2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程222椭圆几何性质(第1课时)椭圆几何性质学案

第1课时椭圆的几何性质学习目标1.掌握椭圆的几何性质，认识椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决有关问题．知识点一椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2y2>>0)y222＋2＝1(2＋x2＝1(>>0)abababab图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性对于x轴、y轴轴对称，对于坐标原点中心对称121121，A(－a,0)，A(a,0)，B(0，－b)，A(0，－a)，A(0，a)，B(－b,0)极点坐标B2(0，b)B2(b,0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a长轴、短轴长轴AA长为2a，短轴BB长为2b1212知识点二椭圆的离心率c1．椭圆的焦距与长轴长的比e＝a称为椭圆的离心率．2．由于a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e越近于1时，椭圆越扁，当e越近于0时，椭圆越圆．x2y2＝1(a>b>0)的长轴长是a.(1．椭圆a2＋b2×)2．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)x2y23．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为25＋16＝1.(×)x2y24．设F为椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(√)题型一椭圆的几何性质例1求椭圆22＋422＝1(＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、极点坐标和离心率．mxmymx2y2解由已知得1＋1＝1(m＞0)，22m4m20＜m＜4m，11∴2＞2，m4m1∴椭圆的焦点在x轴上，而且长半轴长a＝，1c＝3短半轴长＝，半焦距，b2m2m∴椭圆的长轴长212a＝，短轴长2b＝，mm焦点坐标为－23，23，0，，0mm极点坐标为11，0，1，0，1，，0，－0，－2mmm2m3c23离心率e＝a＝1＝2.m反省感悟从椭圆的标准方程出发，分清其焦点地点，而后再写出相应的性质．x2y2追踪训练1已知椭圆C1：100＋64＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解(1)由椭圆C：x2y210，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，＋6413(－6,0)，离心率e＝5.椭圆C2：y2＋x2＝1.性质以下：10064①范围：－8≤

x≤8，－10≤

y≤10；②对称性：对于

x轴、y轴、原点对称；③极点：长轴端点(0,10)

，(0，－10)，短轴端点

(－8,0)

，(8,0)

；④焦点：

(0,6)

，(0，－6)；⑤离心率：3e＝

5

.题型二椭圆几何性质的简单应用命题角度1依照椭圆的几何性质求标准方程例2求知足以下各条件的椭圆的标准方程．1已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为2，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点构成一个正三角形，且焦点到同侧极点的距离为3.解(1)由题意知，2c＝8，c＝4，c41∴e＝a＝a＝2，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，y2x2∴椭圆的标准方程是64＋48＝1.a＝2c，由已知得a－c＝

3，∴

a＝23，

从而

b2＝9，c＝

3.x2

y2

x2

y2∴所求椭圆的标准方程为

12＋9＝1或9＋12＝1.反省感悟

在求椭圆方程时，要注意依据题目条件判断焦点所在的坐标轴，

从而确立方程的形式；若不可以确立焦点所在的坐标轴，则应进行议论，而后列方程

(组)确立

a，b.追踪训练2依据以下条件，求中心在原点，对称轴在座标轴上的椭圆的标准方程：长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两头点连线相互垂直，且半焦距为6.22解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为x2＋y2＝1(>>0)．abab2b＝a，a＝237，依题意有436解得37，a2＋2＝1，b＝bx2y2∴椭圆的标准方程为148＋37＝1.相同地可求出当焦点在y轴上时，x2y2椭圆的标准方程为13＋52＝1.x2y2x2y2故所求椭圆的标准方程为148＋37＝1或13＋52＝1.b＝c，∴b＝c＝6，∴a2＝b2＋c2＝72，(2)依题意有c＝6，x2y2∴所求椭圆的标准方程为72＋36＝1.命题角度2最值问题例3椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝3P0，3，已知点到椭圆上的22点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．x2y2解设所求椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．ba2－c221∵a＝a2＝1－e＝2，∴a＝2b.x2y2∴椭圆方程为4b2＋b2＝1.3设椭圆上点M(x，y)到点P0，2的距离为d，222322y29则d＝x＋y－2＝4b1－b2＋y－3y＋41＝－3y＋22＋4b2＋3，12令f(y)＝－3y＋2＋4b＋3.11当－b≤－2，即b≥2时，212dmax＝f－2＝4b＋3＝7，x22解得b＝1，∴椭圆方程为4＋y＝1.112(2)当－2<－b，即0<b<2时，dmax＝f(－b)＝7，解得＝3117－>，与<矛盾．b22b2综上所述，所求椭圆方程为x22＋y＝1.4反省感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能显然表现几何特点及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的重点是能够正确剖析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；代数法：若题目的条件和结论能表现一种明确的函数，则可第一成立起目标函数，再根据函数式的特点采用适合的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、鉴别式法、重要不等式法及函数的单一性法等．追踪训练3已知点1，2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，FF→→的最小值是()那么|PF1＋PF2|A．0B．1C．2D．22答案C→－x0，－y0)，分析设P(x0，y0)，则PF1＝(－1→→→)，0200120→→22∴|PF1＋PF2|＝4x0＋4y0222－2y0＋y020∵点P在椭圆上，∴20≤y0≤1，2→→|取最小值2.应选C.∴当y0＝1时，|PF1＋PF2题型三求椭圆的离心率例4设椭圆的左、右焦点分别为1，2，过1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△12FFFPFPF为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．x2y2解设椭圆方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)．∵F1(－c,0)，∴P(－c，yp)，代入椭圆方程得2y2b4cp22，2＋2＝1，∴yp＝abab2b2∴|PF1|＝a＝|F1F2|，即a＝2c，22a－c∴e2＋2e－1＝0，又0＜e＜1，∴e＝2－1.反省感悟求解椭圆的离心率，其实质就是建立a，b，c之间的关系式，再联合b2＝a2－c2，从而获得a，c之间的关系式，从而确立其离心率．x2y2追踪训练4设椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()3113A.6B.3C.2D.3答案Dc2c分析由题意可设|PF2|＝m，联合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝a＝2a＝|FF|3m312＝＝.|PF1|＋|PF2|2m＋m3椭圆几何性质的应用典例神舟五号飞船成功达成了第一次载人航天飞翔，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运转的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，以下图．假定航天员到地球的近来距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，此中心在神舟飞船运转轨道的此外一个焦点上，

上边住着一个仙人发射某种神奇信号，

需要飞翔中的航天员中转后地球人材能接收到，则传递神奇信号的最短距离为

(

)A．1＋2＋RB．2－1＋2ddddRC．2＋1－2RD．1＋2dddd考点椭圆的简单几何性质题点椭圆的极点、焦点、长短轴、对称性答案Dx2y2分析

设椭圆的方程为

a2＋b2＝1(a>b>0)，半焦距为

c，两焦点分别为

F1，F2，飞翔中的航天d1＋R＝a－c，员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传递神奇信号的最短距离为d2＋R＝a＋c，|PF1|

＋|

PF2|

－2R＝2a－2R＝d1＋d2.[修养评析

]

将太空中的轨迹与学过的椭圆成立起对应关系．

利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考察了学生运用所学知识解决实质问题的能力

.1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )x2y22y2A.＋＝1B．x＋＝1246x22x2y2C.6＋y＝1D.8＋5＝1答案B分析由已知得c＝5，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，y22故椭圆的标准方程为6＋x＝1.2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )1321A.3B.3C.2D.2答案B分析22x2y2由2x＋3y＝m(m>0)，得＋＝1，mm232mmm213∴c＝2－3＝6，∴e＝3，∴e＝3.3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )4321A.5B.5C.5D.5答案B分析由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，e＝3或e＝－1(舍去)．54．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．答案[4－23，4＋23]分析由于点(，)在椭圆822＝24上，即在椭圆x2y2)知足椭x＋3y＋＝1上，所以点(，mn38mn圆的范围|x|≤3，|y|≤22，所以|m|≤3，即－3≤m≤3，所以2m＋4∈[4－23，4＋23]．5．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个极点是(0,13)，另一个极点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案(0，±69)分析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．1．能够应用椭圆的定义和方程，把几何问题转变为代数问题，再联合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系密切，所以，波及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论办理．2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中常常将|PF1|·|PF2|当作一个整体灵巧应用．3．利用正弦、余弦定理办理△PF1F2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.一、选择题1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率挨次是( )A．7,235B．14,435，7，7C．7,2，5D．14,4，577答案Bx2y2分析先将椭圆方程化为标准形式49＋4＝1，此中b＝2，a＝7，c＝35.2.如图，直线l：－2＋2＝0过椭圆的左焦点F和一个极点，则椭圆的离心率为( )112A.5B.5525C.5D.5答案D1b1分析∵x－2y＋2＝0，∴y＝2x＋1，∴c＝2，a2－c21a25c25c2＝2，∴c2＝4，a＝5.3．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为()x2y2x2y2A.36＋16＝1B.16＋36＝1x2y2y2x2C.6＋4＝1D.6＋4＝1答案A分析依题意得c＝25，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.22的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为()4．椭圆x＋my＝11A.2B.4C．2D．4考点由椭圆的简单几何性质求方程题点由椭圆的几何性质求参数答案B分析椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，短半轴长为1，长轴长是短轴长的2倍，故1＝m12，解得m＝4.x2y225．若椭圆k＋8＋9＝1的离心率为3，则k的值为()41A.5B．－341或－341C.D．－3或53答案C分析若焦点在x轴上，则9225＝1－3＝，k＋89k＝41；5若焦点在y轴上，则k＋859＝，∴k＝－3，应选C.9x2y216．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，离心率e＝2，则椭圆方程为()x2y2x22A.16＋12＝1B.4＋y＝1x2y2x2y2C.4＋3＝1D.3＋4＝1答案C分析1212x2y2由于|FF|＝2，离心率e＝2，所以c＝1，a＝2，所以b＝3，即椭圆方程为4＋3＝1.x2y2>>0)的左焦点1作x轴的垂线交椭圆于点，2为右焦点，若∠7．过椭圆2＋2＝1(12ababFPFFPF＝60°，则椭圆的离心率为( )311A.2B.3C.2D.3答案B分析由题意得，点P的坐标为－c，b2或－c，－b2，aa2c＝3，122由于∠FPF＝60°，所以ba即2ac＝3b2＝3(a2－c2)，23所以3e＋2e－3＝0，解得e＝3或e＝－3(舍去)．8．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰巧经过椭圆中心而且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B．2－32D.3C.22考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案A分析∵过1的直线1是圆2的切线，FMFF∴∠12＝90°，|2|＝，∵|12|＝2c，FMFMFcFF∴|MF1|＝3c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a，∴椭圆离心率e＝2＝3－1＋31.二、填空题2239．若椭圆x＋my＝1的离心率为2，则m＝________.1答案4或42y2分析方程化为x＋1＝1，则有m>0且m≠1.m111－m3，解得m＝4；当<1时，依题意有1＝2m1当1>1时，依题意有－1＝1m＝3，解得.m12m4m1综上，m＝4或4.10．已知椭圆C的上，下极点分别为B1，B2，左，右焦点分别为F1，F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则此椭圆的离心率e＝________.2答案2分析由于四边形B1F1B2F2是正方形，所以b＝c，2222c2所以a＝b＋c＝2c，所以e＝a＝2.11．若椭圆x2y2＝1的焦点在122的切线，切点分别为A，B，2＋2x轴上，过点1，作圆x＋y＝1ab2直线AB恰巧经过椭圆的右焦点和上极点，则椭圆的方程是____________．答案x2＋y2＝154分析∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为A(1,0)，即c＝1.1OP1AB设P2，则k＝2，∵OP⊥AB，∴k＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为x2＋y2＝1.54三、解答题22312．已知椭圆x＋(m＋3)y＝m(m>0)的离心率e＝2，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、极点坐标．解椭圆方程可化为x2＋y2＝1，m>0.mmm＋3∵－m＝mm＋>0，∴>m，mm＋3m＋3mm＋322m22mm＋∴a＝m，b＝m＋3，c＝a－b＝m＋3.3m＋23由e＝2，得m＋3＝2，∴m＝1.22y∴椭圆的标准方程为x＋＝1，43a＝1，b＝2，c＝2.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2＝2和2＝1，焦点坐标为13，23，四22个极点的坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－1，B20，1.2213.如图，焦点在xx2y2的离心率1A分别是椭圆的一个焦点和顶轴上的椭圆＋2＝1＝，，4be2F点，P是椭圆上随意一点，求→·→的最大值和最小值．PFPA解设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，e＝c＝1，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.a2x2y2所求椭圆方程为＋＝1.43∴－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.→又F(－1,0)，A(2,0)，PF＝(－1－x0，－y0)