积分的基本性质

3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。

4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。

7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。

[主要知识内容]

（一）定积分有关概念

1.定义设函数y=f（x）在区间[a,b]上连续，用分点

a=x0<x1<x2<……xn=b,

将区间[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，其长度为

在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点，作乘积，并求和

设f（x）在区间[a,b]上连续且f（x）≥0

如果当n→∞，时，上述和的极限存在，且与对[a,b]的分法及的取法无关，则称此极限值为函数f（x）在区间[a,b]上的定积分，记作

即

并称f（x）在区间[a,b]上可积。

其中f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a称为积分上限，b称为积分下限。

由定积分的定义可以得到

①

②

③

2.定积分的存在定理

（1）如果f（x）在区间[a,b]上连续，则f（x）在[a,b]上可积。

（2）如果f（x）在区间[a,b]上只有有限个有界间断点，则f（x）在[a,b]上可积。

3.定积分的几何意义：定积分几何上表示由曲线y=f（x），直线x=a,x=b及x轴围成的各部分面积的代数和。

4.定积分的基本性质

（1）。（k为常数）。

（2）。

（3）。

（4）如果f（x）在区间[a,b]上总有f（x）≤g（x），则。

（5）

（6）设M和m分别为f（x）在区间[a,b]上的最大值和最小值，则有

（7）积分中值定理

如果f（x）在区间[a,b]上连续，则在区间[a,b]上至少存在一点，使得

（二）变上限定积分求导定理

1.变上限定积分定义:定义积分上限x为变量时的定积分称为变上限定积分。变上限定积分是积分上限x的函数，记作，一般有

2.变上限定积分求导定理：定理如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则有

推论①

②

③

3.原函数存在定理

定理如果函数f（x）在区间[a,b]上连续，则是f（x）在该区间上的一个原函数。

例1[0003]设函数f（x）在区间[a,b]上连续，则下列结论不正确的是

A.是f（x）的一个原函数

B.是f（x）的一个原函数（a<x<b）

C.是－f（x）的一个原函数（a<x<b）

D.f（x）在区间[a,b]上可积[答]A

例2[0113]设，则[答]arctanx

例3[9912]若，则

[解析]本小题主要考查变上限定积分求导定理。满分4分。

例4[9718]设

试讨论f（x）在x=0处的连续性。

[解析]f（0）=2

，

∵f（0-0）≠f（0+0），∴f（x）在x=0处间断。

（三）计算定积分

1.牛顿——莱布尼茨公式

如果f(x)在区间[a,b]上的连续，且，则有

例1.（1）设f(x)有连续导数，且f(a)=3,f(b)=5，则[答]2

（2）[0606]

例2．

[解析]本小题主要考查用牛——莱公式计算定积分。

例3.己知，则k[答]30

例4（1）[0221]设函数，求

[解析]本小题主要考查分段函数计算定积分。

（2）

2.定积分的换元积分法

换元积分定理：

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，作变换满足：

(1)当t在区间上变化时，的值在[a,b]上变化，且，；

(2)函数在区间上单调且有连续的导数，

则有

上式称为定积分的换元积分公式。

例1（1）[0023]计算

[解析]本小题主要考查用换元积分法计算定积分。满分7分。

方法一：

本题利用了

方法二：

令，得，，

当x=0，时u=3；当x=1时，u=4-e则有

（2）.

方法一：

方法二：令sinx=u,cosxdx=du

当x=0时,u=0;x=时，

原式＝

例2[0124]计算

[解析]本小题主要考查用换元积分法计算定积分。满分7分。

作变换，令，得，，

当x=1时，t=1；当x=8时，t=2

则有

推论：设函数f(x)在区间[-a,a]上连续，

(1)若f(x)为奇函数，则

(2)若f(x)为偶函数，则

证⑴：f(-x)=-f(x)

令x=-t,t=-x,dx=-dt

当x=-a时，t=a；

x=0时,t=0。

例3

(1)[0313]

(2)[0411]

(3)[0618]

3.定积分的分部积分法

例1[0324]计算

[解析]本小题主要考查用分部积分法计算定积分。满分6分。

解一：令u=xdv=sinxdxdu=dxv=-cosx

解二：

例2（1）[0423]计算

[解析]本小题主要考查用分部积分法计算定积分。满分6分。

（2）[0624]

（四）广义积分

定义积分上、下限中至少有一个为无穷大的定积分，称为无穷区间的广义积分，简称为无穷积分，或广义积分。

设函f(x)在区间上连续，如果极限存在，则称无穷积分收敛，并称此极限为该无穷积分的值，记为，如果极限不存在，则称无穷积分发散。

类似地可以定义广义积分和的收敛和发散。

例1[0424]计算

[解析]本小题主要考查计算广义积分。满分6分。

解一：

解二：

例2[9824]计算

[解析]本小题主要考查计算广义积分。满分6分。

（五）定积分的应用

1.计算平面图形的面积

(1)X型：曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))和直线x=a,x=b(a≤b)所围成的平面图形的面积A为。

(2)Y型：曲线和直线y=c,y=d(c≤d)，所围成的平面图形的面积A为。

例1.求由曲线及直线y=2x所围成的平面图形的面积。

[解析]画出图形，解方程组

得两曲线的交点O（0，0），A（2，4）。

则曲线及直线y=2x所围成的平面图形的面积

例2.求由曲线及直线y=x-2所围成的平面图形的面积。

解析]画出图形，

解方程组

得两曲线的交点A（1，-1），B（4，2）。

则曲线及直线y=x-2所围成的平面图形的面积

另解以x为积分变量

例3.[9826]求由抛物线及其在点（1，0）处的切线和y轴所围成的平面图形的面积。

[解析]画出图形，

过点（1，0）处的切线方程为y=-2(x-1)。

则所求就是抛物线及其在点（1，0）处的切线y=-2(x-1)和y轴所围成的平面图形的面积。

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：

(1)画草图，求出曲线的交点坐标；

(2)用穿线扫描法选择类型；

(3)确定被积函数及积分区间；

(4)计算定积分。

2.旋转体的体积

(1)X型由连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积

(2)Y型由连续曲线和直线y=c,y=d(c<d)及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积

例1[0028](1)求由直线x=0,x=2,y=0与抛物线所围成的平面图形的面积；

(2)求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积

[解析](1)

(2)

（六）综合题与证明题

1.计算证明

例1[0127]设（n为正整数），证明f(3)+f(5)=1/4.

[证明]

2.变上限定积分求导定理证明

例2[0228]己知证明。

[证明]由己知，得

等式两边同时对x求导，得

即

在上式中，令，得

即

3.换元积分定理证明

例3设函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明

[解析]本小题主要考查用换元积分法证明等式。满分10分。

证明：作变换，令1-2x=t，得x=(1-t)/2，dx=-(1/2)dt，

当x=0时，t=1；当x=1/2时，t=0

则有

4.运用定积分是常数的概念证明

例4[9927]设函数f(x)满足证明

[证明]令

由己知，得f(x)=lnx-A

上式两边同时取区间[1,e]上的定积分，得

即

得eA=1，A=1/e

即

5.用分部积分法证明

例5．设,证明f(x)=x+2

[证明]：

本章小结

一元函数积分学是微积分学的核心内容之一，在考试中约占32%，约为48分左右，主要内容总结归纳如下：

一、概念部分

重点：原函数与不定积分的概念、不定积分的性质，定积分的概念与性质，无穷区间上广义积分的概念。

二、运算部分

重点：第一换元积分法、分部积分法计算不定积分、定积分，变上限定积分及其求导汁计算，广义积分的计算。

三、应用部分

重点：定积分的几何应用，求平面图形的面积和旋转体的体积。

第四章多元函数微分学

[复习考试要求]

1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续的概念。

3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。

4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。

6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。

第一节多元函数

（一）多元函数的概念

1.多元函数的定义

定义:设D为Oxy坐标平面上的一个区域，如果对于D上每一点(x,y)，变量z依照某一对应规律总有惟一确定的数值与之对应，则称z为x,y的二元函数，记为z=f(x,y)

其中D称为二元函数的定义域。

类似地可以定义三元函数，记作u=f(x,y,z)

二元及二元以上函数统称为多元函数。

2.二元函数的几何意义

设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，则在空间直角坐标系Oxyz中z=f(x,y)表示一张空间曲面，且这个曲面在Oxy坐标平面上的投影即为函数的定义域D。

如z=ax+by+c表示一个平面；

3.二元函数的定义域

定义:平面上使二元函数z=f(x,y)有定义的一切点的集合，称为二元函数的定义域，记为D或D(f)。

二元函数的定义域D是Oxy坐标平面或Oxy坐标平面上的某一个区域。

求二元函数定义域与一元函数相仿，需遵照以下几个原则：

（1）分式的分母不为零；

（2）开偶此方根号下的表达式必须大于或等于零；

（3）对数的真数必须大于零；

（4）arcsinf(x,y)，arccosf(x,y)中的。

（5）求复合函数定义域时，宜于由外层到里层进行。

例1.求下列二元函数的定义域

(1)

[答]

(2)y=ln(x-y)

[答]

(3)

[答]

例2．求下列二元函数的函数值

(1),。

[答]

(2),则f(x,y)=。

f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y)

令x+y=u,x-y=v

f(u,v)=uv

f(x,y)=xy

[答]xy

(3),则f(x,y)=。

[答]

（二）二元函数的极限

定义设函数z=f(x,y)在点的某一去心邻域内有定义，P(x,y)为该邻域内任意一点，当P(x,y)以任意方式趋近于时，函数f(x,y)的值都趋近于一个确定的常数A，则称A是函数z=f(x,y)当点P(x,y)趋近于点时的极限，记作

（三）二元函数的连续性

定义设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，当该邻域内的点P(x,y)以任意方式趋近于点时，函数z=f(x,y)的极限存在，且等于该函数在点处的函数值，即

则称函数z=f(x,y)在点处连续。

如果z=f(x,y)在区域D内的每一个点(x,y)处都连续，则称函数z=f(x,y)在区域D内连续。

多元函数具有以下性质：

（1）多元连续函数的和、差、积仍为连续函数。在分母不为零的点处，连续函数之商仍为连续函数。

（2）多元连续函数的复合函数也是连续函数。

（3）多元初等函数在其定义域上都是连续函数。

（4）最大（小）值定理有界闭区域D上的连续函数，在区域D上必能取得最大值与最小值。

（5）介值定理有界闭区域D上的连续函数，在区域D上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值。

第二节偏导数与全微分

（一）偏导数

1.定义

设函数z=f(x,y)在点的某一邻域D内有定义，当自变量x在取得改变量,而保持不变，函数z=f(x,y)有相应的改变量。

如果当时，极限存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点处对x的偏导数。记作

同理，可以定义z=f(x,y)在点处对y的偏导数，即如果极限

如果f(x,y)在区域D内每一点都有偏导数，，则可以将这两个偏导数认定为二元函数，常称之为偏导函数，简称偏导数。

2.偏导数的几何意义

二元函数z=f(x,y)在点处对x的偏导数的几何意义是：在曲面z=f(x,y)与平面相交的曲线，即曲线上，过点所作切线对x轴的斜率tanα

同理，二元函数z=f(x,y)在点处对y的偏导数的几何意义是：在曲面z=f(x,y)与平面相交的曲线，即曲线上，过点所作切线对y轴的斜率。

3.偏导数的求法

设二元函数z=f(x,y)，当求z=f(x,y)对x的偏导数时，只要将二元函数中的y看作常数，而只要对x求导即可。

同理，当求z=f(x,y)对y的偏导数