均值不等式简单难度讲义

/均值不等式知识讲解等号成立条件条件：对于任意实数,,当且仅当时,等号成立．证明：,当时,；当时,．,当且仅当时,等号成立．均值不等式定义：如果,是正数,那么,当且仅当时,有等号成立．此结论又称均值不等式或根本不等式．证明：,即,所以三、均值不等式的几何解释解释：对于任意正实数,以的线段为直径做圆,在直线上取点C,使,过点C作垂直于直线AB的弦,连接AD、DB、如图,那么,即．这个圆的半径为,显然,当且仅当点C与圆心重合,即时,等号成立．四、均值不等式的理解1.对于任意两个实数,叫做的算术平均值,叫做的几何平均值．此定理可以表达为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．2.对于的理解应为是的充要条件．也就是如果,那么．3.注意和成立的条件不同．前者是,后者是五、极值定理1.假设〔和为定值〕,那么当时,取得最大值是；【证明】都是正数,,有,,当且仅当时,取得最大值是；2.假设〔积为定值〕,那么当时,取得最小值是；【证明】都是正数,,当且仅当时,等号成立．又,．【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：=1\*GB3①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用均值不等式,在同负时可以先进行转化,再运用均值不等式；=2\*GB3②求积最大值时,应看和是否是定值；求和最小值时,看是否为定值．=3\*GB3③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；=4\*GB3④注意“1〞的代换；=5\*GB3⑤等号是否成立:只有具备了不等式中等号成立的条件,才能使函数式取到最大或最小值．否那么不能由均值不等式求最值,只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．典型例题一．选择题〔共10小题〕1．〔2019•海拉尔区校级二模〕正实数x,y满足2x+y=1,那么xy的最大值为〔〕A．18 B．23 C．142．〔2019•延边州模拟〕假设a＞0,b＞0,lga+lgb=lg〔a+b〕,那么a+b的最小值为〔〕A．8 B．6 C．4 D．23．〔2019春•聊城期末〕a、b是不相等的正数,x=a+b2,y=a+b,那么x、y的关系是A．x＞y B．y＞x C．x＞2y D．不能确定4．〔2019秋•莲湖区校级期末〕a＞0,b＞0,a+b=2,那么y=1a+4b的最小值是〔A．92 B．72 C．55．〔2019秋•陆川县校级期末〕x,y＞0,且1x+1y=2,那么xA．3-22 B．3-222 C．3+26．〔2019春•昌吉市期末〕当x＞0,y＞0,1x+9y=1时,x+y的最小值为〔A．10 B．12 C．14 D．167．〔2019春•沙坪坝区校级期末〕实数a,b均为正数,且a+b=2,那么1a+2b的最小值为〔A．3 B．3+22 C．4 D．32+8．〔2019春•南关区校级期末〕假设正数x,y满足x+3y=5xy,那么3x+4y的最小值是〔〕A．245 B．285 C．69．〔2019秋•武邑县校级期末〕假设x,y是正数,且1x+4y=1,那么xy有〔A．最大值16 B．最小值116 C．最小值16 D．最大值10．〔2019•红桥区模拟〕x＞﹣2,那么x+1x+2的最小值为〔A．﹣12 B．﹣1 C．2 二．填空题〔共4小题〕11．〔2019•金山区二模〕函数y=x+9x,x∈〔0,+∞〕的最小值是12．〔2019秋•杨浦区校级期末〕假设正数a、b满足loga〔4b〕=﹣1,那么a+b的最小值为．13．〔2019春•秦淮区校级期中〕正实数x,y满足xy=3,那么x+y的最小值是．14．〔2019春•宿迁期末〕正实数x,y满足2x+y=1,那么xy的最大值为．三．解答题〔共1小题〕15．〔2019•南通模拟〕某工厂要建造