《高等数学(工专)》点题预测试题精讲

自学考试《高等数学（工专）》点题预测班一、开班宗旨：①通过我们的分析和准确的预测，让考生了解考试规律，把握命题方向； ②在考前冲刺阶段，帮助考生熟悉高频考点，掌握解题方法和应试技巧；说明：下面讲解的所有考点，都是考试中的高频考点，我们精心进行考题预测，需要注意的是，这些知识点在具体的考试中，也同样有可能通过其他题型考查，考生学习中要做到举一反三、融会贯通。二、点题预测一、单项选择题：1、[预测考点]：函数定义域的求法与函数的有界性。预测题1：函数（是常数且）的定义域是（）A．（2，+∞） B．（-∞，2）（2，+∞）C．（-∞，-2）（2，+∞） D．（-∞，-2）【答案】C 【解析】本题考查了函数定义域的求法。要使函数有意义，需满足，于是或，故本题选C。【点评】本考点一般出现在选择题或填空题的第一小题，记住函数定义域的求法是关键。预测题2：下列函数中在所给区间上是无界函数的为（）A． B．C． D．【答案】B 【解析】由于时，，，时，，故选项A，C，D中的函数在所给区间上是有界函数，它们在相应区间内的图像都能被两条水平直线夹在中间，而B中的函数在中的图像是向上无限延伸的而趋于无穷大（即），故在内是无界函数，本题选B。【点评】本题考查了函数的有界性的判断，我们需要牢记函数有界性的含义以及常见函数的图形，这样做起题来比较快。预测题3：函数y=在（0，+）内是（）A.有界函数 B.无界函数C.常量 D.无穷大量【答案】A【解析】本题考查了有界函数、常量、无穷大量等概念。首先排除C,D。因为函数y=在（0，+）内随x的变化而变化，并非常量。而无穷大量必须伴随着自变量的某种趋向。函数在相应区间是有界的还是无界的，就要看y在这个区间内的取值，由于在（0，+），y=，所以是有界的。选A。【点评】要记得基本初等函数的函数图像，看在某区间内有界还是无界，还可以看在该区间内函数图像能否被两条水平的直线夹住，若可以则有界，否则无界。所有的反三角函数，sin()，cos()等都是有界函数。本题涉及内容是考试的热点，大部分出现在选择题中。2、[预测考点]：函数与函数值的求法预测题1：若,则f(x)=（）A. B.C.(1+x)2 D.(1-x)2【答案】C【解析】本题考查了函数表达式的求法。这类题有两种解法。1.，将换成x即得答案C。2.设，代入，得，故。【点评】函数值的计算，函数表达式的求解是函数部分的基本技能，要熟练掌握。本题考察了函数部分的基本技能，大部分出现在选择或填空题中。3、[预测考点]：级数敛散性的判断预测题1：级数（）A．收敛 B．敛散性不能确定C．发散 D．和为+∞【答案】A【解析】考查了等比级数敛散性的判断。该级数为等比级数，首项为，公比为，公比的绝对值小于1，故此级数是收敛的，且收敛于，本题答案为A。【点评】此考点一般出现在选择题的第三题，我们要熟记什么是等比级数以及求和公式。预测题2：设，则级数（）A．一定收敛且和为0 B．一定收敛但和不一定为0C．一定发散 D．可能收敛也可能发散【答案】D【解析】级数收敛则它的通项趋于零，反之不成立，如 ，但发散，而，是收敛的，故本题选D。【点评】考查了对级数收敛的必要条件的理解，考生必须熟记“级数收敛则它的通项趋于零，反之不成立”。4、[预测考点]：不定积分的凑微分法预测题1：若，则（）A.F（cosx） B.f（cosx）C.F（cosx）+C D.f（cosx）+C【答案】C【解析】本题考查了不定积分计算中的第一类换元积分法（凑微分法）。根据凑微分法的定理可知选C。【点评】本题涉及内容是每年必考的，常出现在选择、填空题或计算题中。[预测考点]：矩阵乘法的性质与逆矩阵的定义预测题1：设3阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是3阶单位阵，则必有（）A.ACB=E B.CBA=EC.BAC=E D.BCA=E【答案】D。【解析】本题考查了矩阵乘法的性质以及逆矩阵的定义。由ABC=E，知，即A与BC互为逆矩阵，因此有BCA=E。提醒各位考生，矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。【点评】矩阵乘法的性质与运算以及逆矩阵的算法是考试的热点，常出现在选择、填空题或计算题中。二、填空题：1：[预测考点]：极限的计算（两个重要极限，罗比达法则，或无穷小量的性质）预测题1：_______________.【答案】1。【解析】本题考查了函数极限的求法。根据罗比达法则，。当然还可以用第一个重要极限来求解：。提醒各位考生，罗比达法则是求解“”型极限的常用方法，但要注意它的适用条件（3条）。【点评】应用两个重要极限或罗比达法则来求函数极限是每年必考的，常出现在选择、填空题或计算题中。预测题2：_________.【答案】【解析】。【点评】考查了第二个重要极限，常出现在选择、填空或计算题中。2：[预测考点]：数项级数求和（以等比级数的求和公式为主）预测题1：=_______________.【答案】。【解析】利用等比级数的求和公式。【点评】我们要牢记等比级数的求和公式并能灵活运用它来解题，本考点常出现在选择、填空题或计算题中。3：[预测考点]：函数在某一点的连续性预测题1：设，要使在处连续，则=。【答案】【解析】在处连续，则有，因为，，故。【点评】两个重要极限和函数的连续性是每年必考的，常出现在选择、填空或计算题中。预测题2：函数在点x=0处连续，则a=________．【答案】0.【解析】：函数在点x=0处连续则有：，即,故。【点评】极限的运算性质和函数的连续性是每年必考的，常出现在选择、填空或计算题中。4：[预测考点]：曲线拐点的求法预测题1：曲线y=x3的拐点为_______________.【答案】。【解析】本题考查了函数拐点的定义和计算。，令得，当时；当时。即在点（0,0）的两侧异号，故（0,0）是拐点。还可以画出此函数图象按照定义直接找到拐点。【点评】本考点基本上也是每年必考的，常出现在填空和计算题中。5：[预测考点]：函数微分的计算预测题1：设y=e2-3x，则dy=_______________.【答案】-3e2-3xdx。【解析】本题考查了函数微分的计算。因为，所以。我们还可以根据一阶微分的形式不变形来求解。。【点评】微分的计算几乎是是每年必考的，常出现在选择、填空或计算题中。6：[预测考点]：导数的定义式预测题1：设，则_______________.【答案】1。【解析】本题考查了导数的定义。因为。【提醒】要牢记导数的3个定义式：，，。【点评】导数的定义式很重要，常用于求分段点处的导数、函数极限等等。常出现在选择、填空或计算题中。7：[预测考点]：隐函数求导方法预测题1：设方程确定了隐函数y=y(x)，则【答案】【解析】这类题的做法是：设是由方程所确定的隐函数，对方程两边的x求导，遇到y时将其看成x的函数，遇到y的函数时，将其视为x的复合函数，利用复合函数的求导法则就会得到一个含有（或）的方程，从方程中解出即可。本题，将y+lny=x两边同时对x求导，于是得，所以。【点评】尽管这几年不是每年必考，但是考查的可能性很大，可出现在填空题和计算题中。8：[预测考点]：无穷限反常积分的概念与计算预测题1：无穷限反常积分=_______________.【答案】。【解析】本题考查了简单的广义积分的计算。。【点评】广义积分的概念与简单计算经常考，要重点掌握。9：[预测考点]：二三阶行列式的计算预测题1：行列式_______________.【答案】。【解析】本题考查了行列式的计算。通过行列式的性质，我们可以将此行列式的第二列化出尽可能多的零来，然后将行列式根据这一列展开。将第一行乘以-1加到第二行，再将第一行乘以-2加到第三行，这样第二列出现了两个零，再根据这一列展开，即【点评】行列式的计算几乎每年都考，要重点掌握。预测题2：设行列式=D，元素aij对应的代数余子式记为Aij，则a31A31+a32A32+a33A33=________.【答案】D。【解析】我们应该清楚，行列式可以按任何一行（列）展开，即行列式的值等于任何一行（列）的元素和它对应的代数余子式乘积之和。不难发现a31A31+a32A32+a33A33是行列式按第三行的展开式，故其值等于行列式的值，即为D。【点评】本类考点一般以选择或填空的形式来考查。需要考生十分熟练的运用行列式的性质来做这类题。10：[预测考点]：矩阵的运算（以乘法运算为主）预测题1：设矩阵A=，则B=_______________.【答案】。【解析】本题考查了矩阵的乘法运算。由于A=，从而B=。【点评】矩阵的乘法运算及性质几乎每年都考，要重点掌握。计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）1：预测考点：利用罗比达法则求极限预测题1：.【答案】【解析】本题考查了“”型极限的求法，同时也考查了罗比达法则的应用。当然，本题可以先利用等价无穷小替换后用罗比达法则来计算，这样做可以简化解题步骤。【点评】罗比达法则是求极限的一种强大的工具，与导数的计算，等价无穷小替换，变上限函数的导数等相联系，所以必定是考查的重点内容。2：预测考点：可分离变量的微分方程的通解求法预测题1：求微分方程的通解.【答案】。【解析】本题考查了可分离变量的微分方程的求法。分离变量的步骤是先将写成，然后通过两边同乘或同除一个式子使得变量分离到等号两边。本题中，原方程可化为，两边积分得，，即为原方程的隐式通解。【点评】微分方程是每年必考的内容，要熟练掌握可分离变量的方程与一阶线性方程的求法。常出现在填空或计算题中。预测考点：导数的四则运算与复合函数导数的求法预测题1：设f(x)=,求【答案】e.【解析】本题考查了函数高阶导数的求法。因为，，所以。【点评】本题包含了复合函数导数的求法和导数的四则运算，都属于基本技能，要熟练掌握。常出现在填空或计算题中。预测考点：函数渐近线的求法预测题1：求曲线的水平渐近线和铅直渐近线.【答案】曲线的水平渐近线为，曲线的铅直渐近线为。【解析】本题考查了曲线（函数）水平渐近线和铅直渐近线的求法。若，则有水平渐近线；至于铅直渐近线，可以先找到使函数无意义的点，然后验证函数在此点处的极限或左右极限是否为无穷大，若是则有铅直渐近线。本题中，因为，所以曲线的水平渐近线为；函数在处无意义，又，所以曲线的铅直渐近线为。【点评】本题内容常出现在填空或计算题中。预测考点：不定积分的直接积分法预测题1.求不定积分【答案】。【解析】本题考查了不定积分计算中的直接积分法。。（考生不要忘记加上积分常数C）【点评】本题内容常出现在填空或计算题中。预测考点：由参数方程表示的函数的导数求法预测题1：求曲线在t=1所对应的点处的切线方程.:【答案】。【解析】本题考查了由参数方程表示的函数的导数求法，以及导数的几何意义。因为，，时，所以切线方程为：。【点评】本题内容基本上是每年必考的，常出现在填空或计算题中。预测考点：分部积分法预测题1：计算定积分【答案】-2.【解析】本题考查了不定积分计算中分部积分法。。【点评】本题内容常出现在填空或计算题中。预测题2：计算定积分【答案】。【解析】本题考查了不定积分计算中分部积分法。。【点评】此类题基本上是每年必考的，考生要熟练掌握不定积分与定积分的分部积分法。预测考点：未知数个数等于方程的个数时，齐次线性方程组有非零解的条件。预测题1：问取何值时，齐次方程组有非零解。【答案】或【解析】本题考查了齐次线性方程组有非零解的条件。要使此方程组有非零解，则，即，所以或时方程组有非零解。【点评】本题内容常出现在填空或计算题中。综合题1.预测考点：定积分的几何应用预测题1：求由曲线y=x2与轴所围成的平面图形的面积.【答案】。【解析】本题考查了定积分的几何应用。该平面图形的面积为。【点评】要掌握平面图形面积和简单旋转体的体积的计算公式，在计算中注意图形的对称性。本题内容常出现在计算题或综合题中，热度：☆☆☆☆☆。2.预测考点：利用导数和函数的单调性证明不等式预测题1：试证当x>0时，x>ln(1+x).【答案】【解析】本题考查了导数的应用中的利用导数证明不等式。利用导数证明不等式时，先将不等式移项使一边为零，另一边设为，再证明在所在区间里的单调性，根据单调性证明不等式。证明：设因为所以在时时单调递增的，所以，即故得证。【点评】本题内容常出现在综合题最后一道题中，记住解题步骤是关键。注意事项：点题预测班定义：点题预测班是为考生复习冲刺最后阶段提供的最后一项辅导课程，课程内容重点侧重于预测核心考点、核心考题。在讲解过程中重点帮助考生迅速回顾考试重点、难点，掌握应试技巧、答题方法等，起到复习冲刺的效果。（1）首次是第一个模块开班宗旨。各位老师应在理解点题预测班的教学重点的基础上编写所授具体课程的《开班宗旨》；开班宗旨不应全部照搬模板，应根据所研究的课程做灵活的扩充和延伸；（2）第二个模块点题预测。①首先，点题预测班不能将所有考点都罗列出来，重点放在“预测”二字，各位老师所预测的考点的命中率直接反应了点题预测班的教学质量和授课教师水平的高低；此外，预测考点（核心考点与补充考点之和）不应超过总考点（本课程所要求的所有考点）的50%；②其次，预测考点的整体分布。[预测考点]严格按照真题题型和题序排列，例如，某一课程的题型为单项选择题、多项选择题、名词解释题、简答题、论述题和案例分