2019届大数学全国用讲义第八章立体几何与空间向量 8.6 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§8.6空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1。了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2。掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3。掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容,涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题,常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1）共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得a＝λb。(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a,b为不共线向量．（3)空间向量基本定理如果三个向量a，b,c不共面,那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x,y，z},使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c｝叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1）数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a,b，在空间任取一点O，作eq\o（OA,\s\up6(→）)＝a，eq\o(OB，\s\up6（→））＝b，则∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作〈a，b>，其范围是0≤<a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f（π,2），则称a与b互相垂直,记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b，则|a||b｜cos<a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a|｜b|cos〈a,b〉．(2）空间向量数量积的运算律①（λa）·b＝λ（a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律:a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3),b＝（b1，b2，b3）。向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb（b≠0，λ∈R)a1＝λb1,a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a｜eq\r（a\o\al(2，1）＋a\o\al(2,2)＋a\o\al（2，3））夹角〈a，b〉(a≠0,b≠0)cos<a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al（2,1）＋a\o\al(2，2)＋a\o\al(2，3))·\r(b\o\al(2，1）＋b\o\al（2，2）＋b\o\al（2,3))）知识拓展1．向量三点共线定理在平面中A,B，C三点共线的充要条件是:eq\o(OA,\s\up6（→))＝xeq\o（OB，\s\up6(→)）＋yeq\o（OC，\s\up6(→））（其中x＋y＝1),O为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A,B,C四点共面的充要条件是：eq\o（OP，\s\up6(→））＝xeq\o(OA，\s\up6(→））＋yeq\o(OB,\s\up6(→)）＋zeq\o(OC，\s\up6（→)）（其中x＋y＋z＝1），O为空间中任意一点．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×"）(1）空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2）在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·（b·c）．(×)（3）对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c。(×)(4）两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．（×)(5)若A,B,C,D是空间任意四点,则有eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o(BC，\s\up6（→)）＋eq\o(CD，\s\up6（→)）＋eq\o（DA,\s\up6（→)）＝0.(√)（6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．（×)题组二教材改编2．[P97A组T2]如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6（→））＝a，eq\o（AD,\s\up6（→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→)）＝c，则下列向量中与eq\o(BM，\s\up6（→））相等的向量是()A．－eq\f(1，2）a＋eq\f（1，2)b＋c B。eq\f（1,2）a＋eq\f（1，2)b＋cC．－eq\f(1,2）a－eq\f（1，2）b＋c D。eq\f（1,2)a－eq\f（1,2)b＋c答案A解析eq\o(BM，\s\up6(→)）＝eq\o（BB1,\s\up6(→)）＋eq\o(B1M,\s\up6(→）)＝eq\o(AA1,\s\up6（→)）＋eq\f（1，2)（eq\o（AD，\s\up6（→）)－eq\o（AB,\s\up6（→)）)＝c＋eq\f（1,2）（b－a)＝－eq\f(1，2）a＋eq\f（1，2）b＋c。3．[P98T3］正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．答案eq\r(2)解析｜eq\o（EF,\s\up6（→)）|2＝eq\o(EF，\s\up6（→))2＝（eq\o（EC，\s\up6(→）)＋eq\o(CD，\s\up6(→)）＋eq\o（DF，\s\up6（→）））2＝eq\o(EC,\s\up6（→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→)）2＋eq\o（DF，\s\up6（→))2＋2（eq\o（EC，\s\up6（→)）·eq\o（CD，\s\up6（→））＋eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o（DF，\s\up6(→）)＋eq\o（CD，\s\up6(→））·eq\o（DF，\s\up6(→)））＝12＋22＋12＋2（1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°）＝2,∴|eq\o（EF，\s\up6（→))｜＝eq\r(2)，∴EF的长为eq\r（2).题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A（1,2，3），B（－2，－1，6)，C（3，2，1），D(4，3,0),则直线AB与CD的位置关系是（）A．垂直 B．平行C．异面 D．相交但不垂直答案B解析由题意得，eq\o（AB,\s\up6(→））＝(－3，－3，3），eq\o（CD,\s\up6（→)）＝(1，1,－1），∴eq\o（AB，\s\up6(→））＝－3eq\o（CD,\s\up6（→))，∴eq\o(AB，\s\up6（→))与eq\o(CD，\s\up6(→）)共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD。5．与向量（－3，－4，5）共线的单位向量是__________________________________．答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3\r(2）,10），\f(2\r（2),5)，－\f(\r(2),2)）)和eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（3\r(2），10），－\f(2\r(2),5)，\f(\r（2),2)）)解析因为与向量a共线的单位向量是±eq\f(a，|a｜），又因为向量（－3,－4,5）的模为eq\r(－32＋－42＋52）＝5eq\r（2），所以与向量（－3，－4，5)共线的单位向量是±eq\f（1，5\r（2）)(－3，－4,5）＝±eq\f（\r（2)，10）（－3，－4,5）．6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且eq\o(OP,\s\up6(→）)＝eq\f(3,4）eq\o(OA，\s\up6（→））＋eq\f(1,8)eq\o(OB，\s\up6（→）)＋teq\o(OC,\s\up6(→））,若P，A,B，C四点共面，则实数t＝______。答案eq\f（1,8）解析∵P,A，B，C四点共面，∴eq\f(3,4)＋eq\f（1,8)＋t＝1，∴t＝eq\f(1,8）.题型一空间向量的线性运算1.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用eq\o（AB,\s\up6(→)），eq\o(AD,\s\up6（→）），eq\o(AA1,\s\up6（→)）表示eq\o(OC1,\s\up6(→）），则eq\o(OC1，\s\up6(→）)＝________________.答案eq\f（1，2）eq\o(AB,\s\up6(→））＋eq\f(1,2)eq\o（AD,\s\up6(→))＋eq\o（AA1，\s\up6(→)）解析∵eq\o(OC，\s\up6（→）)＝eq\f（1，2）eq\o（AC,\s\up6(→）)＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（AD，\s\up6(→）））,∴eq\o(OC1,\s\up6(→)）＝eq\o（OC，\s\up6(→)）＋eq\o（CC1,\s\up6（→)）＝eq\f（1，2）（eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o(AD，\s\up6（→）)）＋eq\o(AA1，\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\f(1，2)eq\o（AD,\s\up6（→））＋eq\o(AA1，\s\up6(→））。2。(2017·上饶期中)如图，在三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设eq\o（OA,\s\up6(→)）＝a，eq\o（OB，\s\up6(→））＝b，eq\o（OC,\s\up6(→））＝c，用a,b，c表示eq\o（NM，\s\up6（→))，则eq\o（NM，\s\up6(→)）等于()A.eq\f（1，2)(－a＋b＋c) B。eq\f(1,2)（a＋b－c）C.eq\f（1,2）(a－b＋c) D.eq\f（1,2）(－a－b＋c)答案B解析eq\o(NM,\s\up6(→)）＝eq\o（NA，\s\up6（→））＋eq\o（AM，\s\up6（→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→)）－eq\o（ON，\s\up6（→））)＋eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up6（→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→)）－eq\f（1,2)eq\o（OC，\s\up6（→))＋eq\f（1,2)（eq\o(OB,\s\up6(→））－eq\o(OA,\s\up6(→）)）＝eq\f（1，2)eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\f(1,2)eq\o（OB,\s\up6（→)）－eq\f(1,2）eq\o(OC,\s\up6(→)）＝eq\f（1,2）(a＋b－c)．思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．题型二共线定理、共面定理的应用典例（2018·唐山质检)如图所示,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq\o(AM，\s\up6（→））＝keq\o(AC1，\s\up6（→）)，eq\o(BN，\s\up6（→))＝keq\o(BC,\s\up6（→)）（0≤k≤1)．(1)向量eq\o（MN,\s\up6(→））是否与向量eq\o(AB，\s\up6(→)),eq\o(AA1，\s\up6(→))共面？（2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1）∵eq\o（AM，\s\up6（→))＝keq\o（AC1，\s\up6（→）），eq\o（BN，\s\up6（→）)＝keq\o（BC,\s\up6（→))，∴eq\o(MN，\s\up6(→））＝eq\o(MA,\s\up6(→)）＋eq\o（AB，\s\up6（→)）＋eq\o（BN,\s\up6（→）)＝keq\o(C1A,\s\up6（→))＋eq\o(AB，\s\up6(→)）＋keq\o（BC,\s\up6(→)）＝k(eq\o（C1A，\s\up6（→）)＋eq\o(BC,\s\up6(→）））＋eq\o（AB,\s\up6（→））＝k（eq\o(C1A，\s\up6(→)）＋eq\o（B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→)）＝keq\o(B1A,\s\up6（→））＋eq\o（AB,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→））－keq\o（AB1,\s\up6（→)）＝eq\o(AB，\s\up6（→))－k（eq\o（AA1,\s\up6（→））＋eq\o（AB，\s\up6(→))）＝（1－k）eq\o(AB,\s\up6(→））－keq\o(AA1,\s\up6(→)），∴由共面向量定理知向量eq\o（MN，\s\up6（→))与向量eq\o（AB，\s\up6（→）），eq\o（AA1，\s\up6（→)）共面．(2）当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合,MN在平面ABB1A1内，当0〈k≤1时，MN不在平面ABB1A1内,又由(1)知eq\o（MN，\s\up6(→)）与eq\o(AB,\s\up6(→）),eq\o(AA1，\s\up6(→))共面，∴MN∥平面ABB1A1.思维升华（1)证明空间三点P，A，B共线的方法①eq\o（PA，\s\up6（→）)＝λeq\o(PB，\s\up6（→）)(λ∈R）;②对空间任一点O，eq\o（OP,\s\up6（→）)＝eq\o(OA，\s\up6（→))＋teq\o（AB，\s\up6(→))(t∈R）；③对空间任一点O，eq\o（OP，\s\up6(→）)＝xeq\o(OA,\s\up6（→）)＋yeq\o(OB,\s\up6（→））(x＋y＝1）．（2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法①eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA，\s\up6（→））＋yeq\o（MB,\s\up6（→))；②对空间任一点O，eq\o(OP，\s\up6（→））＝eq\o（OM，\s\up6(→））＋xeq\o(MA,\s\up6(→））＋yeq\o(MB，\s\up6(→)）；③对空间任一点O，eq\o(OP，\s\up6(→))＝xeq\o（OM，\s\up6(→）)＋yeq\o(OA,\s\up6(→））＋zeq\o（OB,\s\up6（→))（x＋y＋z＝1）；④eq\o(PM，\s\up6(→）)∥eq\o(AB,\s\up6(→）)（或eq\o(PA,\s\up6(→)）∥eq\o(MB，\s\up6（→）)或eq\o（PB,\s\up6(→)）∥eq\o（AM，\s\up6(→)))．跟踪训练（2017·抚州模拟)如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E,F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．(1）试用向量eq\o（AB,\s\up6（→）），eq\o(AD，\s\up6(→)），eq\o(AA1,\s\up6(→)）表示eq\o(AG，\s\up6（→))；（2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.(1）解设eq\o(AB，\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6（→))＝b，eq\o（AA1，\s\up6（→）)＝c。由图得eq\o(AG，\s\up6（→)）＝eq\o(AA1，\s\up6（）)＋eq\o（A1D1,\s\up6(）)＋eq\o（D1G,\s\up6())＝c＋b＋eq\f（1,2)eq\o（DC，\s\up6(→)）＝eq\f（1,2)a＋b＋c＝eq\f(1,2)eq\o（AB,\s\up6(→））＋eq\o(AD，\s\up6（→））＋eq\o(AA1,\s\up6（→)）.（2)证明由题图，得eq\o(AC，\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→)）＝a＋b，eq\o(EG,\s\up6（→））＝eq\o（ED1,\s\up6（))＋eq\o(D1G,\s\up6（））＝eq\f（1，2)b＋eq\f（1，2)a＝eq\f(1,2）eq\o（AC,\s\up6(→）)，∵EG与AC无公共点，∴EG∥AC，∵EG⊄平面AB1C,AC⊂平面AB1C，∴EG∥平面AB1C.又∵eq\o（AB1,\s\up6(）)＝eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（BB1,\s\up6（)）＝a＋c，eq\o（FG,\s\up6（→))＝eq\o（FD1,\s\up6（)）＋eq\o（D1G，\s\up6（)）＝eq\f（1,2)c＋eq\f（1,2)a＝eq\f（1，2）eq\o（AB1，\s\up6（）),∵FG与AB1无公共点，∴FG∥AB1，∵FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴FG∥平面AB1C，又∵FG∩EG＝G,FG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.题型三空间向量数量积的应用典例（2017·济南月考)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°。(1）求线段AC1的长;（2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；（3)求证：AA1⊥BD.(1)解设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→））＝b，eq\o(AA1，\s\up6(→))＝c，则|a|＝｜b|＝1，｜c｜＝2，a·b＝0,c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.∵eq\o(AC1，\s\up6（→)）＝eq\o（AC,\s\up6（→)）＋eq\o(CC1，\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AD,\s\up6（→)）＋eq\o（AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，∴｜eq\o(AC1,\s\up6（→))|＝|a＋b＋c|＝eq\r（a＋b＋c2)＝eq\r（｜a|2＋|b｜2＋｜c|2＋2a·b＋b·c＋c·a)＝eq\r（12＋12＋22＋20－1－1）＝eq\r(2）.∴线段AC1的长为eq\r(2).（2)解设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cosθ＝|cos<eq\o(AC1，\s\up6(→））,eq\o(A1D,\s\up6（→)）〉|＝eq\f(｜\o(AC1，\s\up6（→)）·\o(A1D，\s\up6(→)）|，｜\o(AC1,\s\up6（→)）|｜\o（A1D,\s\up6(→))|）.∵eq\o(AC1，\s\up6（→)）＝a＋b＋c，eq\o(A1D，\s\up6（→))＝b－c，∴eq\o(AC1，\s\up6(→））·eq\o（A1D，\s\up6(→)）＝(a＋b＋c）·（b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，|eq\o（A1D，\s\up6（→））|＝eq\r(b－c2)＝eq\r(|b｜2－2b·c＋｜c｜2)＝eq\r（12－2×－1＋22)＝eq\r(7)。∴cosθ＝eq\f(|\o(AC1，\s\up6（→）)·\o(A1D，\s\up6(→））|,｜\o（AC1,\s\up6(→））｜|\o(A1D，\s\up6（→）)|)＝eq\f（|－2｜，\r(2）×\r（7)）＝eq\f（\r（14）,7)。故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为eq\f（\r（14），7)。（3)证明∵eq\o（AA1,\s\up6（→))＝c，eq\o（BD,\s\up6（→）)＝b－a，∴eq\o（AA1,\s\up6（→）)·eq\o(BD,\s\up6（→)）＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1）－（－1)＝0，∴eq\o(AA1，\s\up6（→)）⊥eq\o（BD,\s\up6(→）)，即AA1⊥BD。思维升华（1）利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过｜a｜＝eq\r（a2），将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°。(1）求eq\o（AC1,\s\up6（→））的长；(2)求eq\o(BD1，\s\up6(→))与eq\o（AC，\s\up6（→）)夹角的余弦值．解(1)记eq\o（AB,\s\up6(→））＝a，eq\o(AD，\s\up6(→))＝b，eq\o（AA1,\s\up6（→)）＝c，则｜a｜＝｜b|＝｜c|＝1，〈a，b〉＝<b,c〉＝〈c，a>＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f（1,2).｜eq\o（AC1,\s\up6(→)）｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)＋\f（1,2）＋\f（1,2）)）＝6，∴｜eq\o（AC1,\s\up6(→))｜＝eq\r(6），即AC1的长为eq\r（6）。(2)eq\o（BD1,\s\up6（→)）＝b＋c－a，eq\o（AC,\s\up6(→）)＝a＋b，∴|eq\o（BD1，\s\up6(→))|＝eq\r（2)，|eq\o(AC，\s\up6（→））|＝eq\r（3），eq\o（BD1，\s\up6(→））·eq\o（AC，\s\up6(→）)＝(b＋c－a）·（a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cos〈eq\o（BD1,\s\up6(→）)，eq\o(AC,\s\up6(→））〉＝eq\f（\o（BD1，\s\up6(→））·\o（AC,\s\up6(→)）,|\o（BD1，\s\up6(→））｜｜\o（AC，\s\up6(→））｜)＝eq\f（\r(6）,6）.即eq\o(BD1，\s\up6(→）)与eq\o（AC，\s\up6(→）)夹角的余弦值为eq\f(\r(6),6).坐标法在立体几何中的应用典例(12分)如图,已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°,棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．（1)求eq\o（BN,\s\up6（→))的模;(2)求cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→)）,eq\o(CB1，\s\up6（→))〉的值；(3）求证:A1B⊥C1M.思想方法指导利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解．规范解答（1）解如图,以点C作为坐标原点O，CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴，z轴，建立空间直角坐标系．由题意得B(0，1,0），N（1，0，1），所以｜eq\o(BN,\s\up6(→））|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3）.[2分］（2)解由题意得A1(1,0，2）,B（0，1，0），C（0,0,0），B1(0，1,2），所以eq\o(BA1，\s\up6（→)）＝（1，－1，2),eq\o（CB1,\s\up6(→)）＝（0，1,2)，eq\o(BA1，\s\up6(→））·eq\o（CB1,\s\up6（→))＝3，｜eq\o(BA1，\s\up6(→））|＝eq\r(6），|eq\o（CB1，\s\up6（→)）｜＝eq\r(5）,所以cos〈eq\o（BA1,\s\up6（→）)，eq\o(CB1,\s\up6(→))>＝eq\f(\o（BA1，\s\up6（→)）·\o（CB1,\s\up6(→))，｜\o（BA1，\s\up6（→）)|｜\o(CB1，\s\up6（→））|）＝eq\f(\r（30),10）.［6分］(3）证明由题意得C1(0,0,2），Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，\f(1,2），2)），eq\o（A1B，\s\up6(→))＝（－1,1，－2),eq\o(C1M，\s\up6（→)）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)，\f（1,2），0）),［9分］所以eq\o(A1B，\s\up6（→)）·eq\o(C1M,\s\up6（→))＝－eq\f（1,2)＋eq\f(1，2)＋0＝0，所以eq\o（A1B，\s\up6（→)）⊥eq\o(C1M，\s\up6(→）），即A1B⊥C1M。［12分］1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a,b一定不共面;③若三个向量a，b,c两两共面，则向量a,b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y,z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是（)A．0B．1C．2D．3答案A解析a与b共线,a,b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确;三个向量a，b,c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A。2．（2017·黄冈模拟)已知向量a＝（2m＋1,3，m－1)，b＝（2，m，－m），且a∥b，则实数m的值等于（）A.eq\f(3,2) B．－2C．0 D。eq\f(3，2）或－2答案B解析当m＝0时，a＝（1，3，－1），b＝(2，0,0)，a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b，∴eq\f（2m＋1，2)＝eq\f(3，m)＝eq\f（m－1,－m），解得m＝－2.3．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝（－2，0，－4），则（)A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交答案B解析∵a＝(1，0，2），n＝（－2，0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α.4．已知a＝(1,0,1）,b＝(x，1，2），且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(）A。eq\f（5π，6） B.eq\f(2π，3）C.eq\f（π，3） D.eq\f（π,6)答案D解析∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1,2),∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,｜a|｜b｜)＝eq\f(3,\r（2)×\r(6））＝eq\f(\r(3)，2）,又∵<a，b〉∈［0，π］，∴a与b的夹角为eq\f(π,6），故选D。5．（2017·郑州调研)已知a＝(2，1，－3)，b＝（－1，2,3)，c＝(7,6，λ），若a，b，c三向量共面，则λ等于(）A．9B．－9C．－3D．3答案B解析由题意知c＝xa＋yb，即(7，6,λ）＝x(2，1，－3）＋y（－1,2,3),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7,，x＋2y＝6,，－3x＋3y＝λ,）)解得λ＝－9.6．(2018·绵阳质检）如图,在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B，D两点间的距离是()A.eq\r(3）B.eq\r(2）C．1D。eq\r（3－\r（2)）答案D解析∵eq\o（BD，\s\up6（→))＝eq\o(BF,\s\up6（→)）＋eq\o(FE,\s\up6（→）)＋eq\o（ED,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→））|2＝|eq\o（BF，\s\up6(→))｜2＋｜eq\o(FE,\s\up6（→）)｜2＋|eq\o（ED,\s\up6(→））｜2＋2eq\o（BF,\s\up6（→))·eq\o(FE,\s\up6（→）)＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(ED，\s\up6（→））＋2eq\o（BF,\s\up6(→)）·eq\o(ED，\s\up6（→)）＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r（2),故｜eq\o(BD，\s\up6（→）)｜＝eq\r(3－\r(2）)。7．已知2a＋b＝（0,－5,10），c＝（1，－2,－2),a·c＝4，｜b｜＝12,则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．答案60°解析由题意，得(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10。又∵a·c＝4,∴b·c＝－18，∴cos<b,c>＝eq\f(b·c，｜b｜|c｜）＝eq\f(－18，12×\r（1＋4＋4）)＝－eq\f(1,2）,又∵<b，c>∈［0°,180°］，∴〈b，c〉＝120°,∴两直线的夹角为60°。8.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC，M，N分别为OA，BC的中点,点G在线段MN上，且eq\o(MG,\s\up6(→）)＝2eq\o(GN,\s\up6（→)），若eq\o(OG,\s\up6（→)）＝xeq\o(OA，\s\up6（→）)＋yeq\o（OB，\s\up6(→)）＋zeq\o（OC,\s\up6（→）)，则x,y，z的值分别为______．答案eq\f（1,6),eq\f（1,3),eq\f（1，3)解析∵eq\o（OG，\s\up6（→))＝eq\o（OM,\s\up6(→）)＋eq\o（MG，\s\up6（→))＝eq\f（1，2)eq\o(OA,\s\up6(→)）＋eq\f(2，3)eq\o（MN,\s\up6(→)）＝eq\f(1，2）eq\o（OA,\s\up6（→))＋eq\f(2，3）（eq\o（ON，\s\up6(→）)－eq\o（OM，\s\up6（→)))＝eq\f（1,2）eq\o（OA，\s\up6（→)）＋eq\f(2，3）eq\o（ON，\s\up6(→））－eq\f（2,3）eq\o(OM,\s\up6(→)）＝eq\f(1,2）eq\o（OA,\s\up6（→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o（OB,\s\up6（→)）＋eq\o（OC,\s\up6(→）））－eq\f（2,3)×eq\f(1，2）eq\o（OA,\s\up6(→))＝eq\f(1，6）eq\o（OA,\s\up6(→））＋eq\f（1，3)eq\o（OB,\s\up6(→))＋eq\f(1，3)eq\o(OC,\s\up6(→)），又eq\o（OG,\s\up6（→)）＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB，\s\up6(→））＋zeq\o（OC,\s\up6（→))，∴x＝eq\f(1,6),y＝z＝eq\f(1，3)。9．A，B,C，D是空间不共面四点，且eq\o（AB，\s\up6(→））·eq\o（AC,\s\up6（→））＝0，eq\o(AC,\s\up6(→）)·eq\o(AD,\s\up6（→））＝0,eq\o（AB,\s\up6（→））·eq\o（AD,\s\up6(→））＝0，则△BCD的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个）答案锐角解析因为eq\o(BC，\s\up6（→))·eq\o（BD,\s\up6（→）)＝（eq\o（AC,\s\up6(→））－eq\o(AB，\s\up6（→)）)·（eq\o（AD，\s\up6(→)）－eq\o（AB,\s\up6（→）））＝eq\o（AC，\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→））－eq\o(AC,\s\up6（→)）·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o（AB,\s\up6（→））·eq\o（AD，\s\up6(→）)＋eq\o（AB,\s\up6(→）)2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2〉0，所以∠CBD为锐角．同理∠BCD，∠BDC均为锐角．10．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①（eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o（A1D1,\s\up6()）＋eq\o(A1B1，\s\up6())）2＝3eq\o（A1B1,\s\up6（））2；②eq\o(A1C,\s\up6（→))·(eq\o(A1B1，\s\up6（)）－eq\o（A1A，\s\up6（→）））＝0；③向量eq\o(AD1，\s\up6(→）)与向量eq\o(A1B,\s\up6(→)）的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为｜eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o（AA1,\s\up6(→））·eq\o（AD,\s\up6（→））|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(eq\o(A1A，\s\up6(→））＋eq\o（A1D1,\s\up6（）)＋eq\o(A1B1,\s\up6（)))2＝eq\o（A1A,\s\up6(→))2＋eq\o（A1D1，\s\up6(））2＋eq\o（A1B1，\s\up6())2＝3eq\o(A1B1,\s\up6()）2，故①正确；②中，eq\o（A1B1,\s\up6(）)－eq\o（A1A，\s\up6（→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→）)，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但eq\o(AD1,\s\up6（→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故③不正确；④中，｜eq\o(AB,\s\up6(→）)·eq\o(AA1,\s\up6(→)）·eq\o(AD,\s\up6（→）)｜＝0，故④也不正确．11．（2018·遵义调研）已知空间三点A（－2，0，2）,B（－1，1,2），C（－3,0,4），设a＝eq\o(AB,\s\up6（→)），b＝eq\o(AC，\s\up6（→)）.(1）若｜c｜＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6（→）)，求向量c；（2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．解(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6（→)),eq\o(BC,\s\up6(→））＝（－3,0,4）－(－1，1,2）＝(－2,－1,2）,∴c＝meq\o(BC,\s\up6（→))＝m（－2，－1，2)＝（－2m,－m，2m)，∴|c｜＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3｜m|＝3,∴m＝±1，∴c＝（－2，－1,2)或（2,1,－2)．（2)∵a＝（1,1，0），b＝（－1,0，2），∴a·b＝（1,1，0)·（－1,0，2）＝－1，又∵｜a|＝eq\r（12＋12＋02)＝eq\r（2），|b｜＝eq\r（－12＋02＋22)＝eq\r（5），∴cos<a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|）＝eq\f(－1,\r(10）)＝－eq\f（\r（10)，10），即向量a与向量b的夹角的余弦值为－eq\f（\r(10），10).12.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点,计算:（1）eq\o（EF，\s\up6(→）)·eq\o(BA，\s\up6（→）)；（2）EG的长；(3）异面直线AG与CE所成角的余弦值．解设eq\o（AB，\s\up6(→）)＝a，eq\o（AC,\s\up6(→)）＝b，eq\o(AD,\s\up6(→）)＝c，则｜a｜＝|b｜＝|c｜＝1,〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a>＝60°.(1)eq\o(EF,\s\up6(→)）＝eq\f(1，2)eq\o(BD，\s\up6（→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o（BA,\s\up6（→）)＝－a，eq\o（EF，\s\up6(→））·eq\o（BA，\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)c－\f(1，2)a)）·(－a）＝eq\f(1,2）a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4）。（2）eq\o(EG，\s\up6（→))＝eq\o（EB,\s\up6（→)）＋eq\o(BC,\s\up6(→））＋eq\o（CG,\s\up6（→）)＝eq\f(1，2)eq\o（AB，\s\up6（→））＋(eq\o（AC,\s\up6(→)）－eq\o(AB，\s\up6(→)））＋eq\f(1,2）（eq\o(AD，\s\up6（→)）－eq\o（AC,\s\up6（→）))＝－eq\f（1，2）eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\f(1，2)eq\o(AC，\s\up6(→))＋eq\f（1，2）eq\o（AD，\s\up6（→））＝－eq\f(1,2）a＋eq\f（1,2）b＋eq\f(1，2)c，所以eq\o(EG，\s\up6（→）)2＝eq\f(1,4)（－a＋b＋c）2＝eq\f（1,4）（a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c）＝eq\f(1,2)，所以|eq\o（EG，\s\up6(→））｜＝eq\f(\r(2)，2）,即EG的长为eq\f（\r（2)，2)。(3）eq\o（AG,\s\up6(→））＝eq\f（1，2）（eq\o（AC，\s\up6（→））＋eq\o(AD，\s\up6(→)）)＝eq\f(1，2）b＋eq\f(1,2）c，eq\o（CE，\s\up6（→)）＝eq\o（CA，\s\up6（→）)＋eq\o(AE,\s\up6（→))＝－b＋eq\f(1，2）a,eq\o(AG,\s\up6（→)）·eq\o（CE，\s\up6(→））＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋\f(1，2)c))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－b＋\f(1，2)a))＝eq\f(1，2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a·b－|b｜2＋\f(1,2)a·c－b·c))＝－eq\f(1,2），｜eq\o(AG,\s\up6（→))｜＝eq\f(\r（3），2），｜eq\o(CE，\s\up6（→)）|＝eq\f(\r(3），2）,cos〈eq\o(AG，\s\up6（→)）,eq\o(CE,\s\up6(→））〉＝eq\f(\o(AG,\s\up6(→）)·\o（CE，\s\up6(→)),｜\o(AG，\s\up6（→）)||\o(CE,\s\up6(→））｜）＝－eq\f（2，3)，由于异面直线所成角的范围是eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)）），所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为eq\f（2,3).13．在空间四边形ABCD中,eq\o（AB，\s\up6(→））·eq\o（CD,\s\up6(→)）＋eq\o(AC,\s\up6（→））·eq\o（DB,\s\up6（→))＋eq\o（AD,\s\up6（→））·eq\o(BC，\s\up6(→))等于(）