2019届数学讲义第三章 导数及其应用 3.3 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§3。3定积分与微积分基本定理最新考纲考情考向分析1。了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想,了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.利用定积分求平面图形的面积,定积分的计算是高考考查的重点.1．定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a＝x0<x1〈…<xi－1<xi<…〈xn＝b，将区间[a，b］等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1,xi］上任取一点ξi（i＝1,2，…，n)，作和式eq\o(∑，\s\up6（n),\s\do4(i＝1））f(ξi)Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n），\s\do4(i＝1）)eq\f（b－a,n）f（ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b]上的定积分，记作ʃeq\o\al（b,a)f(x)dx，即ʃeq\o\al（b,a)f（x）dx＝eq\o（lim,\s\do4（n→∞))eq\o(∑，\s\up6(n）,\s\do4（i＝1)）eq\f（b－a,n）f(ξi）．在ʃeq\o\al（b,a）f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a，b］叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数,x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．2．定积分的性质(1）ʃeq\o\al(b，a）kf(x)dx＝kʃeq\o\al（b,a）f（x）dx(k为常数)；（2）ʃeq\o\al（b,a）[f1(x）±f2（x)］dx＝ʃeq\o\al(b,a)f1（x)dx±ʃeq\o\al(b，a)f2(x）dx；（3）ʃeq\o\al(b,a）f（x）dx＝ʃeq\o\al（c，a）f(x)dx＋ʃeq\o\al（b,c)f（x）dx（其中a<c〈b）．3．微积分基本定理一般地,如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x）＝f(x）,那么ʃeq\o\al(b，a)f（x)dx＝F(b)－F(a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．为了方便，常把F（b)－F(a）记作F（x）|eq\o\al(b,a),即ʃeq\o\al(b，a)f(x）dx＝F(x)｜eq\o\al（b,a）＝F（b)－F（a)．知识拓展1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f（x)在闭区间［－a，a］上连续，则有（1)若f(x）为偶函数，则ʃeq\o\al(a，－a)f(x)dx＝2ʃeq\o\al(a，0）f(x）dx.(2）若f(x）为奇函数，则ʃeq\o\al（a，－a)f(x)dx＝0。题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)设函数y＝f(x）在区间［a，b]上连续，则ʃeq\o\al（b，a）f(x）dx＝ʃeq\o\al（b，a）f(t)dt.(√）(2）若函数y＝f(x）在区间[a，b]上连续且恒正,则ʃeq\o\al（b,a)f(x）dx>0。(√)(3)若ʃeq\o\al（b，a)f(x)dx<0，那么由y＝f（x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(×)（4）曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃeq\o\al(1,0）(x2－x）dx.(×）题组二教材改编2．[P66A组T14］ʃeq\o\al（e＋1,2)eq\f(1，x－1）dx＝________。答案1解析ʃeq\o\al（e＋1,2)eq\f（1,x－1)dx＝ln(x－1）|eq\o\al(e＋1，2)＝lne－ln1＝1。3．［P55A组T1］ʃeq\o\al(0,－1)eq\r（1－x2)dx＝________。答案eq\f(π,4）解析ʃeq\o\al（0，－1)eq\r(1－x2）dx表示由直线x＝0，x＝－1,y＝0以及曲线y＝eq\r（1－x2）所围成的图形的面积，∴ʃeq\o\al(0，－1）eq\r(1－x2）dx＝eq\f（π,4）。4．［P60A组T6］汽车以v＝(3t＋2）m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是________m.答案eq\f（13,2)解析s＝ʃeq\o\al(2，1)（3t＋2)dt＝＝eq\f（3，2）×4＋4－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，2）＋2））＝10－eq\f（7,2)＝eq\f（13，2)(m)．题组三易错自纠5．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2eq\r(2）B．4eq\r（2)C．2D．4答案D解析如图，y＝4x与y＝x3的交点为A(2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S阴＝ʃeq\o\al(2，0）(4x－x3）dx＝＝8－eq\f(1,4）×24＝4，故选D。6．若ʃeq\o\al（T,0)x2dx＝9，则常数T的值为________．答案3解析∵ʃeq\o\al（T，0）x2dx＝eq\f（1，3)x3｜eq\o\al（T,0）＝eq\f（1，3）T3＝9，∴T＝3。7．已知f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2，－1≤x≤0，，1，0<x≤1，)）则ʃeq\o\al(1，－1）f（x)dx的值为________．答案eq\f(4,3）解析ʃeq\o\al(1，－1）f(x)dx＝ʃeq\o\al（0,－1）x2dx＋ʃeq\o\al（1，0)1dx＝＝eq\f（1，3)＋1＝eq\f(4,3).题型一定积分的计算1．（2018·唐山调研）定积分ʃeq\o\al（1，－1）（x2＋sinx)dx＝______。答案eq\f（2,3）解析ʃeq\o\al(1,－1)(x2＋sinx)dx＝ʃeq\o\al(1,－1)x2dx＋ʃeq\o\al（1,－1)sinxdx＝2ʃeq\o\al(1,0)x2dx＝2·＝eq\f（2，3）。2．ʃeq\o\al（1,－1)e|x|dx的值为()A．2 B．2eC．2e－2 D．2e＋2答案C解析ʃeq\o\al(1,－1)e|x｜dx＝ʃeq\o\al(0,－1）e－xdx＋ʃeq\o\al（1,0）exdx＝－e－x|eq\o\al(0,－1）＋ex｜eq\o\al(1，0）＝［－e0－（－e)]＋(e－e0)＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C。3．(2017·昆明检测)设f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2，x∈［0，1］，,2－x，x∈1，2］，))则ʃeq\o\al(2,0）f(x)dx等于()A。eq\f（3,4) B.eq\f(4，5)C。eq\f（5,6) D．不存在答案C解析如图，ʃeq\o\al(2，0）f(x）dx＝ʃeq\o\al(1,0）x2dx＋ʃeq\o\al(2,1)(2－x)dx＝＝eq\f（1，3）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（4－2－2＋\f（1，2）))＝eq\f(5,6)。思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：（1)对被积函数要先化简，再求积分．(2）若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性"，先分段积分再求和．（3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分典例（1)计算：ʃeq\o\al（3，1)eq\r（3＋2x－x2）dx＝________.（2）若ʃeq\o\al（m，－2）eq\r(－x2－2x)dx＝eq\f(π，4）,则m＝________.答案(1)π（2)－1解析（1)由定积分的几何意义知，ʃeq\o\al（3,1）eq\r(3＋2x－x2)dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃeq\o\al(3,1)eq\r（3＋2x－x2)dx＝eq\f(1，4）×π×4＝π。(2)根据定积分的几何意义ʃeq\o\al(m，－2)eq\r（－x2－2x)dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又ʃeq\o\al（m，－2）eq\r（－x2－2x）dx＝eq\f(π,4)为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.命题点2求平面图形的面积典例(2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．答案4－ln3解析由xy＝1,y＝3，可得Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，3)，3））.由xy＝1，y＝x，可得B（1,1），由y＝x,y＝3，得C(3，3）,由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为＋ʃeq\o\al(3,1)(3－x)dx＝＋＝(3－1－ln3）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(9－\f（9,2）－3＋\f（1，2）））＝4－ln3。思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．（2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限;③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;④计算定积分,写出答案．跟踪训练(1）定积分ʃeq\o\al（3，0）eq\r(9－x2）dx的值为________．答案eq\f(9π，4)解析由定积分的几何意义知，ʃeq\o\al(3，0)eq\r（9－x2）dx是由曲线y＝eq\r(9－x2)，直线x＝0，x＝3,y＝0围成的封闭图形的面积．故ʃeq\o\al(3,0）eq\r（9－x2）dx＝eq\f（π·32,4）＝eq\f(9π，4)。（2）如图所示,由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A（0，－3）和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为______．答案eq\f（9，4)解析由y＝－x2＋4x－3,得y′＝－2x＋4.易知抛物线在点A处的切线斜率k1＝y′|x＝0＝4,在点B处的切线斜率k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线在点A处的切线方程为y＝4x－3,在点B处的切线方程为y＝－2x＋6.两切线交于点Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3,2），3)）。因此，由题图可知所求的图形的面积是S＝＝eq\f（9,8）＋eq\f（9，8)＝eq\f(9,4).题型三定积分在物理中的应用典例一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在eq\f(1,2）s~6s间的运动路程为____m。答案eq\f（49,4)解析由题图可知，v(t)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2t,0≤t〈1，,2，1≤t≤3，，\f（1，3)t＋1,3〈t≤6。)）由变速直线运动的路程公式，可得＋ʃeq\o\al(3,1）2dt＋ʃeq\o\al（6,3）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3）t＋1))dt＝＝eq\f(49，4)（m）．所以物体在eq\f(1，2）s～6s间的运动路程是eq\f(49,4)m.思维升华定积分在物理中的两个应用（1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃeq\o\al(b,a）v(t）dt.(2）变力做功:一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x）所做的功是W＝ʃeq\o\al（b,a)F（x)dx。跟踪训练一物体在变力F（x)＝5－x2(力单位：N,位移单位：m)作用下，沿与F（x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F（x)做的功为（）A.eq\r（3）J B。eq\f（2\r（3），3）JC.eq\f(4\r（3），3）J D．2eq\r(3)J答案C解析ʃeq\o\al（2,1）F(x)cos30°dx＝ʃeq\o\al(2，1）eq\f(\r(3），2)（5－x2)dx＝＝eq\f（4，3)eq\r(3）,∴F（x）做的功为eq\f(4,3)eq\r(3）J.1．等于（）A．0 B.eq\f(π，4)－eq\f(1,2）C。eq\f(π，4）－eq\f（1,4） D.eq\f(π,2）－1答案B解析＝＝eq\f（π,4)－eq\f(1,2）.2．（2018·东莞质检)ʃeq\o\al(1,－1)(eq\r(1－x2）＋x）dx等于（)A．π B.eq\f(π，2)C．π＋1 D．π－1答案B解析ʃeq\o\al（1,－1）（eq\r(1－x2）＋x）dx＝ʃeq\o\al(1,－1)eq\r(1－x2)dx＋ʃeq\o\al(1，－1)xdx＝＝eq\f(π,2).故选B。3.已知函数y＝f（x）的图象为如图所示的折线ABC,则ʃeq\o\al（1，－1)[(x＋1)f(x）］dx等于()A．2 B．－2C．1 D．－1答案D解析由题图易知f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－x－1，－1≤x≤0，,x－1，0<x≤1,))所以ʃeq\o\al(1，－1)［(x＋1）f(x）］dx＝ʃeq\o\al（0，－1)(x＋1)（－x－1)dx＋ʃeq\o\al（1,0）（x＋1）(x－1)dx＝ʃeq\o\al（0,－1)（－x2－2x－1)dx＋ʃeq\o\al（1，0）(x2－1)dx＝＝－eq\f（1,3）－eq\f（2，3）＝－1，故选D.4．(2018·大连调研)若ʃeq\o\al（a,1)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(1，x）））dx＝3＋ln2(a>1）,则a的值是（)A．2B．3C．4D．6答案A解析由题意知ʃeq\o\al（a,1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f(1,x））)dx＝（x2＋lnx)｜eq\o\al（a，1）＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2。5．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2，x∈[0，1］,，\f(1，x），x∈1,e］)）(其中e为自然对数的底数)，则ʃeq\o\al（e,0）f（x）dx的值为()A.eq\f（4,3) B。eq\f（5，4)C。eq\f(6，5） D.eq\f(7，6)答案A解析ʃeq\o\al（e，0）f(x)dx＝ʃeq\o\al(1,0）f(x）dx＋ʃeq\o\al（e，1）f(x)dx＝ʃeq\o\al（1,0）x2dx＋ʃeq\o\al（e，1)eq\f(1，x)dx＝＋lnx｜eq\o\al（e，1）＝eq\f（1，3）＋1＝eq\f（4，3）.故选A。6．（2017·湖南长沙模拟）设a＝ʃeq\o\al(1，0）cosxdx，b＝ʃeq\o\al（1,0)sinxdx，则下列关系式成立的是（)A．a>b B．a＋b<1C．a<b D．a＋b＝1答案A解析∵（sinx）′＝cosx，∴a＝ʃeq\o\al（1,0）cosxdx＝sinx｜eq\o\al（1,0)＝sin1。∵(－cosx）′＝sinx,∴b＝ʃeq\o\al（1，0)sinxdx＝（－cosx）｜eq\o\al（1,0)＝1－cos1。∵sin1＋cos1〉1,∴sin1>1－cos1，即a〉b.故选A。7．定积分ʃeq\o\al(2,0)｜x－1|dx等于()A．1B．－1C．0D．2答案A解析ʃeq\o\al（2,0)|x－1|dx＝ʃeq\o\al(1，0)|x－1｜dx＋ʃeq\o\al（2，1）｜x－1｜dx＝ʃeq\o\al(1,0)（1－x）dx＋ʃeq\o\al(2，1）（x－1)dx＝＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1，2））)＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（22,2)－2）)－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）－1)）＝1.8．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t）＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)（t的单位：s,v的单位：m/s）行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m）是(）A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f（11,3）C．4＋25ln5 D．4＋50ln2答案C解析令v(t)＝0,得t＝4或t＝－eq\f（8,3)(舍去),∴汽车行驶距离s＝ʃeq\o\al（4,0）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－3t＋\f(25，1＋t））)dt＝＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.9．________。答案2解析由题意得＝＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2）－cos\f（π,2））)－（sin0－cos0)＝2。10．（2018·太原调研)由直线x＝－eq\f（π,3），x＝eq\f（π,3），y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为________．答案eq\r(3)解析所求面积＝sineq\f(π，3)－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－sin

\f（π,3）））＝eq\r（3)。11．（2017·济南模拟)设a〉0,若曲线y＝eq\r（x）与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.答案eq\f（4，9)解析封闭图形如图所示，则解得a＝eq\f(4，9）.12.已知二次函数y＝f（x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为________．答案eq\f(4，3)解析根据f（x)的图象可设f(x)＝a(x＋1)·(x－1）(a〈0）．因为f(x)的图象过(0,1）点,所以－a＝1，即a＝－1。所以f(x)＝－（x＋1)(x－1）＝1－x2。所以S＝ʃeq\o\al（1，－1)（1－x2)dx＝2ʃeq\o\al(1，0）(1－x2）dx＝＝2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，3)）)＝eq\f(4,3).13。由曲线y＝x2和曲线y＝eq\r（x）围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（)A.eq\f（1，3） B.eq\f(3，10）C。eq\f（1,4) D.eq\f(1，5)答案A解析由题意得，所求阴影部分的面积故选A.14．（2018·呼和浩特质检)若S1＝ʃeq\o\al（2，1）x2dx，S2＝ʃeq\o\al(2,1）eq\f（1,x）dx,S3＝ʃeq\o\al(2,1）exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（)A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S