高考冲刺 圆锥曲线

22222222高考冲刺22222222

圆锥曲线一圆曲的义1.椭圆个定点距离之和等于定定长大两个定点间距离点的轨迹做椭圆{P||PF1(2a>|F|)}。122.双曲：到两个点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个点的距离的动点轨叫做双曲线。即(2a<|F|)}。1223.圆锥曲的统一定：到定点的距离与到定直线的距离比e是常的点的轨叫做圆锥线。当时为椭圆：当时为物线；当e>1时双曲线。二圆曲的程1.椭圆：2.双曲线：

（）-=1（a>0,）或

=1（中，a=b+c）-b>0中）3.抛物线：=±2pxp>0x=±2py（）三圆曲的质1.椭圆：

（）（1范围：≤a≤b

（）顶点：(±a,0)，(0,±b)

（3）焦点：(±c,0)（4离心率e=

∈(0,1)

（）准线：x=±2.双曲线：

-=1（a>0,）（1范围：≥a,y∈R

（2顶点：

（3焦点：（4离心率e=

∈(1,+∞)

（5准线：x=±

（）渐近线x3.抛物线：=2px(p>0)（1范围：≥0,y∈R（4离心率e=1

（2顶点）（3焦点（）准线x=-

,0）四例选：例1.椭圆短轴长为，长轴是轴的2，则椭中心到准的距离是_。解：由题：2b=2，，a=2c=

，则椭圆中到准线的离：

。1

22222222222注：椭圆本身的性质（如距，中心准线的距，焦点到准线的距离等等）不受椭的位置的响。22222222222例2.椭圆

离心率e=

，则m=___________。解）椭圆的焦点x轴上，，b=4，=m-4，em=8。（2椭圆的点在y轴，

2

，

=m，c

2

=4-me

2

m=2。注：椭圆方程的标准形式两个，在有确定的况下，两种情况都要考虑，切不可主观丢掉解。例3.椭圆的离心率e。

=1为焦点，AB是两顶点，为圆上一点，⊥x轴且PO//AB，求圆1解：设椭圆的右点为，由第一定：|PF|+|PF|=2a,∵⊥x轴，|PF||=|PF，22122即|)(|PF|-|PF,211∴

|PF1

。∵，∴∽ΔBOA,1∴

c=ba=c,∴=

。又解，∵⊥x，∴设P(-c,y)。1由第二定义

|PF+)=(-c+)=,10由上解中ΔPFO得到b=c1

。例4.已知F，F为椭圆12

的焦点为圆上一点，∠F12

，求ΔFPF的面积。12分：要三角形的积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到圆中一些之间的关，我们选用面积公式S=absinC。解一：=|PF|PF|+|PF，1

2

=|FF=|PF|+|PF12

-2|PF||PF|cos12

，

即(|PF12

-3|PF||PF|=4×36，12|PF1

∴S=

。2

22222解二：=|=，由第二定：P22222由第一定义|PF|=2a-|PFx，21P

|PF|=a+exx，1P4c

2

=|F12

x)P

+(10-)P

2

-2(10+x)(10-x)cosP

，144=100+

，

=64(1-

，

=6|y|=6×=

。注：两个定联合运用决问题。三角形面积公式均可得到结果。初时最好两办法都试。例5.椭圆

的点为F和，P在椭圆，若线段的中在y上，：|，。11分：先要根据题意画出图，然后根已知量，关于|PF|，|PF的表达式写来，再求。12解：如图，∵为F中，中点在轴上，PF//y轴，PF⊥x轴，12由第一定义|PF|=2a=412|-|PF|)(|PF|+|PF|)=4×9=36，1212

，|PF|-|PF||，122例6.椭圆：

。内一点A（2，F，为点，P为椭圆上一，求|PA|+|PF的最值。1解|=|PA|+2a-|PF|=10+|PA|-|PF|≤|AF|+10=2122|PA|+|PF|=10-(|PF|-|PA|)-|AF|=10-21

+10，。注：利用几何图形的性质三角形两之和大于三边，两边之差小于第三边。例7.已知P为双曲线

-（）上一点，F为焦点A，A为其顶122点。求证：为直径圆与以A，A为径的圆相。11证：不妨设P双曲的右支上，中点O＇AA中点O11|OO＇|PF|，圆O半径为2

|AA|圆＇半径为1

|PF1由双曲线定：A|121∴两个圆内切。

|PF|AA|=1123

22222222222注：可以自证出P在左支，两圆相切。22222222222例8.已知：过抛物线y

=2px(p>0)点的直线与抛线交于PQ两。求证：线段为直径圆与准线相。证：由定义知，如图：＇＇|=|QF||PQ|=|PP|+|QQ，

|PQ|=(|PP|+|QQ＇，故圆心到准的距离等圆的半径即圆和准线相切。五课练1.椭圆

一点P椭圆两焦连线互相垂直，则F的面积为）12A、20B、22C、D、2.若点是双曲线x-y支上一点且到渐线距离为，)A、-B、

C、D、3.焦点在线3x-4y-12=0上抛物线的准方程是）A、y

=16x或

=16yB、y=16x或x

Cx

或y

=16xD、

=16y或

4.已知：圆

（a>b>0）两点QO为原点OP⊥，证：

为定值。六练答：1.D2.B4.设P(|OP|cosα,|OP|sinα),Q(|OQ|cos(α+90°),|OQ|sin(，利用两点距离公式及三角公式，=

。高考冲刺

直线和圆曲线的位置系一直与锥线置系的定直线与圆锥线的位置系有三种相交、相切、相离。判断的方法均把直线方代入曲线程中，判方程解的个数，从得到直线曲线公共的个数，最终得到直线与曲线的位关系。一利用二次程判别式判断有无解，有几个解。特别意当直线双曲线的近线平行及直线与抛物线的对称轴平行时，直与曲线只一个公共，但也称之为相，这是特情况，请家注意。二弦公：直线与曲线于P(x,y),Q(x)两点，则-x，此为长公式，k为直的斜率，长公式实是直11线上任意两间的距离注意：当线的斜率不存在时，不能用弦长公解决问题如何解决给大家思。4

22222242三例选：22222242例1已知经过点P（）的直线l与椭圆

=1交于AB两点若恰为AB中。求：线l的方程。解一：设直l方程：y-1=k(x-1)或当直线lx=1时满足题意，直线l的斜存在，则有：)x-(18k-18k)x+9k-18k-27=0.∵PAB中点，∴x1解二：设A(x,y),B(xy),112

k=-,直线l:4x+9y-13=0.∵、椭圆上∴，∴4(x+x)(x-x+y)(y-y)122∵为A、B中点∴+x=2,y+y12∴8(x-x)=-18(y-y)，∴k==-,1212解三：设l:(t为参数)

∴l代入曲线方：α)

2

+9(1+tsinα)

2

α+9sin

2

α)t+(8cos∵PAB中点，∴t+t=0,12

∴tanα=-=k,

∴l例2求以圆

的焦点焦点，且过直线x-y+9=0上一点的椭圆中，长轴短的椭圆方程。解一：

焦点为±3），设以（±3）为焦点椭圆为：

且与线x-y+9=0相时满足条件。即

-9)x+18a-90a)=05

422222222222a，或a（舍）422222222222∴椭圆：

。解二：直线x-y+9=0上一点P(x,y)到（）（3,0）的离之和为定长2a的小值，1即变为在直上找一到(-3,0),(3,0)距离之最小12F（）于直线x-y+9=0的称点F＇(-9,12),2(2a)=|FF＇|==6.min1

∴c=9,∴

。例3已知直线l过坐标原点，抛物线C的点在原点焦点在x轴正半轴上，若点（-1，），（，）关于直线l的对称点都C。求：线l与抛物线的程。解一：设ly=kx且≠1),C:y

2

=2px(p>0),又A（-1，0）关于l的对点A＇则：

()

2

=2pp=..........(1)又设B（）关于l的对称点B＇）,则：()p=........(2)由知：，

ly=x,C:y=x.解二：设A（-1）关于l的对点为A＇

∵|OA|=|OA＇，∴∠A＇OX=α,∴A＇α,-sinα)设关于l的对称为＇

∵|OB|=|OB＇|=8,∠AOB=A＇OB＇=90°,∴∠＇OX=α,＇α,8cos

∵＇，B＇在y=2px上，∴

2cosα=sinαtanα=2

∴sinα=,cos

,∴B＇)

∴()p==,

∴C:yx,6

222222∵B，＇点（，222222

）在l:y=kx，∴=k·,

∴ly=x.例4已知两个定点，|AB|=3动点P∠PBA=2∠≠0，求P轨迹。解一：以A原点，AB所在直线为x轴正方建立平面直角坐标系（如图），则A（0，0），B，0，设P(x,y)，∵∠PBA=2∠，,kPA(1)x≠3时kPB

∵∠∠≠0,∴tan∠∠PAB,∴-3x