简单复合函数的导数课件 【备课精讲精研 】 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章

一元函数的导数及应用5.2.3简单复合函数的导数一二三学习目标理解复合函数的概念掌握复合函数的求导法则能利用复合函数的求导法则与四则运算法则解决综合的求导问题复习回顾基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则复习回顾新知探究一：复合函数探究1

如何求函数

y＝ln(2x-1)的导数？现有方法无法求出它的导数：（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.追问1：这个函数用我们学过的方法能不能求出它的导数?为什么？追问2:函数y＝ln(2x-1)的结构特点是什么？它与哪些基本初等函数有关？新知探究一：复合函数若设u=2x-1,则y=lnu.如果把y与u的关系记作y=f(u)和，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为

y=f(u)=f(g(x))=

ln(2x-1).从而，y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu及u＝2x-1

经过“复合”得到的，即y

可以通过中间变量u表示为自变量x

的函数.概念生成

一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记作：y=f(g(x)).复合函数例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成.以下函数是由哪些函数复合而成的？（1）y＝log2(x＋1)（2）y＝(3x+5)3（3）y＝e－0.05x＋1y=log2u和u=x+1y=u3和u=3x+5y=eu和u=－0.05x+3小试牛刀新知探究二：复合函数的导数探究2如何求复合函数的导数呢？以函数

y=sin2x为例，研究其导数.（分两步进行）(1)猜想y=sin2x

的导数与函数y=sinu，u=2x

的导数有关.

以

y′x

表示

y

对x

的导数,以

y′u

表示

y对u

的导数,以u′x

表示

u

对x

的导数可以先得到函数y=sinu，u=2x的导数y′u=cosu,u′x

=2

(2)可以换个角度来求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x可以发现，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x概念生成复合函数的导数法则

一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为

结构特点

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.典例分析例6

求下列函数的导数:解：探究3你能总结求复合函数y＝f(g(x))的导数的一般步骤吗？方法归纳(1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；(2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；(3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.分解求导回代巩固练习1.求下列函数的导数:课本P81巩固练习1.求下列函数的导数:课本P81典例分析例2

某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm),关于时间t(单位:s)的函数满足关系式.求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.解：函数

是y=18sinu与的复合函数则当t=3时，它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s.巩固练习课本P812.求下列函数在给定点处的导数:解：巩固练习课本P81解：课堂小结1.复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).2.复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数