2020高三数学理北师大版一轮教师用书第3章第2节同角三角函数基本关系与诱导公式Word版含解析

第二节同角三角函数的基本关系与引诱公式[考纲传真](教师用书独具)1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝sinαπ＝tanα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2±α，π±α的正弦、余弦、1，cosα正切的引诱公式．(对应学生用书第49页)[基础知识填补]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；sinα(2)商数关系：tanα＝.cosα2．引诱公式组序一二三四五六2kπ＋π＋α－απ－αππ角α(k∈Z)2－α2＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变符号看象限记忆规奇变偶不变，符号看象限律[知识拓展]1.引诱公式的两个应用：(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：一致角，一致名，同角名少为终了．2．“1”代换sin2α＋cos2α＝1.[基本能力自测]1．(思虑辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( )sinα(2)若α∈R，则tanα＝恒建立．( )cosα(3)sin(＋πα)＝－sinα建立的条件是α为锐角．( )引诱公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，此中的“奇、π偶”是指2的奇数倍、偶数倍，“变与不变”指函数名称能否变化．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√52．(教材改编)已知α是第二象限角，sinα＝13，则cosα等于( )512512A．－13B．－13C．13D．135B[∵sinα＝13，α是第二象限角，212∴cosα＝－1－sinα＝－13.]．－17π－17π3cos4417π17π17π17πππ2[cos－－sin－＋sin＝cos4π＋＋sin4π＋44＝cos4444ππ2＝2.]＝cos＋sin＝2＋4422．已知sinα－cosα的值为________．4tanα＝2，则sinα＋cosα1[∵tanα＝2，3sinαcosα－α－1∴sinα－cosαcosαcosαtan＝1＝sinα＝sinα＋cosαcosαtanα＋13.]＋cosαcosαπ3π5．已知sin2＋α＝5，α∈0，2，则sin(π＋α)＝________.4π3π24－5[由于sin2＋α＝cosα＝5，α∈0，2，因此sinα＝1－cosα＝5，所4以sin(π＋α)＝－sinα＝－5.](对应学生用书第50页)同角三角函数基本关系式的应用(1)已知sinαcosα＝1，且5π3πα－sinα的值为( )4＜α＜2，则cos8A．－3B．32233C．－4D．4(2)(2016全·国卷Ⅲ若tanα＝3，则cos2α＋α＝( ))42sin26448A．25B．2516C．1D．255π3π(1)B(2)A[(1)∵4＜α＜2，cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.322α＋4sinαcosα＋α(2)∵tanα＝4，则cosα＋2sin2α＝sin2α＋cos2α＝tan2α＋1＝1＋4×324＝64，应选A．]3254＋1[规律方法]同角三角函数关系式及变形公式的应用方法22sinαα可1利用sinα＋cosα＝1能够实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tancosα以实现角α的弦切互化.2应用公式时注意方程思想的应用：关于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用sinα±cosα2＝1±2sinαcosα，能够知一求二.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.5[追踪训练](1)若sinα＝－13，且α为第四象限角，则tanα的值等于()【导学号：79140105】1212A．5B．－555C．12D．－12(2)已知sinθ＋cosθ＝4，θ∈0，π)4，则sinθ－cosθ的值为(322A．3B．－311C．2D．－2(1)D(2)B[(1)法一：由于α为第四象限的角，故cosα＝1－sin2α＝1－－521213＝，135因此tanα＝sinα－135＝12＝－12.cosα13法二：由于α是第四象限角，且sinα＝－135，因此可在α的终边上取一点y5P(12，－5)，则tanα＝x＝－12.应选D．22216(2)由于(sinθ＋cosθ)＝sinθ＋cosθ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝9，所以2sinθcosθ＝79，则(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθ·cosθ＝1－2sin2θcosθ＝9.又由于θ∈

π0，4，因此

sinθ＜cosθ，即sinθ－cosθ＜0，2因此sinθ－cosθ＝－3.]引诱公式的应用(1)化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)·sin(－261°)的结果为( )A．1B．－1C．0D．2sinkπ＋αcoskπ＋α(2)已知A＝sinα＋cosα(k∈Z)，则A的值组成的会合是( )A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}(1)C(2)C[(1)原式＝(－sin1071)·°sin99＋°sin171·sin°261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90＋°9°)＋sin(180－°9°)·sin(270－°9°)＝sin9°cos9°－sin9cos°9＝°0.当为偶数时，sinαcosα(2)k＋＝2；A＝sinαcosα为奇数时，＝－sinαcosαkAsinαcosα[规律方法]利用引诱公式的方法与步骤(1)方法：利用引诱公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，特别是角之间的互余、互补关系，选择适合的公式，向所求角和三角函数进行化归．(2)步骤：易错警告：利用引诱公式的重点是符号问题．[追踪训练]

(1)(2018

南·昌一模)(1)若

sin

π14－α＝3，则

πcos4＋α＝________.tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π(2)计算：2＝________.cos－α－3πsin－3π－α1ππππ1(1)3(2)－1[cos4＋α＝cos2－4－α＝sin4－α＝3.α－2π＋α＋π(2)原式＝tanαcossin2cosπ＋α[－sin3π＋α]πtanαcosαsin2＋αtanααα＝＝coscos－cosαsinα－cosαsinα＝－tanαcosαsinαcosαsinα＝－·＝－1.]cosαsinα同角关系式与引诱公式的综合应用π3π(1)(2016全·国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋4＝5，则tanθ－4＝________.ππ(2)(2017·郑州质检)已知cos2＋α＝2sinα－2，则sin3π－α＋cosα＋π的值为________.5π7π5cos2－α＋3sin2－α【导学号：79140106】(1)－4(2)3[(1)由题意知sinθ＋ππ4＝3，θ是第四象限角，因此cosθ＋4＞3355π1－sin2π40，因此cosθ＋4＝θ＋4＝5.tanθ－πππ14＝tanθ＋－2＝－π4tanθ＋4cosθ＋π4454＝－sinθ＋π＝－3＝－3.45ππ(2)∵cos2＋α＝2sinα－2，∴－sinα＝－2cosα，则sinα＝2cosα，2221代入sinα＋cosα＝1，得cosα＝5.sin3π－α＋cosα＋π＝sin3α－cosα5cos575sinα－3cosα2π－α＋3sinπ－α28cos3α－cosα8213＝7cosα＝7cosα－7＝35.][规律方法]三角函数求值与化简的常用方法1弦切互化法：主要利用公式tanα＝sinα进行弦切互化.cosα2和积变换法：利用sinθ±cosθ2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转变.3π巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ1＋tan2θ＝tan等.44利用有关角的互补、互余等特别关系可简化解题步骤.[追踪训练](1)已知sinα＝1，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.3(2)(2018湖·北调考)已知tanx＋π1＝( )2＝5，则sinxcosx2626A．5B．－5265