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文档简介

类型一：用柯西不等求最值例1．求函数

的最大值解：

且

，函的定义域为，，即时函数取最大值，最大值为法二∵且，∴函的定义为由即，得∴当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解

，得时函数取最大值，最大值为

【变式】设

且，

的最大值及最小值。利用柯西不等式得最小值为-

故最大值为，【变式】已知法一由柯西不等

，，

的最值于是

的最大值为，最小值为

法：柯西不等式于是的最大值为，最小值为【变式】设2x+3y+5z=29，求函数根据柯西不等式

的最大值．

222222222222222222，故。当且仅当

时等号成立时变式axy

ab

a

(10

b

a

b

x2z[12

2)](xy)(x

16(x2z)2

x

5a

b45xy222x2z(x2y(xy2]9

(xy

x

2y

2z

(xy

xz12

2

3

x33x,z

R

xy

2

[y2222]xy)[2y]

3614

187xzt21

,(1

t

37

y

274916aca

(

b)c

(

4916abc

c)

(

4916491681)4)81abcab

)22)22a,c

c

13abc

________:

12[(a)22b)2c)][()2))2]abc

2

(

1ac

18xy

((2(z5

y:

((2(z4

[4)]

xy()2)2)2

xy()5()(

yz

y

xyy类型二：利用柯西不等式证明不等式基本方法234例1．设、、为数且各不相等，求证：又、、各不相等，故等号不能成立∴

。例2．、为非负数，，∴

，求证：即

例3．若>>，求证：解：，，∴，∴所证结论改为证∴例4．，求证：左端变形

，∴只需证此式

即可。【变式】设a,b,c为数，求证：

．同理

，即，

。．将面三个同向不等式相加得，．【变式

】设

a,b,c

为正数，求证：

22222222222222于是【变式】已知正数

满足

即证明。解：又因为在此不等式两边同乘以，加上

得：，故。类三柯西等在几上应用．△ABC三边长为a、b、，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，以，同理，于是左=

。【变式】ABC之边长为，，6，为角形内部一点P到三边的距离分別为x，y，z，求

的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式4x+5y+6z)≥(x+y+z)(4+5)≥(x×77x+y≥。

2222柯不式b1nn

221n

2

n

iii

等当仅

a或1nii

时立k为常，

in

）利用柯西不等式可处理以下问题：）证不等式例已正数

a,b足

证明

3

2

2

2证明：

2

11312ca

3

3

3

又因为

2

b

2

c

2

ab等两边同乘以，再加上

2

2

2

得：

2

2

2

22）解角形的相关题例3设p是内一点,z是到边ab,

的距离是外接圆的半径，证明

x22R证明：

111yzaxbyaxbya

11a记为的积，则S

abcabc4R2x

12

R

2

2

2）求值例4已知实数

b,c,d

满足

，

2b2c2d

试求

的最值解：

2c2d2

1b2

即

2b

2

2

d

2

由条件可得，

2

9494解得，

a

当且仅当

3cd12116

时等号成立，代入

b

11,d36

时，

21bd33

时

min

）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程

x

y39解：

2

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