全国初三数学竞赛试题含答案

中国教育会中学数学学专业委员会数学周报》杯2009全国初数学竞赛试题考答案一、选题（共小题，小题7分共35.以下每道小题给出代号为A，B，，D的四个选项，其中有且只一个选是正确的请将正确项的代填入题后的号里，不填、多填错填都得分）1．已知非实数a，b满足2b(b于（

，等（A）－1

（B0

（C）1

（D）2如图菱形边长为aO是对角线的一点，且＝a，＝＝1，则a等于（（A）

52

（B）

52

（C）1

（D）

（第2题）3．将一枚个面编号分别为123，4，56质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数，第二次掷出的点数，则使关于，by的方程组只有正数解的概率为（x（A）

12（B）（（D）124．如图1示，在直角梯形中，AB∥DC90

动点从点出发，沿梯形的边由B→C→D→运动.设点P运动的路程为x，△的面积为y.把看作x的函数，函数的图象如所示则△ABC的面积为（（A）

（B16

（C）18

（D）32图1

（题）/8

图5．关，的方程x

2

2

29的整数解（xy）的组数为（（A）2组（B）3组（）组（D）无穷多组二、填题（共题，每题7分，共）6．一个自车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶

．7．已知线AB的中点为C，以为圆心的长为半径作圆，在线的延长线上取点D，使BDAC再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙分别相交于FG点，连接AHFG交于点H则的值为．

（7题8已，a，，a是满足条a五个不同的整13434数，是关于x方b的值为．

49如图在△ABC中是高CEACB平分线若＝，＝，＝12，则的长等于

．1010人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报

（9题3人心里想的数是．三、解题（共，每题，共80分）

（第10）11数x

2

k

2

的图象与x轴的两个交点是否都在直线x的/8右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x的右侧时k取值范围．12在平面直角坐标系中我们把横坐标为整数纵坐标为完全平方数的点称“好点二次函数图象上所“好点的坐标．13如图，给定锐角三角形ABC，BC，是它的两条高，过△ABC的外接圆的切l，过点，E分别l垂线，垂足分别为F，．试比较线段DF和的大小，并证明你的结论．14．

个正整数a，满足如下条件：1n

（第13题）1a；1naa，a中任意n1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大1n值．答案1.【答】C．解：由题设知，所以，题设的等式为

(b

，于是ab从＝1．2.【答】A．BOBC解：因为△BOC∽ABC，所以，即AB1a，aa所以，

a

．a，a3.【答】．

．解：a，方程组无解．/8aa6x2a当时，方程组的解为2ayb0,由已知，,2a2a3.ab的实际意义为，，，，5，，可得共有5×2＝种情况；共3情况．b又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝种情况，故所求的概率为4.【答】B解：根据图像可得＝4，＝5，＝5，进而求得AB＝8，故

1336

．S＝△

×8×4＝16.5.【答】C．解：可将原方程视为关二次方程，将其变形为xyx(229)．由于该方程有整数根，则判别0，且是完全平方数．由

2

y

2

29)

2

0，解得

y≤

1167

16.57．于是y

2

0

1

4

9

16

116

109

88

53

4显然，只有y

2

时是完全平方数，符合要求．当y，原方程为x

2

，此时xx；1当y＝－4时，原方程x，此时x．3所以，原方程的整数解为/8

x1y1

x2y4;2

x3y3

x3,4y46.【答】3750解设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1kmk磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为.又设一对新轮50003000胎交换位置前走了，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有kxky50003000kykx3000两式相加，得

(x)k(y)k50003000则

xy

3750．7.：如图，延长AD与⊙交于点，连接，EF．由题设知

1，AE，在△FHA和△EFA中，33所以

FHA90FAHRt△FHA∽EFAAHAF

.而AF，所以8.【答】10

AHAB

1.3解因

351

是五个不同的整数，所b，b，b，b也是五个不同的整数．1又因为2009b41．13，可．134/89.【答】

607

．解：如图，由勾股定理知AD＝9，＝，所以AB＝ADBD＝25．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，901作EF⊥，垂足为．设EF＝，ECF45＝x，2于是BF＝－．由于EF∥，所以BF，即解得x

607

，1560．所CEx．7【答．解：设报3的人心里想的数x，则报的人心里想的数应．于是报7的人心里想的数是12)，报的人心里想的数是16(4)，报的人心里想的数是(12)报3的人心里想的数4(8)．所以，解得解：不一定，例如，k＝0，函数的图象与轴的交点为（0，0）和（10都在直的右侧．………………分设函数与x轴的两交点的横坐标为

x,

则xx112

2

当且仅当满足如下条件x0,1(1时，抛物线与x轴的两交点都在直线x的右侧．

………………分由

k2k

2

0,

2

k/8解之得

≤,1,k0.

………………分即

所以，抛物线与轴的两交点在直线x的右侧．………………分12.解设y,2，m都是非负整数，则k24907，()(k)4907．……………分则有

kk

kk解得

k347;

k2454,所以

120409;

故“好点”共有4个，它们的坐标是：120409，（），（2544），（23646017209………………分13.解：结论是．下面给出证明．………………分因FCD，所以Rt△FCD∽Rt△．于是可得同理可得

BE

CDABAB

．．………………10（第13题）BE又因为tanACB，所以BE，于是可得CDEG．

………………分/8iiii解法：结论EG．下面给出证明．………………5连接DE，因ADBAEB90以A，D，E四点共圆，故

（第13题CEDABC………………分又l是⊙O过点的切线，所ABC．………………分所以CEDACG，于是DEFG，故＝．………………分14.解a中去后剩下的－个数的算术平均数为正整数1ni()bi．即2nin于是，对于任意的1ij≤n，都有

．bij

ajin

，从而由于1n

n(