计算机控制系统第4章200802-cxt

计算机控制系统第4章计算机控制系统的理论基础自动化学院

把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样开关，又称采样器。如果系统中有一处或多处采样开关，则该系统称为采样系统，如图4-1所示，其中的S即为采样开关。采样开关后面的信号不是连续的模拟信号，而是在时间上离散的脉冲序列，称为离散信号。第4章计算机控制系统的理论基础

图4-1采样控制系统2第4章计算机控制系统的理论基础

计算机控制系统则属于采样控制系统，一个典型的计算机控制系统如图4-2所示，注意，其中采样开关的功能是通过A/D转换器来完成的。模拟信号经A/D转换器转换后，不仅在时间上离散，在幅值上是整量化的，称为数字信号。数字信号是离散信号的一种特殊形式，它能被计算机接收、处理和输出。图4-2计算机控制系统3第4章计算机控制系统的理论基础信号的采样图4-3实际采样过程4图4-4理想采样过程第4章计算机控制系统的理论基础信号的采样5

采样信号是在时间上离散，在幅值上连续变化的信号，称为离散模拟信号，它不能直接进入计算机，必须经量化后成为数字信号，才能被计算机接受。所谓量化，就是采用一组数码（例如8位A/D转换器的数码范围是0～255）来逼近离散模拟信号的幅值，将其转换成数字信号。

第4章计算机控制系统的理论基础量化6第4章计算机控制系统的理论基础量化图4-5量化过程7在计算机控制系统中将转换为的采样以及将转换为的量化都是由A/D转换器完成的，因此一般将这两个过程合称为采样。第4章计算机控制系统的理论基础采样、量化8第4章计算机控制系统的理论基础采样过程的数学描述及特性分析如图4-4，采样开关的周期性动作相当于产生一串理想脉冲序列，数学上可表示成如下形式：调制过程在数学上的表示为两者相乘，即调制后的采样信号可表示为9第4章计算机控制系统的理论基础采样过程的数学描述及特性分析因为e(t)只在采样瞬间t=nT

时才有意义，故上式也可写成对于量化过程，如图4-5，设和分别为模拟信号的最大值和最小值，则量化单位定义为10第4章计算机控制系统的理论基础采样过程的数学描述及特性分析量化过程实际上是一个取整的过程，有“向上取整”、“向下取整”、以及“四舍五入取整”，大部分A/D转换器采用的是“四舍五入取整”。在时刻A/D转换器的输出信号其中特指时刻的整量化的值，与式(4-3)中在采样瞬间时的模拟量不同。11第4章计算机控制系统的理论基础零阶保持器采样控制系统的连续部分只能接收连续信号，因此需要保持器来将离散信号转换为连续信号。零阶保持器，采用恒值外推规律的保持器。它把前一采样时刻的不增不减地保持到下一个采样时刻，其输入信号和输出信号的关系如图4-6所示。图4-6零阶保持器的输入和输出信号12第4章计算机控制系统的理论基础零阶保持器零阶保持器的单位脉冲响应如图4-7所示，可表示为

图4-7零阶保持器的单位脉冲响应13第4章计算机控制系统的理论基础零阶保持器上式中令，可以求得零阶保持器的频率特性

14第4章计算机控制系统的理论基础零阶保持器图4-8零阶保持器的幅频特性和相频特性15第4章计算机控制系统的理论基础零阶保持器零阶保持器频率特性的幅值随角频率的增大而衰减，具有明显的低通特性。另外，它造成相位滞后。因此，连续信号由采样器转换成，再经零阶保持器后，其输出信号与原始信号是有差别的。

16第4章计算机控制系统的理论基础采样定理连续信号经过采样器转换成后，如果立刻进入某种理想的保持器，则其输出信号与原始信号是否就完全相同了呢？香农（Shannon）采样定理给出了答案：

采样定理

如果被采样的连续信号的频谱为有限宽，且频谱的最大宽度为，又如果采样角频率，并且采样后再加理想滤波器，则连续信号可以不失真地恢复出来。

17第4章计算机控制系统的理论基础采样定理该定理简单的解释如下：一般来说，连续信号的频谱是单一的连续频谱，如图4-9所示，其中为频谱中的最大角频率。图4-9连续信号频谱18第4章计算机控制系统的理论基础采样定理采样信号的频率特性其频谱是由无穷多个以采样角频率为周期的孤立频谱组成的，如图4-10所示图4-10采样信号频谱19第4章计算机控制系统的理论基础采样定理采样信号的频率特性理想滤波器（即理想保持器）的频率特性如图4-11所示。在的情况下，在滤波器输出端得到的频谱将准确地等于连续信号的频谱的倍，经过放大器放大倍，便可以从不失真地恢复原来的连续信号。可以理解为和相“乘”，其“积”正好等于

图4-11理想滤波器的频率特性20第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换理论线性连续系统的动态和稳态性能，可以应用拉氏变换的方法进行分析。与此类似，线性离散系统的性能，可以采用Z变换的方法来分析。Z变换是从拉氏变换直接引申出来的一种变换方法，它实际上是采样函数拉氏变换的变形。因此，Z变换又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。21第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换定义

22第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换定义

和是一一对应的，而并不能唯一地确定中，决定幅值，决定时间。Z变换和离散序列之间有着非常明确的“幅值”和“定时”的对应关系。23第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换性质

1.线性定理设ci为常数，如果有则

24第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换性质

2.实数位移定理又称平移定理，实数位移的含义，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期向左平移为超前，向右平移为迟后。

25第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换性质

证明

根据Z变换定义有令m=n－k，则有由于Z变换的单边性，当时，所以上式可写为

再令m=n

，定理得证。

26第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换性质

式(4-17)称为迟后定理，式(4-18)称为超前定理。算子z有明确的物理意义：代表时域中的迟后环节，它将采样信号迟后k个周期，参见式(4-14)和式(4-15)。同理，代表时域中的超前环节，它将采样信号超前k个周期。但是，仅用于运算，在物理系统中并不存在。

27第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换性质

3.复数位移定理

4.初值定理

5.终值定理如果的Z变换为，且为有限值，以及极限存在，则 28第4章计算机控制系统的理论基础

Z变换性质

6.卷积定理设 则

29第4章计算机控制系统的理论基础

级数求和法

例4-1

求单位阶跃函数的Z变换。

解

单位阶跃函数的采样函数为则将代入式(4-14)，可得

30第4章计算机控制系统的理论基础

级数求和法

例4-2

求的Z变换。

解，根据式(4-14)，可得则两边同乘得两式相减，可以求得

31第4章计算机控制系统的理论基础部分分式法

例4-3

设连续函数的拉氏变换式为，求其Z变换。解将F(s)

根展开为部分分式由例4-1和例4-2可知

32第4章计算机控制系统的理论基础部分分式法

例4-4

求的Z变换。

解求F(s)并将其展开为部分分式33第4章计算机控制系统的理论基础Z反变换1.长除法——幂级数法

例4-5

已知，求

解

可以写为

34第4章计算机控制系统的理论基础2.部分分式法

例4-6

用部分分式法求上例中的Z反变换式。

解将展开成部分分式为

查表得

35第4章计算机控制系统的理论基础3.留数计算法

由复变函数理论可知

res

表示在的极点上的留数。一阶极点的留数为

q阶重极点的留数为

36第4章计算机控制系统的理论基础3.留数计算法

例4-7

用留数法求的Z反变换。解

根据式(4-26)有

37第4章计算机控制系统的理论基础3.留数计算法

例4-8

用留数法求的Z反变换。解由于F(z)

在z=1处有二重极点，因此

38第4章计算机控制系统的理论基础差分方程及其求解

求对于单输入、单输出线性定常系统，采用下列微分方程来描述：

线性离散系统，其输入与输出之间可用线性常系数差分方程描述，即

39第4章计算机控制系统的理论基础迭代法

式(4-30)是一个n阶常系数差分方程。如果已知差分方程和输入序列，并且给定输出序列的初始值时，就可以利用迭代关系逐步计算出所需要的输出序列。

例4-9

已知差分方程

输入序列为初始条件为，试用迭代法求解差分方程。

解

逐步以，代入差分方程，则有

迭代法可以求出输出序列，但不是数学解析式。迭代法的优点是便于用计算机求解40第4章计算机控制系统的理论基础Z变换法

在离散系统中用Z变换求解差分方程，也使得求解运算变成代数运算，大大简化和方便了离散系统的分析和综合。用Z变换求解差分方程，主要用到了Z变换的实数位移定理

41第4章计算机控制系统的理论基础Z变换法

例4-10

求解差分方程

解

对差分方程作Z变换

代入初始条件得

42第4章计算机控制系统的理论基础Z变换法

例4-11

求解差分方程

解

对差分方程作Z变换

已知，以代入差分方程可得 以，代入Z变换式，得

43第4章计算机控制系统的理论基础用Z变换求解差分方程

1)对差分方程作Z变换；2)利用已知初始条件或求出的代入Z变换式；

3)由Z变换式求出

4)由，利用长除法或部分分式法或留数计算法，便可得到差分方程的解。44第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

在线性采样系统理论中，把初始条件为零的情况下系统的离散输出信号的Z变换与离散输入信号的Z变换之比，定义为脉冲传递函数，或称Z传递函数。它是线性采样系统理论中的一个重要概念。45第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

对于图4-13a所示的采样系统，脉冲传递函数为图4-13采样系统46第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，如图4-13b所示。在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入端的采样开关相同。

47第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g(t)

经过采样后离散信号g*(t)

的Z变换，可表示为脉冲传递函数还可表示为

48第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

图4-14两种串联结构49第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

在图4-14a所示的开环系统中，两个串联环节之间有采样开关存在，这时

50第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

在图4-14b所示的系统中，两个串联环节之间没有采样开关隔离。这时系统的开环脉冲传递函数为

51例4-12

设图4-14中

求系统的开环脉冲传递函数。

解对于图4-14a，由式(4-33)得其开环脉冲传递函数为

而对于图4-14b，由式(4-34)，其开环脉冲传递函数为

第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

52第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

图4-15闭环采样控制系统53第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

闭环离散系统对输入量的脉冲传递函数为

与线性连续系统类似，闭环脉冲传递函数的分母1+GH(z)即为闭环采样控制系统的特征多项式。54第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

图4-16具有数字控制器的采样系统55第4章计算机控制系统的理论基础脉冲传递函数的基本概念

图4-17有干扰信号的采样系统56第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析

S平面和Z平面这两个复平面的关系复变量z和s的关系为 其中，T为采样周期。则

所以设S平面上的点沿虚轴移动，即，对应Z平面上的点，其轨迹是一个单位圆。当S平面上的点从移到时，Z平面上相应的点已经沿着单位圆转过了无穷多圈。当s位于S平面虚轴的左半部（）时，这时，对应Z平面上的单位圆内；当s位于S平面虚轴的右半部（）时，这时，对应Z平面上的单位圆外部区域。

57第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析图4-18s平面上虚轴在Z平面上的映象58第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析

系统的特征根为即为闭环传递函数的极点。根据以上分析可知，闭环采样系统稳定的充分必要条件是，系统特征方程的所有根均分布在Z平面的单位圆内，或者所有根的模均小于1，即59第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析对于线性采样系统，不能直接应用劳斯判据，因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否在S平面虚轴的左半部，而采样系统中希望判别的是特征方程式的根是否在Z平面单位圆的内部。因此，必须采用一种线性变换方法，使Z平面上的单位圆，映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为双线性变换，又称为W变换。注意，因是超越方程，故不能将特征方程式变换为代数方程。60第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析对于W平面上的虚轴，实部u=0，即这就是Z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。

61第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析例4-13

判断图4-19所示系统在采样周期T=1s和T=4s时的稳定性。图4-19采样系统62第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析解开环脉冲传递函数为

闭环传递函数为闭环系统的特征方程为

63第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析当T=1s时，系统的特征方程为

因为方程是二阶，故直接解得极点为。由于极点都在单位圆内，所以系统稳定。当T=4s时，系统的特征方程为闭环传递函数为解得极点为，。有一个极点在单位圆外，所以系统不稳定。可以看出，一个原来稳定的系统，如果加长采样周期，超过一定程度后，系统就会不稳定。通常，T越大，系统的稳定性就越差。64第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析c1=[1－10.632]roots(c1)c2=[120.927]roots(c2)65第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析例4-14

设采样系统如图4-20所示，采样周期T=0.25s，求能使系统稳定的K值范围。图4-20采样系统66第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析解开环脉冲传递函数为

闭环传递函数为闭环系统的特征方程为

67第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳定性分析令，T=0.25s代入上式得

整理后可得

劳斯表为

0.158K 2.736－0.158K

1.264

2.736－0.158K要使系统稳定，必须使劳斯表中第一列各项大于零，即

0.158K＞

0 和

2.736－0.158K＞

0所以使系统稳定的K值范围是0＜K＜17.368第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳态误差分析图4-21单位反馈采样控制系统69第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳态误差分析稳态位置误差系数

稳态速度误差系数

稳态加速度误差系数70第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳态误差分析表4-2单位反馈离散系统的稳态误差

系统型别位置误差r(t)=1(t)速度误差r(t)=t加速度误差r(t)=t2/20型∞∞Ⅰ型0∞Ⅱ型00

71第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳态误差分析例4-15

线性离散系统如图4-19所示，采样周期T=1s。试求系统在单位阶跃、单位速度和单位加速度输入时的稳态误差。解

由例4-13已求得的系统的开环脉冲传递函数，得图4-19采样系统72第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳态误差分析解

由例4-13已求得的系统的开环脉冲传递函数，得73第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳态误差分析74第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的稳态误差分析或解由例4-13知系统的开环脉冲传递函数可见系统含有一个积分环节，所以是Ⅰ型系统。由表4-2可知单位阶跃输入时，单位速度输入时，

单位加速度输入时，75第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的性能指标如果可以求出离散系统的闭环传递函数Gc(z)=C(z)/R(z)，其中R(z)=z/(z-1)为单位阶跃函数，则系统输出量的Z变换函数

将上式展成幂级数，通过Z反变换，可以求出输出信号的脉冲序列c(k)或c*(t)。由于离散系统的时域指标与连续系统相同，故根据单位阶跃响应曲线c(k)可以方便地分析离散系统的动态性能。76第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的性能指标例4-16

设采样系统如图4-21所示，其中采样周期T=0.1s，求系统指标和的近似值。图4-21单位反馈采样控制系统77第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的性能指标解闭环脉冲传递函数为系统的阶跃响应为用长除法得输出信号的脉冲序列

78第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的性能指标将c*(t)在各采样时刻的值用“*”标于图4-22中，光滑地连接图中各点，便得到了系统输出相应曲线c(t)的大致波形，由该波形曲线可得图4-22阶跃响应曲线79第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的性能指标num=[1.2640]den=[1－0.1040.368]dstep(num,den)由MATLAB画出的阶跃响应曲线如图4-23所示。80第4章计算机控制系统的理论基础计算机控制系统的性能指标图4-23MATLAB绘制的阶跃响应曲线81第4章计算机控制系统的理论基础连续系统的离散化方法及特点计算机控制系统的控制问题实际上就是控制器的设计问题。设计算机控制系统如图4-24所示。数字控制器的设计可分为连续化设计技术和离散化设计技术，后者将在第六章讨论。图4-24数字控制系统框图82第4章计算机控制系统的理论基础连续系统的离散化方法及特点连续化设计技术，是一种离散系统的等效设计方法，即假设系统是一个连续系统，没有采样开关，先设计一个模拟（连续时间）控制器Gc(s)。再离散化得到数字控制器D(z)。实际上，当系统的采样频率足够高时，采样系统的特性接近于连续系统，因而可以忽略采样开关和保持器，将整个系统看成是连续变化的模拟系统。83第4章计算机控制系统的理论基础连续系统的离散化方法及特点设计的实质是将一个模拟控制器离散化，用数字控制器取代模拟控制器。设计的基本步骤是，根据系统已有的连续模型，按连续系统理论设计模拟控制器，然后，按照一定的对应关系将模拟控制器离散化，得到等价的数字控制器，从而确定计算机的控制算法。84第4章计算机控制系统的理论基础双线性变换法由z变换得定义可知，，利用级数展开可得85第4章计算机控制系统的理论基础前项差分法86第4章计算机控制系统的理论基础后项差分法87第4章计算机控制系统的理论基础连续系统的离散化方法及特点用后项差分法离散化模拟PID调节器

88第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

MATLAB实现提供了符号运算工具箱(SymbolicMathToolbox)，可方便地进行Z变换和Z反变换，进行Z变换的函数是ztrans，进行Z反变换的函数是iztrans。例4-17

试求下列函数的Z变换。89第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

％创建符号变量，T为采样周期symsnawkzT％进行函数的Z变换x1=ztrans(n*T)％化简结果xl=simplify(x1)％进行函数的Z变换x2=ztrans(exp(-a*n*T))％化简结果x2=simplify(x2)％进行函数的Z变换x3=ztrans(sin(w*n*T))x3=simplify(x3)90第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

xl=T*z/(z-1)^2xl=T*z/(z-1)^2x2=z/exp(-a*T)/(z/exp(-a*T)-1)x2=z*exp(a*T)/(z*exp(a*T)-1)x3=-z*sin(w*T)/(-z^2+2*z*cos(w*T)-1)x3=-z*sin(w*T)/(-z^2+2*z*cos(w*T)-1)91第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

例4-18

试求下列函数的Z反变换。92第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

％创建符号变量，T为采样周期symszakT％进行函数的Z反变换x1=iztrans((2*z^2-0.5*z)/(z^2-0.5*z-0.5))％化简结果xl=simplify(x1)％进行函数的Z反变换x2=iztrans((z+0.5)/(z^2+3*z+2))％化简结果x2=simplify(x2)93第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

x1=(-1/2)^n+1x1=(-1)^n*2^(-n)+1x2=1/4*charfcn[0](n)+1/2*(-1)^n-3/4*(-2)^nx2=1/4*charfcn[0](n)+1/2*(-1)^n+3/4*(-1)^(1+n)*2^n94第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

函数调用格式函数说明c2dsysd=c2d(sysc,Ts,’method’)连续时间LTI系统模型转换成离散时间系统模型c2dm[Ad,Bd,Cd,Dd]=2dm(A,B,C,D,Ts,’method’)[numd,dend]=c2dm(num,den,Ts,’method’)连续时间LTI系统状态空间模型或传递函数模型转换成离散时间系统模型d2csysc=d2c(sysd,’method’)离散时间LTI系统模型转换成连续时间系统模型d2cm[A,B,C,D]=d2cm(Ad,Bd,Cd,Dd,Ts,’method’)离散时间LTI系统模型转换成连续时间系统模型d2dSys=d2d(sysd,Ts)离散时间系统模型转换成新的Ts离散时间系统d2dt[Ad,Bd,Cd,Dd]=c2dt(A,B,C,Ts,lambda)具有纯延迟lambda输入的连续时间LTI状态空间系统转换成离散时间状态空间系统表4-3连续系统模型与离散系统模型转换函数95第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

表4-4选项’method’的功能说明选

项功能说明‘zoh’对输入信号加零阶保持器‘foh’对输入信号加一阶保持器‘imp’脉冲不变变换方法‘tustin’双线性变换方法‘prewarp’预先转折变换方法，即改进的双线性变换方法‘matched’零极点匹配变换方法96第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

例4-19

已知一个连续线性系统如图4-25所示，对象模型采样周期，试求系统的脉冲闭环传递函数。图4-25系统结构图97第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

clear%采样周期

Ts=0.1numl=[2]denl=[1,30,0]num2=[10]den2=[1,6,5]Glc=tf(numl,denl)G2c=tf(num2,den2)

％采用零阶保持方法进行系统变换

Gld=c2d(Glc,Ts)G2d=c2d(G2c,Ts)Gd=Gld*G2d

％建立闭环系统模型

GHd=feedback(Gd,1)98第4章计算机控制系统的理论基础MATLAB在连续域－离散域变化中的应用

%

的传递函数

Transferfunction：

2------------s^2+30s%

的传递函数

Transferfunction：

10------------s^2+6s+5%

转换后的Z传递函数

Transferfunction：0.004555z+0.00178-------------------------z^2-1.05z+0.04979Samplingtime：0.1%