直线倾斜角与斜率

坐标法与解析几何在几何问题中，我们常常直接依据几何图形中点、线、，面的关系研究几何图形的性质。现在，我们采用另一种研究方法：坐标法。坐标法是以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。第一页，共14页。第一页，共14页。直线的倾斜角与斜率第二页，共14页。第二页，共14页。思考：过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里？如何描述直线的倾斜程度？x.pyO第三页，共14页。第三页，共14页。poyxypoxpoyxpoyx特别地,当与x轴平行或重合时,规定倾斜角为0°倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.参考定义：一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角，叫做直线的倾斜角.第四页，共14页。第四页，共14页。升高前进坡度=升高量前进量直线的斜率定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即k=tanα意义：直线的斜率反映了直线对x轴的倾斜程度倾斜角是90°的直线没有斜率(why?)第五页，共14页。第五页，共14页。x.pyOx.pyOx.pyOx.pyOoo探究：斜率的变化与范围第六页，共14页。第六页，共14页。锐角探究：由两点确定的直线的斜率钝角第七页，共14页。第七页，共14页。xyoyox1、当P1，P2的位置对调时，k值又如何呢？变化：2、当直线平行于x轴或与x轴重合时，公式还适用吗？3、当直线平行于y轴或与y轴重合时，公式还适用吗？第八页，共14页。第八页，共14页。直线的斜率公式当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；k与P1、P2的顺序无关；以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；求直线的倾斜角，可由直线上两点的坐标先求斜率得到．第九页，共14页。第九页，共14页。练习：倾斜角与斜率下列图中标出的直线的倾斜角对不对？xyoxyoxyoxyo（1）（2）（3）（4）判断正误：①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα②直线的斜率为tanα，则它的倾斜角为α③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有斜率④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大第十页，共14页。第十页，共14页。练习：斜率与倾斜角已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1)，求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.课本P86练习1，2，3直线l1、l２、l３的斜率分别是k1、k２、k３，试比较斜率的大小Oxy由此题结果，你得到什么猜想？l1l２l３第十一页，共14页。第十一页，共14页。练习：取值范围问题已知P(2,1),Q(m,2)，求直线PQ的斜率和倾斜角α的取值范围.已知A(a,2),B(3,-1),当AB倾斜角为钝角时，求a的范围注意斜率不存在的情况第十二页，共14页。第十二页，共14页。练习：取值范围问题已知直线l经过P(-1,2)且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.过点P(2,－1)作直线l与线段AB有公共点，A(－3,4)，B(3,2)，求直线l的斜率k的范围.数形结合练习：三点共线问题证明：三点A(1,-1),B(4,-2),C(-2,0)共线.已知A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上，求a的值.三点A，B，C，若kAB=kAC，则三点共线.到目前为止，有多少种