系统安全预测技术课件

第三章系统安全预测技术

第一节预测的种类和基本原理第二节预测方法3/24/20231第一节预测的种类和基本原理一、预测的种类预测是运用各种知识和科学手段，分析研究历史资料，对安全生产发展的趋势或可能的结果进行事先的推测和估计。即由过去和现在预测未来，由已知预测未知。预测的组成：(1)预测信息：在调查研究的基础上所掌握的反映过去、揭示未来的有关情报、数据和资料为预测信息。（2）预测分析：将信息资料，经过比较核对、筛选和综合，进行科学的分析、预算。（3）预测技术：预测所用的科学方法和手段。（4）预测结果：最后得出的事物发展的趋势、程度、特点以及可能性结论。3/24/20232预测的含义：（1）预言。如果不涉及它所产生的根据，可以认为是明确地断言某个时期后将会出现的事物，它相当明确地声称将会发生什么，预言经常被认为是所期望的预测。（2）推测：在一定条件下描述未来形势的预测。（3）规划：此时的预测者是有意识的行动者。企业的领导人、技术上的指导者先明确目标，然后努力实现这个目标。3/24/20233二、预测的程序1、第一阶段：确定预测目标和任务（1）确定预测目的。（2）制定预测计划（3）确定预测时间2、第二阶段：输入信息阶段（1）收集预测资料（2）检验现有资料3、第三阶段：预测处理阶段（1）选择预测方法（2）建立预测模型（3）进行推理和计算3/24/202354.第四阶段：输出结果阶段（1）预测结果阶段（2）修正预测结果三、预测的基本原则1.连贯的原则2.系统的原则3.实事求是的原则4.大量观察的原则3/24/20236第二节预测方法一、预测分析方法概述1.定性分析：确定事物未来的性质，一般用于定量数据或难以用数据表示的事物或状态。2.定量分析：运用已掌握的大量信息资料，运用统计和数学的方法，进行数量计算或图解来推断事物发展的趋势及其程度的方法。3.定时分析：对预测对象随时间变化情况的分析。4.定比分析：定的是结构比例量。指不同经济事物之间相互影响的比例。5.评价分析：用上述分析预测后，须对结果进行评价。3/24/202371特尔菲法特尔菲法的名称来源于古希腊的一则神话。特尔菲（Delphi）是古希腊传说中的一个地名。当地有一座阿波罗神殿，是众神聚会占卜未来的地方。传说阿波罗神在特尔菲杀死了彼索斯龙之后成为当地的主人，阿波罗神不仅年少英俊，而且具有卓越的预测未来的能力。后人为了纪念阿波罗神，建阿波罗神殿于古城特尔菲。从此，人们把特尔菲看作是能够预卜未来的神谕之地，特尔菲法由此得名。由此可以体会到，特尔菲法的含义是通过卓越人物来洞察和预见未来。3/24/20239特尔菲法最早出现于20世纪50年代末期。当时美国政府组织了一批专家，要求他们站在苏军战略决策者的角度，最优地选择在未来大战中将被轰炸的美国目标，为美军决策人员提供参考。之后，在1964年，美国兰德公司的赫尔默（Helmer）和戈登（Gordon）首次将特尔菲法应用于科技预测中，并发表了《长远预测研究报告》。特尔菲法除用于科技预测外，还广泛用于政策制定、经营预测、方案评估等方面。发展到现在，特尔菲法在信息分析研究中，特别是在预测研究中占有重要的地位。据1975年联合国教育研究所对几种主要预测方法的使用情况所作的调查，专家预测法（以特尔菲法为主）的使用率占被使用预测方法总数的24.2%。3/24/202310特尔菲法的三个主要特点☆匿名性

☆反馈性☆统计性3/24/202311反馈性由于特尔菲法采用匿名形式，专家之间互不接触，受邀各专家都分别独立地就调查表所提问题发表自己的意见，仅靠一轮调查，专家意见往往比较分散，不易作出结论，而且各专家的意见也容易有某种局限性。为了使受邀的专家们能够了解每一轮咨询的汇总情况和其他专家的意见，组织者要对每一轮咨询的结果进行整理、分析、综合，并在下一轮咨询中匿名反馈给每个受邀专家，以便专家们根据新的调查表进一步的发表意见。经典的特尔菲法一般要经过四轮咨询。反馈是特尔菲法的核心。在每一轮反馈中，每个专家都可以参考别人的意见，冷静地分析其是否有道理，并在没有任何压力的情况下进一步发表自己的意见。多次反馈保证了专家意见的充分性和最终结论的正确性、可靠性。3/24/202313统计性在应用特尔菲法进行信息分析研究时，对研究课题的评价或预测（例如，对研究对象的各项指标及其相对重要性的评价，或是对研究对象的实现时间、条件和手段的估计，等等）不是由信息分析研究人员作出的，也不是由个别专家给出的，而是由一批有关的专家给出的。由此，对诸多专家的回答必须进行统计学处理。所以，应用特尔菲法所得的结果带有统计学的特征，往往以概率的形式出现，它既反映了专家意见的集中程度，又可反映专家意见的离散程度。

为了便于对应答专家意见的统计处理，对调查表的设计中多采用表格化、符号化、数字化。特尔菲法的统计性特点有利于将一般定性问题用定量化方法处理，并以定量结果表述。3/24/202314特尔菲法用途

特尔菲法本质上是建立在诸多专家的知识、经验和主观判断能力的基础上的。特别适用于这样两类课题：①对于缺乏足够原始数据的军事和技术领域的预测，以及需要根据众多因素的影响才能作出评价的军事和技术领域的预测；②对于那些社会、经济、科学技术的发展在很大程度上取决于政策和人为的努力，而不是主要取决于该领域本身的预测。在这些领域，目前还只能用像特尔菲法这样的直观判断方法才能进行评价和预测。3/24/202315特尔斐预测法的基本程序（1）确定预测目标：应是本系统或专业中对发展规划有重大影响而且意见分歧较大课题。（2）成立管理小组：一般2到10多人不等。（3）选择专家：对专家的要求是1）总体的权威程度较高2）代表面广泛3）严格专家的推荐和审定程序4）人数要适当（4）设计评估意见征询表（5）专家征询和轮间信息反馈3/24/2023172.专家意见的统计处理（1）数量和时间答案的处理常用中位数和上、下四分位点的方法。3/24/2023183/24/202319（2）等级比较答案在邀请专家进行安全预测时，常有对某些项目的重要性进行排序的要求。对这种形式的问题，可采取评分法对应答问题进行处理，当要求n项排序时，首先请各位专家对项目按其重要性排序，被评为第一位的给n分，第二位的给n-1分，最后一位给1分，然后按下列公式计算各目标的重要程度：3/24/2023213/24/202322四、时间序列预测法时间序列预测法是将历史资料和数据，按照时间顺序排列成一系列，根据时间序列所反映的经济现象的发展过程、方向和趋势，将时间序列外推或延伸，以预测经济现象未来可能达到的水平。时间序列又称动态序列，它是将某个经济变量的观测值，按时间先后顺序排列所形成的数列。时间可以是周、月、季度或年等。如商场计算销售额是按月排列数据，国家计算国民生产总值是按年度来排列数据的1、滑动平均法2、指数滑动平均法时间序列预测所需的资料主要有哪些？所需资料主要是已经发生的和时间排列有关系的资料。3/24/202323时间序列分析就是根据以上四个要素（T、C、S、E）分析原始销售数列，再结合这些要素来预测未来的销售量，如某汽车销售商今年已销售出12000辆，现在预测明年的销售量。已知年增长趋势为每年递增5％，估计明年的销量为12600（＝12000*1.05）辆。但由于经济下滑，预计销量仅为正常情况下的80％，即10080（＝12600×0.8）辆。如果每月的销量相等的话，那么月平均销售量应为840（=10080÷12）辆。然而，12月份往往是销售高峰，高于其他月份，季节指数为1.4。所以，预计明年12月份的销售量可能达到1176（＝840×1.4）辆。此外还要预计不会发生社会动乱、各种自然灾害或不可抗力等。3/24/202325某百货公司一柜台2003年下半年各月的销售额分别为18、17、19、20、17、19万元，试预测2004年1月份该柜台的销售额。解：用简单算术平均法计算的平均数为：=预测值（吨）（吨）1、算术平均法3/24/2023264、加权移动平均法在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就是加权移动平均法的基本思想。3/24/2023294.指数平滑法

①

一次指数平滑

α为平滑系数。一般时间序列较平稳，α取值可小一些，一般取α∈（0.05,0.3）；若时间序列数据起伏波动比较大，则α应取较大的值，一般取α∈（0.7,0.95）。（3.3.9）（3.3.7）

3/24/202330问题1:正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是y=x2确定性关系问题2:某小麦产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系?一、回归分析小麦产量施肥量气候情况浇水除虫不确定关系五、计量模型预测法3/24/202331自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.定义:相关关系是一种不确定性关系.注:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.3/24/202332相关关系

变量间关系不能用函数关系精确表达一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，即当一个或若干个变量X取一定值时，与之相对应的另一个变量Y的值虽然不确定，但却按某种规律在一定范围内变化。当变量x取某个值时，变量y的取值可能有几个各观测点分布在直线周围

xy3/24/202333相关关系

(几个例子)

相关关系的例子父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系商品的消费量y与居民收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系3/24/202334散点图

(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关3/24/202335相关系数(取值及其意义)

r

的取值范围是[-1,1]|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负相关

r=0，不存在线性

相关关系

-1r<0，为负相关

0<r1，为正相关

|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切3/24/202336相关系数

(取值及其意义)-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加3/24/202337一元线性回归1一元线性回归模型2参数的最小二乘估计3回归直线的拟合优度4显著性检验3/24/202338回归分析的目的:

设法找出变量间的依存(数量)关系,用函数关系式表达出来。样本回归直线:Y=a+bx3/24/202339因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示3/24/202340一元线性相关回归分析预测法，是根据自变量x和因变量y的相关关系，建立x与y的线性关系式，其关系式中求解参数的方法是统计回归分析法，所以x与y的关系式就称回归方程一元线性相关回归方程的一般形式为：

yt＝a＋bxt第t期因变量值回归参数，y轴上的截距第t期自变量值回归参数，回归直线的斜率3/24/202341应用最小平方法求回归方程中的参数，建立预测模型求参数a、b的标准方程为：

∑y＝na＋b∑x∑xy＝a∑x＋b∑x2解得方程为：3/24/202342相关系数r，计算公式3/24/202343

•例1已知身高与体重的资料如下表：例题分析身高（米）1.551.601.651.671.71.751.801.82体重（公斤）5052575660656270试计算：（1）拟合适当的回归方程；

3/24/202344

解答：（1）n=8，经计算得：

因此：3/24/202345一元非线性回归指数函数3/24/202346对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测方法

3/24/202347状态。指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。状态转移过程。事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，称为状态转移。马尔可夫过程。在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。几个基本概念

3/24/202348客观事物可能有u1，u2,……un共n种状态，其每次只能处于一种状态，则每一状态都具有n个转向包括转向自身，即ui→u1，ui→u2,…ui→un，将这种转移的可能性用概率描述,就是状态转移概率状态转移概率有一步转移概率和多步转移概率，其中一次转移概率是最基本的。3/24/202349一步转移矩阵概率

设事物在时间i处于状态ui，在下一个时间i+1转变为状态uｊ的概率为一步转移概率,以Pij表示。在这里,Pij可与它在i时所处的状态ui及i+1时所处的状态uｊ有关,而与i以前的任何历史状态无关，显然：由于事物从任何一个状态ui出发，经过一次转移后，必然达到状态uj中的一个，所以记为

将Pij依顺序排列，就构成一个矩阵，这个矩阵就是一步转移概率矩阵，用P示之.Pij是第i行第j列的元素，表示从状态ui转移到状态uj的概率.且3/24/202350稳定状态概率马尔可夫链达到稳定状态时的状态概率即稳定状态概率它表示处于稳定状态下，预测对象转移到各个状态的概率设P为马尔可夫链的一步转移概率矩阵，如果存在概率量u=(u1，u2…un),使得uP=u，则u为P的固定概率向量，或P的固定点、均衡点.因为uP=u,u(P-I)=0∴（PT-I）uT=0又∵u1+u2+…+un=1则有联立方程：

其解为均衡点u

3/24/202351一、销售状态预测

例一个企业的产品销售状况,必定处于畅销和滞销两种不同状态之一。如果现在(0期)处于畅销状态记为u1则畅销的概率为1,记为,滞销状态记为u2,则滞销的概率为0，记为,状态概率向量P(0)=(1,0),假定根据调查资料整理，发现当它处于u1时，下个月仍处于u1的概率为0.7，转移到u2的概率是0.3，而当它处于u2时，下个月到u1的概率是0.4，仍处于u2的概率是0.6，据此情况，得到销售状态转移概率矩阵：

试计算今后半年各个月的状态概率,并对产品销售状况进行预测3/24/202352

解：由于已知企业的产品在现在（k＝0）的销售状态及状志概率向量，和转移概率矩阵，则未来各月的状态概率可递推：

可见，随着k的增大,畅销趋近于0.571,滞销趋近于0.429即可预测六个月后,该企业产品的畅销的可能性为57.17％3/24/202353二、市场占有率预测

例：有一地区，共有1600户居民，有三个工厂的A产品在该地区销售.经调查,八月份购买甲厂产品的有480户,购买乙厂产品的有320户,购买丙厂产品的有800户,而九月份变化为:原购买甲厂产品的用户有48户转为购买乙厂产品,有96户转为购买丙厂产品:原先购买乙厂产品的用户中有32户转为购买甲厂产品,有64户转为买丙厂产品；原先购买丙厂产品的用户中有64户转为购买甲厂产品,有32户转为购买乙厂产品，结果九月份购买甲厂产品的有432户，购买乙厂产品的有304户,购买丙厂产品的有864户,列表如下

甲乙丙合计甲3364896480乙3222464320丙6432704800合计4323048641600根据资料，利用马尔可夫预测法预测十月份，十一月份，十二月份购买甲乙丙三厂产品的用户数3/24/202354

第一步，根据市场调查，计算初始状态概率及初始状态概率向量

以u1，u2和u3分别表示三个工厂产品的市场销售状态，其销售的市场占有率(状态概率)分别为分别为

480/1600=0.3,320/1600=0.2,800/1600=0.5.则初始状态概率向量P=(0.30.20.5)

第二步，根据市场调查的结果，计算从8月份到9月份市场占有率变化的概率,即一步转移概率矩阵3/24/202355第三步，进行预测

P(1)=P(0)P=(0.270.190.54)P(2)=P(1)P=(0.25120.18160.5672))P(3)=P(2)P=(0.23940.17490.5857)P(4)=P(3)P=(0.23190.16980.5983)则十月份购买甲、乙、丙三厂产品的用户数为甲：1600×0.2512＝402乙：1600×0.1816＝291丙：1600×0.5672＝907同理，可计算11月,12月购三个工厂产品的用户数3/24/202356三、人力资源预测

例：某高校为编制师资发展计划，需要预测未来教师队伍的结构。现对教师状况进行如下分类：青年、中年、老年和流退(流失和退休).根据历史资料，各类教师每年的转移概率矩阵为：

目前青年教师(硕博)400人，中年教师360人,老年教师312人。试分析3年后教师队伍的结构以及为保持编制不变,3年内应进多少硕博毕业生充实队伍?3/24/202357解设目前教师结构为则一年后的教师结构为即流退98人,为保持编制不变,第一年需进98人.此时青年教师为320+98=418人.教师结构为：两年后教师机构为：第二年流退100人,∴第二年需进100名硕博毕业生.则青年教师为334+100=434人.教师机构为：三年后教师机构为：3/24/202358第三年流退100人,∴第三年需进100名硕博毕业生。则青年教师为347+100=447人.教师机构为：综上所述：3年内需要引进硕士和博士毕业生298人。3年后教师机构为：青年教师447名，中年教师298名，老年教师315名。3/24/202359四、期望利润预测

企业在生产经营过程中，获利情况定会伴随着市场状态的变化而变化。从而得到一系列利润值。这一系列利润值是一个随机过程的随机变量，其概率关系由马尔可夫链的概率关系所决定，这就是所谓带利润的马尔可夫链利润矩阵

假设市场状态空间为S={1,2,…n},转移矩阵为P=(Pij)n×n当市场由状态i转移到j时,企业获取的利润为rij(i,j=1,2,…n)，则称由rij构成的n阶方阵R=(rij)n×n为利润矩阵．3/24/202360设Ri(k)是从状态i开始，经过k步转移到各状态所获得的期望利润,记Ri(k)=（R1(ｋ1),R2(ｋ2),…Rn(ｋn)）T.其中，k=0,1,2,…n,并规定R(0)＝０由数学期望的定义知,当k=1时

当k＞1时,Ri(k)等于由状态i开始,经过一步转移到各状态所获得的利润Ri(1)再加上经过一步转移后所到达的各种状态j再经过k-1步转移到达各状态所获得的期望利润Rj(k-1)的数学期望，即：于是3/24/202361

例：已知某企业销售状态转移概率矩阵以及处于各种销售状态的利润矩阵如下：（利润的单位：万元）则P和R构成一个有利润的马尔可夫链，接着可预测:

设Ri为企业现在处于状态i，经过一步转移之后的期望利润则

若企业现在处于状态(i=1),经过一步转移之后的期望利润为R1.则

若企业现处于滞销状态(i=2),经过一步转移之后的期望利润为R2.则

可见:若企业产品现为畅销，下月可望获得期望利润8万元而若其产品现为滞销，下月可望获得期望利润赤字1.2万元

3/24/202362用列向量表示之：

设Ri(k)为现在处于状态i，经过k步转移之后的总期望利润，则：设Ri(0)为基期的利润向量.Ri(1)为经过一次转移后(第一期)的期望利润,P为一步转移概率矩阵,是常量.顺次各步的期望利润可用递推公式续上例：若基期(k=0)处于状态1或处于状态2预测以后各月的总期望利润是多少？假定基期不管处于状态1或状态2，其期望利润均为0，即Ri(0):R1(0)=0,R2(0)=0.Ri(1)为第一期的总期利润:即一步转移后的期望利润Ri：3/24/202363可见:若本期畅销下期可获利8万,若本期滞销,下期将亏1.2万.Ri(2)为第二期总期望利润:即两步转移后的期望利润Ri:同理：

3/24/202364将计算结果列表如下：表x企业产品各月总期望利润及其差额万元月份K开始处于畅销状态开始处于滞销状态利差10000218-1.29.203211.43.128.284315.266.8888.3725419.07410.71128.36286522.892614.528888.363727626.7107418.3471128.363628

可见:开始处于畅销状态时,一个月后可获利8万；开始处于滞销状态,一个月后亏损1.2万.开始处于畅销状态,6个月可获利26.71万；开始处于滞销状态,6个月可获利18.35万。当k增大，即随着时间的推移，两者的差额逐渐稳定R1(k)→R2(k)→8.36万元，趋近于一个长数3/24/202365五、项目选址预测某汽车维修公司在合肥有A、B和C3个维修厂。由于公司注重对员工技术的提高，树立顾客至上、信誉第一的理念,采用先进的管理模式,∴公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。客户的调查显示，客户在A、B和C3个维修厂之间的转移概率为：由于资金的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析应选择哪一个维修厂。3/24/202366解解线性方程组：即得惟一解：可见:长期趋势表明当客户在3个维修厂之间的转移达到均衡状态时,大约有50%的客户在A厂维修所以：应选择A厂进行项目投资3/24/202367六、最佳经营策略选择预测某地区销售的鲜牛奶是由3个厂家提供的。该地区客户总数为100万户,假定厂家从每个客户那里每年平均获利50万元.厂家2的市场调查显示，状态转移概率矩阵为：

当K的逐步增大稳定状态下向量得到固定点即均衡状态下的市场占有率分别为50%、25%和25%3/24/202368依据均衡状态下的市场占有率，厂家认为应采取积极的营销策略，提高自己的市场占有率,为此设计了两套方案:方案一

旨在吸引老客户,实施之需花费450万元，并估计转移概率矩阵为：方案二

旨在吸引厂家1和厂家2的客户,实施之需花费400万元并估计转移概率矩阵为：试选择最佳方案3/24/202369方案一，显然解：的所有元素都大于0，所以P1为正规矩阵。故P有惟一的固定点

解线性方程组:即得惟一解因此，当市场达到均衡状态时，厂家2的市场占有率达到44%，比原来增加了19个百分点，由此带来的利润为：方案一的净利润为950-450=500万元。同理方案二的净利润为450万元。可见应选择方案一。3/24/202370灰

色预测理论

一、灰色预测的概念

（1）灰色系统、白色系统和黑色系统

白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。回总目录回本章目录黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。3/24/202371

灰色预测法是一种对含有不确定因素的系

统进行预测的方法。灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定

信息的系统进行预则，就是对在一定范围内

变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。

（2）灰色预测法回总目录回本章目录3/24/202372累加累加是将原始序列通过累加得到生成列。

灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。

（1）数据处理方式将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成列。3/24/202373记原始时间序列为：生成列为：上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：回总目录回本章目录3/24/202374累减

将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列

累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原为非生成列，在建模中获得增量信息。一次累减的公式为：3/24/202375三、关联度

关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。（1）关联系数设则比较数列对参考数列的关联系数定义为：3/24/202376式中：

第k个点ρ称为分辨率，0<ρ<1,一般取ρ=0.5；ρ越大,分辨率越小.ρ越小,分辨率越大.对单位不一致，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。的绝对误差；

和为两级最小差；

为两级最大差；

3/24/202377（2）关联度和的关联度为：回总目录回本章目录3/24/202378一个计算关联度的例子

工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下：

工业农业运输业商业参考序列分别为

，被比较序列为

,试求关联度。

3/24/202379解答：以为参考序列求关联度。

第一步：初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。得到：3/24/202380第二步：求序列差第三步：求两极差回总目录回本章目录3/24/202381第四步：计算关联系数

取ρ=0.5，有：

从而：

3/24/202382第五步：求关联度

计算结果表明，运输业和工业的关联程度大于农业、商业和工业的关联程度。

为参考序列时，计算类似，这里略去。回总目录回本章目录3/24/202383GM(1,1)模型一、GM（1，1）模型的建立

设时间序列有n