《数值逼近》课程设计报告

数值逼近课程设计3635-数值逼近课程设计报告一、目的意义(1)进一步熟悉掌握复化梯形和复化抛物线公式(2)学会比较复化梯形公式和复化抛物线公式如何达到所要求的精度(3)提高编程能力(4)通过数值方法求出很难求得原函数的积分和解析表达是没有明确的给出积分的近似值二、内容要求积分计算问题：分别用复化梯形和复化Simpsom求积公式计算积分，并比较计算量（精度为10-8）。三、问题解决的方法与算法方法：解决该积分问题时，运用了数值积分近似解法的方法，运用复化梯形和复化Simpsom求积公式进行计算3.1复化梯形积分3.1.1复化梯形积分公式表达式3.1.2复化梯形积分误差表达式3.2复化抛物线积分3.2.1复化抛物线积分公式表达式3.2.2复化抛物线积分误差表达式3.3算法3.3.1复化梯形积分算法第一步：根据精度计算n的值，输入两端点的值，计算步长h第二步：根据步长计算出各个节点x[i]的值，i=0,1,2,…,n第三步：根据x[i]计算出各个节点对应y[i]的值，i=0,1,2,…,n第四步：对各个节点的值进行求和第五步：输出最终的积分的值3.3.2复化抛物线积分算法第一步：根据精度计算n的值，端点a,b的值，计算步长h第二步：根据步长计算出各个节点x[i]的值，i=0,1,2,…,n第三步：根据x[i]计算出各个节点对应y[i]的值，i=0,1,2,…,n第四步：对各个节点的值进行求和,分情况，对左右端点先求和，对剩下的端点，奇数的求和后乘以4倍，偶数的求和后乘以2倍，最终将各个值进行加和第五步：对加和的值乘以步长除以3第六步：输出最终的积分的值四、计算程序//复化梯形公式.cpp:定义控制台应用程序的入口点。//n+1点的复化梯形公式#include<stdio.h>//#include"stdafx.h"#include<math.h>#include<iomanip>#include<iostream>usingnamespacestd;constintARRAY_LEN(10000);classComt{protected:doublea,b,h,n,x[ARRAY_LEN],y[ARRAY_LEN];charf[ARRAY_LEN];public:voidgetab(){ cout<<"请输入该积分的上下限(即区间):"; cin>>a>>b; cout<<endl;}voidcal_nh(){ intc; cout<<"几点的复化梯形公式？"; cin>>c; cout<<endl; n=c-1; cout<<"n的值为："<<n<<endl; h=(b-a)/n; cout<<"h的值为："<<h<<endl;}voidcal_x(){ inti=0; doubletemp=0; for(i;i<n+1;i++) { temp=i*h; x[i]=a+temp; } /*cout<<"x的值为："<<endl; for(i=0;i<n+1;i++) { cout<<"x["<<i<<"]"<<"="<<x[i]<<""; } cout<<endl<<endl;*/}voidget_f(){ chartemp[ARRAY_LEN]; cout<<"请输入f(x)的表达式;"; cin>>temp; strcpy(f,temp); cout<<endl;}voidcal_y(){ inti=0; doubletemp=0; for(i=0;i<n+1;i++) { temp=13*(x[i]-x[i]*x[i])*exp(-1.5*x[i]); y[i]=temp; } /*cout<<"y的值为："<<endl; for(i=0;i<n+1;i++) { cout<<"y["<<i<<"]"<<"="<<y[i]<<""; } cout<<endl<<endl;*/}doubleresult(){ doubletemp=y[0],sum; inti=1; for(i=1;i<n+1;i++) { if(i==n) temp=temp+y[i];/////当有判断条件时，要先进行判断，不满足时才进行原始计算 elsetemp=temp+2*y[i]; } sum=h*temp/2; returnsum;}voiddisplay(){doublem; m=result(); cout<<"积分区间为["<<a<<""<<b<<"],被积函数为"<<f<<"的积分"<<endl; cout<<"用"<<n+1<<"点复化梯形公式"<<endl<<"计算结果为:"<<setprecision(8)<<endl<<m<<endl; }};intmain(){ Comtcom; com.getab(); com.get_f(); com.cal_nh(); com.cal_x(); com.cal_y(); com.display(); return0;}//复化抛物线公式程序#include<stdio.h>#include<iomanip>#include<math.h>#include<iostream>usingnamespacestd;constintARRAY_LEN(10000);classComsim{protected:doublea,b,h,n,x[ARRAY_LEN],y[ARRAY_LEN];charf[ARRAY_LEN];public:voidgetab(){ cout<<"请输入该积分的上下限(即区间):"; cin>>a>>b; cout<<endl;}voidcal_nh(){ intc; cout<<"几点的复化抛物线公式？"; cin>>c; n=2*c-1; cout<<"n的值为："<<n; h=(b-a)/(2*n); cout<<"h的值为："<<h;}voidcal_x(){ inti=0; doubletemp=0; for(i;i<2*n+1;i++) { temp=i*h; x[i]=a+temp; } /*cout<<"x的值为："<<endl; for(i=0;i<2*n+1;i++) { cout<<"x["<<i<<"]"<<"="<<x[i]<<""; if(i%5==0) cout<<endl; } cout<<endl<<endl;*/}voidget_f(){ chartemp[ARRAY_LEN]; cout<<"请输入f(x)的表达式;"; cin>>temp; strcpy(f,temp);}voidcal_y(){ inti=0; doubletemp=0; for(i=0;i<2*n+1;i++) { temp=13*(x[i]-x[i]*x[i])*exp(-1.5*x[i]); y[i]=temp; } /*cout<<"y的值为："<<endl; for(i=0;i<2*n+1;i++) { cout<<"y["<<i<<"]"<<"="<<setprecision(8)<<y[i]<<""; if(i%5==0) cout<<endl; } cout<<endl<<endl;*/}doubleresult(){ doubletemp1=y[0],temp2=0,temp3=0,sum1=0,sum=0; inti=1; for(i=1;i<2*n+1;i++) { if(i==2*n) { temp1=temp1+y[i];/////当有判断条件时，要先进行判断，不满足时才进行原始计算 } elseif(i%2==0) { temp2=temp2+2*y[i]; } else temp3=temp3+4*y[i]; } sum1=temp1+temp2+temp3; sum=h*sum1/3; returnsum;}voiddisplay(){doublem; m=result(); cout<<"积分区间为["<<a<<""<<b<<"],被积函数为"<<f<<"的积分"<<endl; cout<<"用"<<n+1<<"点复化抛物线公式"<<endl<<"计算结果为:"<<setprecision(8)<<m<<endl; }};intmain(){ Comsimsim; sim.getab(); sim.get_f(); sim.cal_nh(); sim.cal_x(); sim.cal_y(); sim.display(); return0;}五、计算结果与分析分别运用复化梯形公式和复化抛物线公式计算该积分的结果如下图：图1.5.1为运用复化梯形公式的计算结果截图，图1.5.2为运用复化抛物线公式的计算结果截图。图1.5.1复化梯形公式计算结果图图1.5.2复化抛物线公式计算结果图由上面计算结果可以看出运用复化抛物线公式的计算量比较大，但是利用复化梯形公式要将积分区间等分的个数要大于复化抛物线公式。并且由该程序对于已知结果的积分进行运算，可知复化simpson积分公式计算精度要高一些。六、参考文献[1]谭浩强.C语言程序设计[M].北京：清华大学出版社，2021.3-一、目的意义(1)机械设计目的是要设计出一种能达到预定功能要求、具有性能好、成本低、价值最优，能满足市场需求的机械产品。(2)掌握牛顿插值和分段线性插值多项式的算法实现。(3)学会分析误差和精度，熟悉运用变成语句（4）提高用数值算法解决实际问题的能力二、内容要求机械设计问题：万能拉拨机中有一个圆柱形凸轮(见图1)，其底圆半径R=30cm,凸轮的上端面不在同一平面上，要根据从动杆位移变化的需要进行设计制造。将底圆周长36等分为xi(i=0,1,…，36)，每一圆弧段长为h=52.36mm,对应于每一分点的柱高为yi(i=0,1,…，36)。为方便，将圆柱展开为平面，柱面的的顶端成为图2所示的平面曲线，并已知该曲线上的37个点的坐标（表1）。yCAByiyix0Oxix17x36xxi图1凸轮模型图2展开曲线表1：测量数据表xix0x1x2x3x4x5x6x7x8yi502.75520.96525523.6514.3492451394.6326.5xiX0x10x11x12x13x14x15x16x17-x36yi256.7188.6132.192.268.959.658.262.2480.45-502.75xi=ih,x0=0,x36=1884.96mm,h=52.36mm。是直线段，AB是曲线段，为了数控加工，需要计算出圆周上任一点处的柱高,试构造算法、设计程序、编程计算。三、问题解决的方法与算法方法：Newton差值和分段线性插值3.1Newton插值3.1.1差商公式设y=f(x)在节点处的函数值已知，则关于点的一阶差商为：则关于点的二阶差商为：则关于点的k阶差商为：一阶差商二阶差商三阶差商X0f(X0)X1f(X1)f[X0,X1]X2f(X2)f[X1,X2]f[X0,X1,X2]X3f(X3)f[X2,X3]f[X1,X2,X3]f[X0,X1,X2X3]3.1.2插值公式3.1.3插值余项3.2分段线性差值3.2.1插值函数设y=f(x)在节点处的函数值为为了提高近似程度，可以考虑用分段线性插值来逼近原函数，这时的插值函数为分段函数：在区间上的线性函数为：3.2.2插值公式3.2.3插值余项3.3差值算法第一步：输入要进行计算的x的值第二步：输入各组y[i]及x[i]的值，i=0,1,2,…,n第三步：判断条件：if(x>=0&&x<=16*52.36)则计算各阶插商，用牛顿插值进行计算if(x>=52.36*17&&x<=1884.96)则用分段线性插值进行计算，如果两种情况均不是则输出输入错误第四步：计算出柱高S第五步：输出S四、计算程序4.1用牛顿插值和分段线性插值的程序//nt.cpp:定义控制台应用程序的入口点。////#include"StdAfx.h"#include<stdio.h>#defineARRAY_LEN18doubledq(doublea){ inti=0; intj=0; double mul=1; doubleh=52.36; doublex[ARRAY_LEN]={0}; doubley[ARRAY_LEN]={502.75,520.96,525,523.6,514.3,492,451,394.6,326.5,256.7,188.6,132.1,92.2,68.9,59.6,58.2,62.24}; doubletemp=0; for(i=0;i<ARRAY_LEN;i++) { temp=i*h; x[i]=temp; } printf("请输出所有x的值：\n"); for(i=0;i<ARRAY_LEN;i++) { printf("%f",x[i]); if(i%3==0) printf("\n"); } printf("\n"); printf("请输出所有y的值：\n"); for(j=0;j<ARRAY_LEN;j++) { printf("%lf",y[j]); if(j%3==0) printf("\n"); } printf("\n"); ///////////////////求差商 //printf("各阶插商值为：\n"); for(i=0;i<ARRAY_LEN;i++) { for(j=ARRAY_LEN-1;j>i;j--) { y[j]=(y[j]-y[j-1])/(x[j]-x[j-1-i]); } } ///////////////////////求和 doubles=y[0]; for(j=1;j<ARRAY_LEN;j++) { mul=1; for(i=0;i<=j-1;i++) { mul=mul*(a-x[i]); } s=s+mul*y[j]; } returns;}doubles(doublen){ inti=0; intj=0; doubles=0; doublex[2]={890.12,1884.96}; doubley[2]={80.45,502.75}; printf("请输出所有x的值：\n"); for(i=0;i<2;i++) { printf("%f",x[i]); if(i%2==0) printf("\n"); } printf("\n"); printf("请输出所有y的值：\n"); for(j=0;j<2;j++) { printf("%f",y[i]); if(i%2==0) printf("\n"); } /////////////线形函数 for(i=1;i<2;i++) { s=y[i-1]*((n-x[i])/(x[i-1]-x[i]))+y[i]*((n-x[i-1])/(x[i]-x[i-1])); } returns;}intmain(){ doubleM=0; doubleN=0; doubleS=0; doublex=0; printf("请先判断x的个数，如果超出宏定义ARRAY_LEN的值，请先修改宏定义的值！\n"); printf("请输入所要求的x的值：\n"); scanf("%lf",&N); if(N>=0&&N<=16*52.36) { M=dq(N);printf("\n"); printf("x=%f时的柱高的近似值为：%lf\n",N,M); } elseif(N>=52.36*17&&N<=1884.96) { S=s(N); printf("\n"); printf("x=%f时的柱高的近似值为：%lf\n",N,S); } elseprintf("输入的值不能进行计算！\n"); return0;}4.2用多项式拟合的matlab程序4.2.1前曲线段拟合五次多项式的值clearall;clc;x=0:52.36:16*52.36;y=[502.75 520.96 525 523.6 514.3492 451 394.6 326.5256.7 188.6 132.1 92.2 68.9 59.6 58.2 62.24];b=polyfit(x,y,5);%拟合出的五次函数的系数fprintf('运行结果为：\n\n')%%输出语句disp('拟合出的五次多项式P4(x)为：')%%输出语句f=poly2str(b,'x')%%将拟合后的多项式系数（双精度数组）转换为字符形式的函数poly2sym(b);%%将该向量转换为多项式xx=linspace(min(x),max(x));%绘图用到的点的横坐标yy=polyval(b,xx);%拟合曲线的纵坐标%subplot(2,2,2);plot(x,y,'m.',xx,yy,'-c');%绘图，原始数据+拟合曲线xlabel('圆周上任一点x');ylabel('对应的柱高');legend('原始数据','拟合曲线');%图示title('五次多项式拟合曲线');holdon;fprintf('x=53时柱高的近似值为：\n')e=[53104208409]m=polyval(b,e)%%用于对已经拟合后的多项式系数，%%当给出某个点时求其函数值;计算插值多项式在pi/8处的值plot(e,m,'b*')4.2.2线性拟合后半段x=[52.36*171884.96];y=[80.45502.75];b=polyfit(x,y,1);%拟合出的1次函数的系数f=poly2str(b,'x')%%将拟合后的多项式系数（双精度数组）转换为字符形式的函数poly2sym(b);%%将该向量转换为多项式xx=linspace(min(x),max(x));%绘图用到的点的横坐标yy=polyval(b,xx);%拟合曲线的纵坐标plot(x,y,'m.',xx,yy,'-c');%绘图，原始数据+拟合曲线xlabel('圆周上任一点x');ylabel('对应的柱高');legend('原始数据','拟合曲线');%图示title('一次线性拟合曲线');holdon;x=[52.36*1752.36*2152.36*2952.36*35]fprintf('x对应柱高的近似值为：\n')m=polyval(b,e)%%用于对已经拟合后的多项式系数%%当给出某个点时求其函数值plot(e,m,'b*')五、计算结果与分析5.1用牛顿插值和分段线性插值的运行结果图5.1.1时程序的运行结果图5.1.2时程序的运行结果5.2用多项式拟合的matlab程序运行结果5.2.1前曲线段拟合五次多项式的结果下面为自己给定的x值经过五次多项式拟合后计算的结果，图5.2.1为拟合的曲线图。运行结果为：拟合出的五次多项式P5(x)为：f=-1.678e-011x^5+3.6684e-008x^4-2.4645e-005x^3+0.0041844x^2-0.042021x+506.7499x=53104208409时柱高的近似值为：m=512.8908524.0042519.3960337.8354图5.2.1五次多项式拟合图5.2.2线性拟合后半段结果下面为自己给定的x值经过线性拟合后计算的结果，图5.2.2为拟合的结果图。f=0.42449x-297.3974x=1.0e+003*0.89011.09961.51841.8326x对应柱高的近似值为：m=80.4500169.3553347.1658480.5237图5.2.2一次线性拟合结果图5.3结果分析在求解该题的过程中，我分别运用了C语言和matlab两个软件进行编程实现，在C语言中，在时，运用了牛顿插值多项式来进行逼近原曲线，为了验证程序的准确性，在这里取x=53来进行计算，计算结果为512.241797在[520.96525]之间，且接近520.96，即证明了程序的准确性。同理，可以取任意来验证，在这里取x=1880进行验证，运行结果见图5.1.2。在matlab中，进行了不同区间的多项式拟合，拟合的结果见图5.2.1和图5.2.2，并且拟合的多项式表达式见上面的运行结果。比较C语言和matlab程序可知，两者的结果较为接近，但是在matlab中可以得到拟合的多项式的表达式，并且可以可到结果图，让人更直观的看出结果。六、参考文献[1]谭浩强.C语言程序设计[M].北京：清华大学出版社，2021.一、目的意义(1)提高matlab编程能力(2)matlab中插值函数以及其他画图函数的运用(3)提高分析程序的能力二、内容要求丘陵高程测定问题在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。试拟合一曲面确定合适的模型，并由此找出最高点和该点的高程。xy100200300400100636697624478200698712630478300680674598412400662626552334三、问题解决的方法与算法方法：用插值法计算出各个节点的值，用matlab中的mesh函数绘出地貌图，即可以直观的观察。算法：1.输入原始数据2.用插值函数计算出每个节点的值3.画出地貌图4.判断寻找最大值点标记位置并保存5.将最大值点及其对应坐标用stem在原图中绘出四、计算程序程序1：function[s,x0,y0]=high1(N)x=[100200300400];y=[100200300400]';z=[636697624478;698712630478;680674598412;662626552334];%mesh(x,y,z)%绘原始数据图xx=linspace(100,400,N);%即为从100到400分成N等分yy=linspace(100,400,N)';%加密纵坐标数据到N个zh=interp2(x,y,z,xx,yy,'cubic')%插值三次多项式插值:'cubic'mesh(xx,yy,zh)%加密后的地貌图s=0;fori=1:N^2ifzh(i)>ss=zh(i);%循环找最大值n=mod(i,N);%i对N取余m=(i-n)/N;endendx0=100+300/N*m%最大值点对应的X值y0=100+300/N*nholdon;stem3(x0,y0,s,'fill')程序2：clc;clearall;x=[100100100100200200200200300300300300400400400400];y=[100200300400100200300400100200300400100200300400];z=[636697624478698712630478680674598412662626552334];xi=100:5:400;yi=100:5:400;[X,Y]=meshgrid(xi,yi);H=griddata(x,y,z,X,Y,'cubic')%二元非等距插值surf(X,Y,H);view(-120,23);holdon;maxh=vpa(max(max(H)),6)%控制变量计算结果的显示位数[r,c]=find(H>=single(maxh))%检索R中最大元素所在的位置（行标r和列标c）stem3(X(r,c),Y(r,c),maxh,'fill')五、计算结果与分析下面为两个不同matlab程序的运行结果，程序1是用三次多项式插值编写函数实现的，程序2是用二元非等距插值编写M文件实现的。在程序1中，由于存在等分区间的问题，即给定不同的区间个数，会产生不同的结果，但两个结果的值分别为718.1243，716.526结果较为接近，即证明两个程序的正确性。两个程序的运行结果见图5.1和图5.2。程序1运行结果：>>high(100)x0=166y0=196ans=718.1243图5.1程序1丘陵地貌图以及最高值位置程序2运行结果：maxh=716.526r=16c=20图5.2程序2丘陵地貌图以及最高值位置图六、参考文献[1]谭浩强.C语言程序设计[M].北京：清华大学出版社，2021.

社会实践报告系别：班级：学号：姓名：作为祖国未来的事业的继承人，我们这些大学生应该及早树立自己的历史责任感，提高自己的社会适应能力。假期的社会实践就是很好的锻炼自己的机会。当下，挣钱早已不是打工的唯一目的，更多的人将其视为参加社会实践、提高自身能力的机会。许多学校也积极鼓励大学生多接触社会、了解社会，一方面可以把学到的理论知识应用到实践中去，提高各方面的能力；另一方面可以积累工作经验对日后的就业大有裨益。进行社会实践，最理想的就是找到与本专业对口单位进行实习，从而提高自己的实战水平，同时可以将课本知识在实践中得到运用，从而更好的指导自己今后的学习。但是作为一名尚未毕业的大学生，由于本身具备的专业知识还十分的有限，所以我选择了打散工作为第一次社会实践的方式。目的在于熟悉社会。就职业本身而言，并无高低贵贱之分，存在即为合理。通过短短几天的打工经历可以让长期处于校园的我们对社会有一种更直观的认识。实践过程：自从走进了大学，就业问题就似乎总是围绕在我们的身边，成了说不完的话题。在现今社会，招聘会上的大字报都总写着“有经验者优先”，可还在校园里面的我们这班学子社会经验又会拥有多少呢？为了拓展自身的知识面，扩大与社会的接触面，增加个人在社会竞争中的经验，锻炼和提高自己的能力，以便在以后毕业后能真正真正走入社会，能够适应国内外的经济形势的变化，并且能够在生活和工作中很好地处理各方面的问题，我开始了我这个假期的社会实践-走进天源休闲餐厅。实践，就是把我们在学校所学的理论知识，运用到客观实际中去，使自己所学的理论知识有用武之地。只学不实践，那么所学的就等于零。理论应该与实践相结合。另一方面，实践可为以后找工作打基础。通过这段时间的实习，学到一些在学校里学不到的东西。因为环境的不同，接触的人与事不同，从中所学的东西自然就不一样了。要学会从实践中学习，从学习中实践。而且在中国的经济飞速发展，又加入了世贸，国内外经济日趋变化，每天都不断有新的东西涌现，在拥有了越来越多的机会的同时，也有了更多的挑战，前天才刚学到的知识可能在今天就已经被淘汰掉了，中国的经济越和外面接轨，对于人才的要求就会越来越高，我们不只要学好学校里所学到的知识，还要不断从生活中，实践中学其他知识，不断地从各方面武装自已，才能在竞争中突出自已，表现自已。在餐厅里,别人一眼就能把我人出是一名正在读书的学生,我问他们为什么,他们总说从我的脸上就能看出来,也许没有经历过社会的人都有我这种不知名遭遇吧!我并没有因为我在他们面前没有经验而退后,我相信我也能做的像他们一样好.我的工作是在那做传菜生,每天9点钟-下午2点再从下午的4点-晚上8:30分上班,虽然时间长了点但,热情而年轻的我并没有丝毫的感到过累,我觉得这是一种激励,明白了人生,感悟了生活,接触了社会,了解了未来.在餐厅里虽然我是以传菜为主,但我不时还要做一些工作以外的事情，有时要做一些清洁的工作，在学校里也许有老师分配说今天做些什么，明天做些什么，但在这里，不一定有人会告诉你这些，你必须自觉地去做，而且要尽自已的努力做到最好，一件工作的效率就会得到别人不同的评价。在学校，只有学习的氛围，毕竟学校是学习的场所，每一个学生都在为取得更高的成绩而努力。而这里是工作的场所，每个人都会为了获得更多的报酬而努力，无论是学习还是工作，都存在着竞争，在竞争中就要不断学习别人先进的地方，也要不断学习别人怎样做人，以提高自已的能力！记得老师曾经说过大学是一个小社会，但我总觉得校园里总少不了那份纯真，那份真诚，尽管是大学高校，学生还终归保持着学生的身份。而走进企业，接触各种各样的客户、同事、上司等等，关系复杂，但我得去面对我从未面对过的一切。记得在我校举行的招聘会上所反映出来的其中一个问题是，学生的实际操作能力与在校理论学习有一定的差距。在这次实践中，这一点我感受很深。在学校，理论的学习很多，而且是多方面的，几乎是面面俱到；而在实际工作中，可能会遇到书本上没学到的，又可能是书本上的知识一点都用不上的情况。或许工作中运用到的只是很简单的问题，只要套公式似的就能完成一项任务。有时候我会埋怨，实际操作这么简单，但为什么书本上的知识让人学得这么吃力呢？这是社会与学校脱轨了吗？也许老师是正确的，虽然大学生生活不像踏入社会，但是总算是社会的一个部分，这是不可否认的事实。但是有时也要感谢老师孜孜不倦地教导，有些问题有了有课堂上地认真消化，有平时作业作补充，我比一部人具有更高的起点，有了更多的知识层面去应付各种工作上的问题，作为一名大学生，应该懂得与社会上各方面的人交往，处理社会上所发生的各方面的事情，这就意味着大学生