高中数学奥赛辅导第九讲数列与递进

第九讲数列与递进数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a1,a2,…,an,{an}.如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可用一个来表示这个就叫做这个数列的通项.子集，函数表达式就是数列的通项.对于数列{an}Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}na S

(n(n I．等差数列与等比数列1

d(常量)或

anan22通项：an=a1+(n－1)d前n项和：

n(a1an)

n(n1)

anan22①公差为非零的等差数列的充要条件是通项为n的一次函数；②公差为非零的等差数列的充要条件是前n项和为n的不含常数项的二次函数Sn是等差数列{an}nSm,S2m－Sm,S3m－S2m,…,Spm－S(p－1)m(m

是等差数列{an}n

Sn ⑥设{an}是等差数列，则{λan+b}(λ,b是常数)；⑨设{an}是等差数列，则Can}（c>0,c≠1）是等比数列.

q(常量),或

通项

(q前n项和：

a(1qn

aa 1 n(q 1

1an1

anan2无穷递缩等比数列各项和 性质：

limnn

1

(0|q|Sn是等比数列{an}nSmS2m－SmS3m－S2m,Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、n∈N*)n③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数、am}（m∈Z*）n列中等距离分离出的子数列仍为等比数列；⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}(c>0,c≠1)是等差数列例1 设数列{an}的前n项和Sn=2an－1(n=1,2,…)，数列{bn}满足b1=3,bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求数列{bn}的前n项之和.（1996年数赛二试题【思路分析】欲求数列{bn}前nbn.ak=bk+1－bk,akak=Sk－Sk－1k=2,3,4,…)Sn=2an－1a1=S1=2a1－1,a1=1,an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,因此{an}12ak=bk+1－bkk=1,2,…,n－1a1=b2－b1a2=b3－b2a3=b4－b3,…an－1=bn－bn－1,n－1+a2+…+an.bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以数列{bn}nn项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法例2 q=1【证】设△ABCA、B、Ca、b、cb2=ac, cosB

a2c2

cos

1所以a2

ac整理得(a－c)2=0故△ABC为正三角形2a、b、ca、aq、aq2

a2(aq)2(aq22aaq

cos

1,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1,q=－1（舍去2a=b=c,故此△ABC为正三角形3b2=ac,(2RsinB)2=2RsinA·2RsinC（R是△ABC外接圆半径）sin2B=sinA·sinC34

2

4

A=C，且∠B=60ABC为正三角形460°－d,60°60°+d

，即[ cos2d=1,d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC为正三角形1、23、4着眼于角1例 各项都是正数的数列{an}中，若前n项的和Sn满足.

,【思路分析】在Sn与an{Sn}的递推式或数列{an}的递推式，an=Sn－Sn－1Snan即可.1【解】n≥2an=Sn－Sn－1

,

Sn

S2S 1(n2且Sa1所以数列{S211 nn即S nn

nn

n当nn1nn

,得a1=1也满足an nn 为an nn【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足Sn与an混合型中的通项1例 设数列{an}的前n项和Sn与an的关系为Sn=－ban+1－(1b)n其中b是与nb≠－1.（1）anan－1（2）写出用n与ban的表达式

1

n≥2

1

]

,an

1

(n

14a1

12n2na=

1,可知数列{2na}2a= 2

2n2为首项，公差为1的等差数列.所以2na1(n1)1n,即a n2n2 b≠1，b≠－1由（*）式得(1+b)na +

1b

1

1(b)an(b

an1(1b)bn1令c

1b (b)an,则cncn1(1b)bn1从而数列{cn－cn－1}就是一个等比数列，n2，3，…，nc2

,c3

cn

cc

1(1

1且

1ba 1 1b

1

1bn所以cn1b(1bb2bn1bn11b)(1bbn

1

从而an(1b)ncn(1b)nbn11b)(1b)(1b)(1b)n1故数列{an}的通项2

,

b

b【评述】构造辅助数列是解由递推关系式给出数列求通项的一个基本方法，本例构造例 n2(n≥4)个正数排成n行n……………18

,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年高中数赛试题

311.a44=a24·q2=q2,q=1, aa

q

3d)11, aa

q3

d

)3 12

2 设 2

k22

k,两式相减得1

11(11

12anaa

1

2n

列，数列{cn}的求和用错项相减去.例 将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n组有(2n－1)奇数进行分组{3,5,7}{9,11,1315,17}, （1组（2组3组1991（1991年高中数赛试题）n1个数和最后一个数，1991nn2nn22n2－1,n组第一个n－1组最后一个数后面的奇数为[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1.由题意，有不等式解得(n－1)2≤995且n2≥996n≤32n≥32，n=32199132组中.【评述】应用待定的方法，假定位于第n组中然后确定n即可.例7 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和，证明log05Snlog052

（1995年高考题

成立，用等比数列前n项和1】设{an}q,a1>0,q=1时，Sn=na1SnSn+2－S2=na1(n+2)a1－