现代交通流理论课件

第四章现代交通流理论4.1概述4.2交通流特性的统计分布4.3排队论及其应用4.4跟车理论4.1概述何为交通流理论？

——运用物理学和数学的定律来描述交通特性的一门边缘学科，是交通工程学的基础理论。何为现代交通流理论

——以先进的车辆系统和智能高速道路概念为背景，形成的交通流新认识与理论。研究交通流理论的意义

——把握交通流运动机理与规律，科学分析交通设施设计效果与运营管理系统基本概念离散型分布

泊松分布二项分布

负二项分布

拟合优度检验——2检验连续型分布负指数分布

移位负指数分布

韦布尔分布4.2交通流特性的统计分布基本概念1）交通流分布：交通流的到达特性或在物理空间上的存在特性；2）离散型分布（也称计数分布）：在一段固定长度的时间内到达某场所的交通数量的波动性；3）连续型分布（时间间隔分布、速度分布等）：在一段固定长度的时间内到达某场所交通的间隔时间的统计分布；4）研究交通分布的意义：预测交通流的到达规律（到达数及到达时间间隔），为确定设施规模、信号配时、安全对策提供依据

4.2交通流特性的统计分布离散型分布

在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，用离散型分布描述这类随机变数的统计规律。1）泊松分布：——基本假定：车辆（或人）的到达是随机的，相互间的影响微弱，也不受外界因素干扰，具体表现在交通流密度不大；——基本模型：计数间隔t内到达k辆车的概率

Pk=(t)ke-t/k!=(m)ke-m/k!

：平均到达率（辆或人/秒）

m：在计数间隔t内平均到达的车辆或人数，也称为泊松分布参数——几种不同情况的概率到达数小于k辆车的概率：到达数小于等于k的概率：到达数大于k辆车的概率：到达数大于等于k辆车的概率：例1：设60辆车随即分布在4km长的道路上，求任意400m路段上有4辆及4辆车以上的概率。解：把公式中的t理解为计算车辆数的空间间隔，则本例在空间上的分布服从泊松分布

Pk=(t)ke-t/k!=(m)ke-m/k!P0=e-m,Pk+1=mPk/k+1

t=400m，

=60/4000(辆/米)，m=t=6辆，P0=60×e-6÷0!=0.0025P1=6÷1×p0=0.0149

P2=6÷2×p1=0.0446

P3=6÷3×p2=0.0892不足４辆车的概率为：Ｐ（＜４）＝

４辆及4辆以上的概率为：P（≥4）=1-Ｐ（＜４）＝0.8488例2：某信号灯交叉口的周期T＝97s，有效绿灯时间g=44s，在有效绿灯时间内排队的车流以s＝900辆/h的流率通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率q=369辆/h，服从泊松分布，求使到达车辆不致两次排队的周期占周期总数的最大百分率。解：由于车流只能在有效绿灯事件内通过，所以一个周期能通过的最大车辆数A=gs=44×900/3600=11辆，如果某周期到达的车辆数N大于11辆，则最后到达的（N-11）辆车就不能在本周期内通过而发生两次排队。在泊松分布公式中，

查累积的泊松分布表可得到达车辆大于11辆的周期出现的概率为：P(>11)=0.29即不发生两次排队的周期最多占71%。离散型分布2）二项分布：——递推公式：由参数n及数量k和p可递推出Pk+1

；——分布的均值与方差分别为：M=np,D=np(1-p)。——运用模型时的留意点：1、D<M区别于柏松分布的显著特征2、基于观测数据可估计出M,D,由此反求出分布参数p

和n；

例：在某条公路上，上午高峰期间，以15秒间隔观测到达车辆数，得到的结果列入下表，试用二项分布拟合之。车辆到达数ni<33456789101112>12包含ni的间隔出现的次数03081011101191103）负二项分布基本假定：到达量波动大的车流。基本公式递推公式令：，则递推公式为：拟合优度检验——2检验1）检验的目的：——确定分布类型：泊松分布、二项分布、其他分布及其参数；2）2检验的基本原理（数理统计理论）——建立原假设H0：随机变量x服从给定的概率分布；——选择适宜的统计变量；——确定统计量临界值；(P66表）——下统计检验结论比较的计算值与临界值：若，则接受H0；若，则不接受H0

在应用检验法时应注意：①样本容量N应较大；②分组应连续，各组的值应较小，意味着分组数g应较大；③各组内的理论频数统计量的自由度DF⑤置信水平的取值：通常取0.05分布qDF泊松分布二项分布负二项分布122g-2g-3g-3常用离散型分布的约束数q及DF例：在某大桥引桥上以30秒为间隔对一个方向的车流到达数作连续观测，得到232个观测之，列于P67表（4.2.3）（以表上角按行从左到右为时序）。试求其统计分布并检验之。解：按各到达数出现的频数，把表（4.2.3）整理成表（4.2.4）的第一、第二列。算出样本均值m和方差s2为m=5.254,s2=6.753从s2与m的比值看，用负二项分布或泊松分布做拟合可能是合适的。若用泊松分布做拟合，分布参数t=m=5.254。若用负二项分布做拟合，可算出它的两个参数为：p=m/s2=0.78,

=m2/(s2-m)=37.83.用递推公式可分别算出这两种分布各到达数出现的频数，列于表（4.2.4)的第三、四列。

4.2交通流特性的统计分布连续型分布

基本概念：描述车头时距分布规律的分布为交通流连续型分布。1）负指数分布

(1)基本假定：存在充分超车机会的单列交通流与密度不大的多列车流的车头时距分布可采用负指数分布，常与计数的泊松分布相对应。

(2)基本模型：车流平均到达率为（辆/秒）时，到达的车头时距h

大于

t

秒的概率为

P(h>t)

=(t)0e-t/0!=

e-t

=

exp(-Qt/3600)4.2交通流特性的统计分布连续型分布——负指数分布(续)

(3)负指数分布在应用中的局限性：

P(t)0.51.01.52.0t负指数分布概率密度p(t)=d[1-P(h>t)]/dt=e-t车头时距越小出现的概率越大？

4.2交通流特性的统计分布连续型分布——负指数分布(续)

(4)负指数分布的应用

主干道优先次干道优先停让计算次干道通行能力4.2

交通流特性的统计分布连续型分布——移位负指数分布(续)

(4)移位负指数分布的局限性：

P(t)0.51.01.52.0t车头时距越接近于出现的可能性越大？

连续型分布3）韦布尔分布

(1)基本假定：一般场合的车头时距与速度分布；

(2)基本模型：到达的车头时距h

大于

t

秒的概率为式中，，为分布参数，取正值且>。

为起点参数，

为形状参数，=1,=0

为尺度参数。显而易见，负指数分布和移位负指数分布是韦布尔分布的特例。（试证明）4.3排队论及其应用1）简述是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论；应用于交通延误、通行能力、交通信号配时、停车场、收费站、加油站等交通设施的设计与管理分析，方案制定等。

2）排队论的基本原理及应用

(1)基本概念

排队：单指等待服务的，不包括正在服务的,排队系统，则包括两者排队系统的三个组成部分排队系统输入过程排队规则服务方式定长输入(D)泊松输入(M)爱尔朗输入(Ek)损失制等待制混合制定长分布(D)负指数分布(M)爱尔朗分布(Ek)“顾客”的到达规律遇排队自动消失按序及优先制两种的结合服务台数及每顾客服务时间顾客按怎样的次序接受服务

4.3排队论及其应用2）排队论的基本原理及应用(1)基本概念

排队系统的主要数量指标——等待时间：到达时起至开始接受服务的期间；——忙期：服务台连续繁忙的时期；——队长：有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，用来衡量排队系统的服务水平。4.3排队论及其应用2）排队论的基本原理及应用

(2)基本模型

排队系统的表现：——M代表泊松分布或负指数分布；——D代表定长输入或定长分布；——Ek代表爱尔朗分布的输入或服务排队系统一般表现为：输入/服务/服务台M/M/N,M/D/1,D/M/N,Ek/D/N……4.3排队论及其应用2）排队论的基本原理及应用M/M/1（单通道服务）系统的计算公式——基本参数：平均到达率（辆/秒）；到达的平均时距1/（秒）；平均服务率（辆/秒）；平均服务时间1/

；交通强度(利用系数)=/

——状态判断：

<1，排队系统的顾客数不出现排队，排队消散的条件为<

；1排队长度将会变长4.3排队论及其应用2）排队论的基本原理及应用排队系统的表现：M/M/1（单通道服务）系统的计算公式——基本参数：——状态判断：——基本状态：系统中没有顾客的概率P0=1-系统中有n个顾客的概率Pn=n(1-)系统中的平均顾客数n=/(1-)，系统中顾客数的方差=/(1-)2

增加排队车辆数增加，当约为0.8时，平均排队长度快速增加，而系统状态的变动范围和频度增长更快，即不稳定因素迅速增长，服务水平迅速下降。n0.80.84.3排队论及其应用2）排队论的基本原理及应用(2)基本模型

排队系统的表现：M/M/1（单通道服务）系统的计算公式——基本状态：平均排队长度q=2/(1-)=n-非零排队长度qw=1/(1-)系统中的平均消耗时间d=1/(-)=n/排队中的平均等待时间w=/(-

)=d-1/例1：某条道路上设一调查统计点，车辆到达该点是随机的，单向车流量为800辆/小时。所有车辆到达该点要求停车领取O-D调查卡片，假设工作人员平均能在4秒钟内处理一辆汽车，符合负指数分布。试估计在该点上排队系统中的平均车辆数、平均排队长度、非零平均排队长度、排队系统中的平均消耗时间以及排队中的平均等待时间。解：这是一个M/M/1排队系统。平均到达率：平均服务率：所以系统是稳定的。系统中的平均车辆数：平均排队长度非零平均排队长度系统中的平均消耗时间排队中的平均等待时间

例：2今有一停车场，到达车辆数是60辆/小时，停车场服务能力为100辆/小时，其单一的出入道可存6辆车，问该数量是否合适？解：这是一个M/M/1排队系统。所以系统是稳定的。因为出入道存车量为6辆，如果存车量超过6辆概率很小，则该数量为合适，否则，不合适。P0=1-=1-O.6=O.4,P1=

1(1-)=0.24…P6=6(1-)=0.02P(>6)=1-P(≤6)=1=0.97=O.O3;概率很小,所以数量合适.3、M/M/N系统的计算公式——车辆平均到达率——到达的平均时距——排队从每个服务台接受服务后的平均输出率——平均服务时间

——交通强度或利用系数系统稳定系统不稳定系统中没有车辆的概率：系统中有k辆车的概率：系统中的平均车辆数：平均排队长度：平均消耗时间：平均等待时间：例3：一加油站，今有2400辆/小时的车流量通过4个通道引向四个加油泵，平均每辆车加油时间为5秒，服从负指数分布，试分别按M/M/4系统和四个相同的M/M/1系统计算各相应指标并比较之。(书78)解1）按四个平行的M/M/1系统计算

根据题意，每个油泵有它各自的排队车道，排队车辆不能从一个车辆换到另一个车道上去。把总车流辆四等分，就是引向每个油泵的车流量，于是对每个油泵：

而对于四个油泵构成的系统：按M/M/4系统计算

4.4跟车理论4.4.1引言

何为跟车理论：运用动力学方法，探究在无法超车的单一车道上车队列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态，并用数学模式表达加以分析阐明的一种理论。研究的目的：试图通过观察各个车辆逐一跟驶的方式来了解单车道交通流的特性。用途：用来检验管理技术和通讯技术，以便使尾撞事故减到最低限度。4.4跟车理论（续）4.4.2车辆跟驶特性分析

非自由流行驶状态：高密度状态的车流，车间距不大，车队中任一车辆都受到前车速度的制约，司机只能按前车所提供的信息采用相应的车速。智能车辆的交通流前后车辆可以实现通信。非自由行驶状态的车队特性：制约性：（1）紧随要求：司机不愿落后很多；（2）车速条件：后车在前车车速附近摆动；（3）间距条件：前后车之间必须保持一个安全距离4.4跟车理论（续）4.4.2车辆跟驶特性分析（续）

延迟性：后车对前车运行状态的改变有一个反应过程：感觉-认识-判断-执行（四个阶段所需要的时间称为反应时间），若反应时间为T，前车在t时刻的动作，后车要经过（t+T）时刻才能做出动作。传递性：第n辆车制约着第（n+1）辆车的运行状态的特性。由于传递性具有延迟性，所以，信息沿车队向后传递是间断连续的。4.4跟车理论（续）4.4.3线性跟车模型

模型的建立：描述跟车的刺激反应现象。（1）关于刺激与反应：前导车的加速或减速，以及随之发生的两车之间的速度差和车间距离的变化；反应为后车所做的加速或减速动作及其实际效果。（2）建模条件：两车间距s(t)（行驶中前导车刹车时，后车可不撞车停下的间距）；反应时间T内后车车速不变；后车及前导车在减速期间行驶的距离相等。（3）基本模型：S(t)=d1+L=Txn+1(t+T)+L.n+1nn+1n+1ns(t)xn+1(t)xn(t)d1d2Ld3前车开始减速的位置时刻t两车的位置后车开始减速的位置完全刹车后两车的位置4.4.3线性跟车模型

模型的建立：（4）反应与敏感度及刺激的关系，对(3)式微分得

xn

(t)-xn+1(t+T)=Txn+1(t+T)xn+1(t+T)=1/T[xn(t)-xn+1(t+T)]

反应=敏感度*刺激

考虑变速过程中两车行驶距离可能不相等等一般场合

xn+1(t+T)=[xn

(t)-xn+1(t+T)]

为反应强度系数，量纲为秒-1，不应理解为敏感度，而应看成与驾驶员动作的强弱程度直接相关..............4.4跟车理论（续）4.4.3线性跟车模型

模型的的稳定性解二阶微分方程，可用公式C=T表征稳定性。（1）局部稳定：前后两车速度近似相等，车间距离大体保持一常数；

随着c值的增加，车间距逐渐成为不稳定。说明，如果对早就出现的刺激（反应时间T长）,或反应太强烈，使情况可能会偏向错误的方向。4.4跟车理论（续）4.4.3线性跟车模型

模型的的稳定性（2）渐进稳定：前车速度向其后各车传播的特性，如速度变化的振幅在传播中扩大了，叫不稳定；若逐渐衰减，则叫稳定。

研究表明：当一列行驶车辆仅当c<0.5时，才是逐渐稳定的；当c>0.5时，将以大波动幅度传播，增加了车辆间的干扰；当干扰的幅度增加到小于一个车长时，尾撞事故即将发生。.4.4跟车理论（续）4.4.4跟车模型与车流模型

车流模型的再认识（1）车流模型是指在稳定的车流中，流、密、速之间的相依关系；（2）根据跟车模型可以推导出各种速-密模型。对方程：xn+1(t+T)=[xn

(t)-xn+1(t+T)]积分得

xn+1(t+T)=[xn

(t)-xn+1(t+T)]+c车队处于稳定状态时：xn+1(t+T)=xn+1(t)

.......4.4跟车理论（续）4.4.4跟车模型与车流模型因此，前式可化为：u=s+c,令k=1/s，则k就是车流密度，利用边界条件可求得和c.推导:当u=0时，车队的密度为拥塞密度kj，于是0=a/kj+c,c=-a/kj

式变成u=a(1/k-1/kj)且q=uk=a(1-k/kj).又因k=0时，由上式知q达到最大值qm,即a=qm得到车流模型为：u=qm(1/k-1/kj)q=qm(1-k/kj)

注意线性跟车模型的缺陷（可由对应的车流模型中推出），其原因是该模型的假定。根源在于它假定后随车的跟驶反映只依赖于它与前导车的速度差，而与两车的间距及后车本身的速度无关。跟车模型的推广

....4.4流体动力学模拟理论4.4.1引言运用流体动力学的原理，又称车流波动理论；模拟对比表4.4流体动力学模拟理论4.4.2车流连续方程守恒定律：流入量-流出量=某路段车辆数的变化；k/t+q/x=0表明：当车流辆随距离而降低时，车流密度则随时间